2023-2024学年初中数学九年级上册 4.3 解直角三角形 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·丽水）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023·玉溪模拟）如图，在中，，设所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·永康模拟） 一沙滩球网支架示意图如图所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，则最高点A离地面BC的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2023·拱墅模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，点F在边AB上，且AF=BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF=4GH，则= （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·淮北模拟）如图，中，，，，平分交于点D，分别过点D作于E，于F，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C． D．
6．（2023九上·中卫期末）如图所示，菱形 的周长为，，垂足为E，，则下列结论正确的个数有（ ）
①，②，③菱形的面积为，④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·黑龙江）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
8．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
二、填空题
9．（2023·深圳）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
10．（2023·武汉）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）
11．（2023·雅安）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
12．（2023七下·长沙期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
13．（2023·南充）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题
14．（2023·徐汇模拟）如图，在中，已知．点为边上一点，，求的长．
15．（2023·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
素材2 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
四、综合题
16．（2023·抚顺）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
17．（2023八下·江北期末）如图1，在菱形中，．等腰的两个顶点分别在上，且，点在的异侧．
（1）如图2，当于点时，
①求证：，且点在菱形的对角线上．
②如图3，若交于点交于点，连结．当 时，四边形为正方形．
（2）如图1，
①判断：点 ▲ 菱形的对角线上．（填“在”或“不在”）
②若，请求出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD，
∴∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA
∴∠AOB=90°，
∴AO=ABcos30°=
∴AC=2OA=
故答案为：D
【分析】连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA；再利用解直角三角形求出AO的长，即可得到AC的长.
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°
tanB=，sinB=
∴四个选项中，只有D选项符合题意
【分析】根据正切是对边与另外一条直角边的比值，正弦是对边与斜边的比值进行逐一判断即可．
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD=ABsin∠B=asinα.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADB=90°，再利用锐角三角函数的定义可求出AD的长.
4．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点E作EQ∥AC，
设GH=x，则DF=4x，
∵正方形ABCD，AF=BE
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，
在△DAF和△ABE中
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE，
在△ABG和△ADG中
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠ABG=∠ADF=∠BAE，
∴AH=BH，
∵∠ABG+∠HBE=90°，∠HEB+∠BAE=90°，
∴∠HBE=∠HEB，
∴AH=BH=HE=2x，
∵QE∥AC，
∴，
∴HQ=GH=BQ=x，
∴BG=DG=x+2x=3x，FG=4x-3x=x
∵AF∥CD，
∴△AFG∽△DCG，
∴，
设AF=a，则CD=AD=3a，
∴，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=FD2，
∴a2+9a2=16x2，
解之：，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】过点E作EQ∥AC，设GH=x，则DF=4x，利用正方形的性质可证得AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，利用SAS证明△DAF≌△ABE，利用全等三角形的性质可证得DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE；利用SAS证明△ABG≌△ADG，利用全等三角形的性质可得到∠ABG=∠ADF=∠BAE，利用等角对等边可推出AH=BH，利用余角的性质可得到∠HBE=∠HEB，利用等角对等边可知AH=BH=HE=2x，利用平行线等分线段定理可证得HQ=GH=BQ=x，可表示出DG，FG的长；由AF∥CD，可证得△AFG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得到AF与DC的比值，设AF=a，可表示出AD的长，利用解直角三角形表示出AC，CG的长，在Rt△ADF中，利用勾股定理建立方程，解方程求出x，可得到DG的长；据此可求出DG与CG的比值.
5．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，
∴四边形的面积为，
故答案为：D．
【分析】设，则，再结合，可得，求出x的值，再求出四边形的面积即可。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵菱形 的周长为，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴ ，
∴，故②正确
∴菱形的面积为③正确；
∴故④错误，
故答案为：C.
【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出DE的长，可对①作出判断；利用勾股定理求出AE的长，即可得到BE的长，可对②作出判断；利用菱形的面积公式，可求出菱形ABCD的面积，可对③作出判断；然后在Rt△BED中，利用勾股定理求出BD的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA ，
∴△ABF≌△DAE (AAS)，
∴AF=DE，故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE，故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF +∠CMF=180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，
由翻折的性质可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∴BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt△AED中，，
∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∴，，
∵∠BHF=∠DHA，
∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA==3，故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得，
∴，，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正确，
综上分析可知，正确的是①②③④⑤.
故答案为：B.
【分析】首先根据正方形的性质及垂直的定义，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，从而由AAS判断出△ABF≌△DAE，由全等三角形的对应边相等得AF=DE，故①正确；由翻折的性质得BM⊥AF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BM∥DE，故②正确；首先判断出A，M，C在同一直线上，由正方形的性质得∠MCF=45°，由三角形的内角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，则∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BHMF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BHMF是菱形，故③正确；当点E运动到AB的中点，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形对应边成比例建立方程分别用含a的式子表示出EG、AG，进而再根据线段的和差分别表示出DG、GH，再由等角的同名三角函数值相等可判断出④；由相似三角形对应边成比例建立方程表示出BH、DH、由折叠得，进而分别算出EP·DH与2AG·BH，即可判断⑤.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥于x轴于点D，
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=，
∴OB=2AB=，
在Rt△OBC中，∵∠BOC=30°，OB=，
∴cos∠BOC=cos30°=，
∴OC=4，
∵∠COD=90°-∠AOB-∠BOC=30°，
又在Rt△OCD中，∠CDO=90°，
∴CD=OC=2，OD=CD=，
∴C（，2），
∴k=2×=.
