2023-2024学年初中数学九年级上册 4.3 解直角三角形 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·富阳模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠C＝90°， sinB＝，
∴，
设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据正弦函数的定义得，设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
2．（2023·西山模拟）以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，
∵米，
∴PA=米，
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。
3．（2023·鹿城模拟）如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，A，C两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，且，，
则在中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接AC交BD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函数定义得可求出AC的长.
4．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
5．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，
∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，
又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，
∴四边形OABF与OFCD都是矩形，
∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，
∴∠ABO=∠FOB，
由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，
∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，
∴，即，
解得AB=2，
∴OF=CD=2，
在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，
∴FC1=OC1-OF=，
设CE=C1E=x，则EF=4-x，
在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，
解得x=，
∴EF=，
∵点E在第三象限，
∴点E的坐标为 .
故答案为：D.
【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.
6．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.
7．（2023·南充）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得DA为∠BAC的角平分线，
∵，，
∴CD=DE，∠CAD=∠BAD，AB不符合题意；
由勾股定理得，
∴，D不符合题意；
∴CD=3，
由勾股定理得，C符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据角平分线的性质结合题意得到CD=DE，∠CAD=∠BAD，进而即可判断A和B，再根据勾股定理即可求出CB的长，进而根据锐角三角函数的定义即可判断D，再根据题意求出CD，运用勾股定理即可判断C。
8．（2023·西山模拟）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CB，如图所示：由题意得四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥CB，先根据平行四边形的性质结合解直角三角形的知识即可得到AB的长，再结合题意即可求解。
二、填空题
9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：.
【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.
10．（2021九上·潍城期中）在中，，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵，
又∵BC=2，
∴AB=6，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可。
11．（2023·抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°， ∵点A（0，2）， ∴OA=2， ∵ 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴AO=AB，∠OAB=120°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
在Rt△ABC中，
AC=AB=1，BC=CAtan∠CAB=tan60°=，
∴CO=OA+CA=1+2=3，
∴点B，
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=
故答案为：.
【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用点A的坐标可求出OA的长，利用旋转的性质可求出AB的长，同时求出∠CAB=60°，利用解直角三角形求出AC，BC的长，即可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入函数解析式求出k的值.
12．（2023·锦州）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；解直角三角形；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得射线AM是为∠CAB的角平分线，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，
过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，如图，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=AP，
∴CP+AP=CP+PN=CN，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，
在Rt△ACN中，∵∠CAN=60°，
∴，
∴，
∴CP+AP=CP+PN=CN=.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，由尺规作图的过程可得AF为∠BAC的角平分线，易得∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得PN=AP，则CP+AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，进而根据∠CAN的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出CN的长，从而此题得解.
13．（2023·济宁）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CB于点H，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，且边长为6，
∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，
∴∠HAB=30°，
∴∠HAD+∠DAB=30°，
∵，
∴∠CAE+∠DAB=30°，
∴∠CAE=∠DAH，
∴
∵BH=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥CB于点H，先根据等边三角形的性质即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，进而根据题意即可得到∠HAB=30°，从而证明∠CAE=∠DAH，再运用解直角三角形的知识求出DH即可求解。
三、解答题
14．（2023八下·东丽期中）在中，，，，求的长．
【答案】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点作， 易得△BDC为等腰直角三角形，可得BD=BC=4， 根据tanA=可求出AD的长，利用AB=AD+BD即可求解.
15．（2023·达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）
【答案】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，先根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数值得到OF和OE的长，进而结合题意即可求解。
四、综合题
16．（2023·巴中）如图，已知等边，，为中点以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点过点作交射线于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，
为中点．
，
，
是等边三角形，
，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形
（2）解：是等边三角形，，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
．
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证明△BDE是等边三角形，DE=DB，再结合作图知DP平分∠BDE，又EF∥BC，可得△EFD是等腰三角形，∴EF=DE，从而得出EF、BD平行且相等，可判定四边形BDEF是菱形；
（2）解直角三角形，分别求得AG=3，，根据三角形面积计算公式求得△AFD的面积即可。
17．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：先根据矩形的性质即可得到，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，即是等边三角形，从而根据等边三角形的性质即可得到，，再证明是等边三角形即可得到，最后运用菱形的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质结合题意即可得到，，进而根据菱形的性质得到，再运用解直角三角形的知识即可得到FG，进而根据即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.3 解直角三角形 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·富阳模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·西山模拟）以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2023·鹿城模拟）如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，A，C两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
5．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·杭州）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·南充）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·西山模拟）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
10．（2021九上·潍城期中）在中，，，，则 ．
11．（2023·抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．
12．（2023·锦州）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
13．（2023·济宁）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
三、解答题
14．（2023八下·东丽期中）在中，，，，求的长．
15．（2023·达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）
四、综合题
16．（2023·巴中）如图，已知等边，，为中点以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点过点作交射线于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求的面积．
17．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠C＝90°， sinB＝，
∴，
设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据正弦函数的定义得，设AC=4x，则AB=5x，由勾股定理得BC=3x，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，
∵米，
∴PA=米，
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，且，，
则在中，，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接AC交BD于O，由菱形的对角线互相垂直平分得BD⊥AC，AO=OC=AC，BO=DO=m，在Rt△BOC中，由∠CBD的正切函数定义得可求出AC的长.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，
∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，
又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，
∴四边形OABF与OFCD都是矩形，
∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，
∴∠ABO=∠FOB，
由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，
∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，
∴，即，
解得AB=2，
∴OF=CD=2，
在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，
∴FC1=OC1-OF=，
设CE=C1E=x，则EF=4-x，
在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，
解得x=，
∴EF=，
∵点E在第三象限，
∴点E的坐标为 .