故答案为：.
【分析】在Rt△AOB中，由含30°角直角三角形的性质得OB=2AB=，在Rt△OBC中，由∠BOC的余弦函数可求出OC＝4，在Rt△OCD中，由含30°角直角三角形的性质得CD=OC=2，OD=CD=，从而得出点C的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于k即可得出答案.
10．【答案】2.7
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，
∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴BD=EC，
在Rt△BOD中，∠BOD=45°，
由题意可知CE=BD=2，
在Rt△OCE中，∠COE=37°，
即，
解之：OE=2.7，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.
故答案为：2.7
【分析】过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，易证四边形BDEC是矩形，利用矩形的性质可得到BD=EC；利用已知可得到CE的长，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长即可.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，如图所示：
∵，，
∴△DCB为等边三角形，
∴DC=CB=DB=8，
∵，，
∴DB⊥CA，DO=OB=4，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
∵，
∴∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，
∴CE=EA=6，
∴
∴，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，先根据等边三角形的判定与性质即可得到DC=CB=DB=8，进而根据平行线的性质结合垂直平分线的性质即可得到∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，CE=EA=6，再运用解直角三角形求出FC、FA、OC，然后运用勾股定理即可求解。
12．【答案】15
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
13．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=AC=2，∠B=60°，
由折叠得B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，
∴，
∴为定值，①正确；
∵，
∴，
∴∠B'NC=60°=MB'N=∠B，
∴BM∥B'N，MB'∥BC，
∴四边形为平行四边形，
∵B'N=BN，
∴四边形为菱形，②正确；
如图：点N与C重合，
∵，
∴∠DCB=90°，
由折叠可知BC=B'C，
∴∠B'CA=30°，CB'=CA，
∴∠CB'A=∠B'AC=75°，
∴，③错误；
当最短时，DC⊥AB'，
过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，如图所示：
∵∠B'CA=30°，CA=2，
∴，
∴由勾股定理得，
由折叠得，
设NB=NB'=x，则NC=2-x，
由勾股定理得，
解得，
设BE为a，则
由勾股定理得，
∴（等面积法），
解得，
∴，④正确，
故答案为：①②④
【分析】①先根据等边三角形得到性质结合折叠的性质即可得到AB=CB=AC=2，∠B=60°，B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，进而结合题意即可求解；②先根据锐角三角函数的定义即可得到∠B'NC=60°=MB'N=∠B，再运用平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定即可求解；③根据折叠的性质即可得到BC=B'C，再结合题意即可求解；④当最短时，DC⊥AB'，过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可求出，再运用折叠的性质即可得到，设NB=NB'=x，则NC=2-x，运用勾股定理即可求出BN的长，设BE为a，则根据勾股定理结合三角形的等面积法即可求出a的值，进而即可求解。
14．【答案】解：在中，，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】设，利用勾股定理可得AC=12k，利用线段的和差求出，再结合，可得，求出k的值，最后求出CD的长即可。
15．【答案】解：任务1：如图1，过点E作于点I，过点G作于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．
任务2：方法1：
如图2，过点Q作交于点P．
由（1）知，，
∵．
∴在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，当时，，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为，
∴小明会被照射到．
方法2：
如图2，过点Q作交FH于点P．
与方法1同理得，得，，
∴．
在中，．
∴小明会被照射到．
任务3：当时，．
当时，．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】任务1：过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J，利用AB，BD的长可求出AD的长，利用等腰三角形的性质可求出DI的长，可求出sin∠IDE的值，利用余角的性质可证得∠IDE=∠DGB，利用平行线的性质和矩形的性质可证得∠DGB=∠α，同时可求出GJ的长；再利用解直角三角形求出GH的长.
任务2：方法1：过点Q作PQ⊥BC交HF于点P，可知∠IDE=∠α=∠DGB，利用直角三角形的性质可求出DI的长，可得到AD，BD的长；利用解直角三角形求出BG，GH，HQ的长，然后求出小明刚好被照射到时离B点的距离，即可作出判断；方法2：过点Q作PQ⊥BC交FH于点P，与方法1同理可求出BG，GH，QH的长；再利用解直角三角形求出PQ的长，可作出判断；任务3：当tanα=45°时，可得到BQ的最小值，当tanα=60°时，可得到BQ的最大值，即可得到BQ的取值范围.
16．【答案】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
17．【答案】（1）解：①连接，如图所示，
四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
②
（2）解：①在
②
如图，作于于，连结，
，
，又，
又，
在的平分线上，四边形是菱形，平分，
在上．，
．
故答案为：.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）②，
是正三角形，，
是正方形，，
是菱形，，即，
∴.