故答案为：D.
【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得OA=OB，∠ABC=90°，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB是等边三角形，则∠BAO=60°，进而根据∠BAO的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可求出的值，从而此题得解.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得DA为∠BAC的角平分线，
∵，，
∴CD=DE，∠CAD=∠BAD，AB不符合题意；
由勾股定理得，
∴，D不符合题意；
∴CD=3，
由勾股定理得，C符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据角平分线的性质结合题意得到CD=DE，∠CAD=∠BAD，进而即可判断A和B，再根据勾股定理即可求出CB的长，进而根据锐角三角函数的定义即可判断D，再根据题意求出CD，运用勾股定理即可判断C。
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CB，如图所示：由题意得四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥CB，先根据平行四边形的性质结合解直角三角形的知识即可得到AB的长，再结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：.
【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵，
又∵BC=2，
∴AB=6，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可。
11．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°， ∵点A（0，2）， ∴OA=2， ∵ 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴AO=AB，∠OAB=120°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
在Rt△ABC中，
AC=AB=1，BC=CAtan∠CAB=tan60°=，
∴CO=OA+CA=1+2=3，
∴点B，
∵点B在反比例函数图象上，
∴k=
故答案为：.
【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用点A的坐标可求出OA的长，利用旋转的性质可求出AB的长，同时求出∠CAB=60°，利用解直角三角形求出AC，BC的长，即可得到点B的坐标；然后将点B的坐标代入函数解析式求出k的值.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；解直角三角形；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得射线AM是为∠CAB的角平分线，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，
过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，如图，
在Rt△APN中，∠BAF=30°，
∴PN=AP，
∴CP+AP=CP+PN=CN，
根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，
在Rt△ACN中，∵∠CAN=60°，
∴，
∴，
∴CP+AP=CP+PN=CN=.
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥AB于点N，交AF于点P，由尺规作图的过程可得AF为∠BAC的角平分线，易得∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得PN=AP，则CP+AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN最短，进而根据∠CAN的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出CN的长，从而此题得解.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CB于点H，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，且边长为6，
∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，
∴∠HAB=30°，
∴∠HAD+∠DAB=30°，
∵，
∴∠CAE+∠DAB=30°，
∴∠CAE=∠DAH，
∴
∵BH=3，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥CB于点H，先根据等边三角形的性质即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，进而根据题意即可得到∠HAB=30°，从而证明∠CAE=∠DAH，再运用解直角三角形的知识求出DH即可求解。
14．【答案】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 过点作， 易得△BDC为等腰直角三角形，可得BD=BC=4， 根据tanA=可求出AD的长，利用AB=AD+BD即可求解.
15．【答案】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，四边形和四边形是矩形，
∴，，
∵秋千链子的长度为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，先根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数值得到OF和OE的长，进而结合题意即可求解。
16．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，
为中点．
，
，
是等边三角形，
，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形
（2）解：是等边三角形，，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
．
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证明△BDE是等边三角形，DE=DB，再结合作图知DP平分∠BDE，又EF∥BC，可得△EFD是等腰三角形，∴EF=DE，从而得出EF、BD平行且相等，可判定四边形BDEF是菱形；
（2）解直角三角形，分别求得AG=3，，根据三角形面积计算公式求得△AFD的面积即可。
17．【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：先根据矩形的性质即可得到，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，即是等边三角形，从而根据等边三角形的性质即可得到，，再证明是等边三角形即可得到，最后运用菱形的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质结合题意即可得到，，进而根据菱形的性质得到，再运用解直角三角形的知识即可得到FG，进而根据即可求解。
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