故答案为：.
（2）①四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
∴点M在菱形ABCD的对角线AC上.
【分析】（1）根据菱形的性质和两直线平行即可求证AE=AF，利用菱形的性质对角线将角互相平分即可求出AC垂直平分EF，从而求证M在菱形ABCD的对角线上；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出EF与EM的关系，再根据第一问AE=AF和已知条件即可求证AE=EF和EM的关系，利用正方形的性质可知EH=EF与EM的关系，最后根据菱形ABCD的性质和特殊角的锐角三角函数可求出EB与EH的关系，通过等量转化，苛求抽AB与EM的关系；
（3）通过三角形全等解证明MG=MH，结合菱形的性质证明M在线段AC上，根据两点之间垂线段最短可知道HM的取值范围，从而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC长度，从而求证CM取值范围.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.3 解直角三角形 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·丽水）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD，
∴∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA
∴∠AOB=90°，
∴AO=ABcos30°=
∴AC=2OA=
故答案为：D
【分析】连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA；再利用解直角三角形求出AO的长，即可得到AC的长.
2．（2023·玉溪模拟）如图，在中，，设所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】在△ABC中，∠A＝90°
tanB=，sinB=
∴四个选项中，只有D选项符合题意
【分析】根据正切是对边与另外一条直角边的比值，正弦是对边与斜边的比值进行逐一判断即可．
3．（2023·永康模拟） 一沙滩球网支架示意图如图所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，则最高点A离地面BC的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD=ABsin∠B=asinα.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADB=90°，再利用锐角三角函数的定义可求出AD的长.
4．（2023·拱墅模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，点F在边AB上，且AF=BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF=4GH，则= （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点E作EQ∥AC，
设GH=x，则DF=4x，
∵正方形ABCD，AF=BE
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，
在△DAF和△ABE中
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE，
在△ABG和△ADG中
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠ABG=∠ADF=∠BAE，
∴AH=BH，
∵∠ABG+∠HBE=90°，∠HEB+∠BAE=90°，
∴∠HBE=∠HEB，
∴AH=BH=HE=2x，
∵QE∥AC，
∴，
∴HQ=GH=BQ=x，
∴BG=DG=x+2x=3x，FG=4x-3x=x
∵AF∥CD，
∴△AFG∽△DCG，
∴，
设AF=a，则CD=AD=3a，
∴，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=FD2，
∴a2+9a2=16x2，
解之：，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】过点E作EQ∥AC，设GH=x，则DF=4x，利用正方形的性质可证得AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，利用SAS证明△DAF≌△ABE，利用全等三角形的性质可证得DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE；利用SAS证明△ABG≌△ADG，利用全等三角形的性质可得到∠ABG=∠ADF=∠BAE，利用等角对等边可推出AH=BH，利用余角的性质可得到∠HBE=∠HEB，利用等角对等边可知AH=BH=HE=2x，利用平行线等分线段定理可证得HQ=GH=BQ=x，可表示出DG，FG的长；由AF∥CD，可证得△AFG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得到AF与DC的比值，设AF=a，可表示出AD的长，利用解直角三角形表示出AC，CG的长，在Rt△ADF中，利用勾股定理建立方程，解方程求出x，可得到DG的长；据此可求出DG与CG的比值.
5．（2023·淮北模拟）如图，中，，，，平分交于点D，分别过点D作于E，于F，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，
∴四边形的面积为，
故答案为：D．
【分析】设，则，再结合，可得，求出x的值，再求出四边形的面积即可。
6．（2023九上·中卫期末）如图所示，菱形 的周长为，，垂足为E，，则下列结论正确的个数有（ ）
①，②，③菱形的面积为，④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵菱形 的周长为，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴ ，
∴，故②正确
∴菱形的面积为③正确；
∴故④错误，
故答案为：C.
【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出DE的长，可对①作出判断；利用勾股定理求出AE的长，即可得到BE的长，可对②作出判断；利用菱形的面积公式，可求出菱形ABCD的面积，可对③作出判断；然后在Rt△BED中，利用勾股定理求出BD的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
7．（2023·黑龙江）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AED=∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
∵∠ABF=∠DAE=90°，∠BFA=∠AED，AB=DA ，
∴△ABF≌△DAE (AAS)，
∴AF=DE，故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE，故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF=90°，
∵∠AMF=∠ABF=90°，
∴∠AMF +∠CMF=180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF=45°，
∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，
由翻折的性质可得：∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，
∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∴BF=MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，
在Rt△AED中，，
∵∠AHD=∠FHB，∠ADH=∠FBH=45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∴，，
∵∠BHF=∠DHA，
∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA==3，故④错误；
∵△AHD∽△FHB，
∴，
∴，，
∵AF⊥EP，
根据翻折的性质可得，
∴，，∴EP·DH=2AG·BH，故⑤正确，
综上分析可知，正确的是①②③④⑤.
故答案为：B.
【分析】首先根据正方形的性质及垂直的定义，由同角的余角相等得∠AED=∠BFA，从而由AAS判断出△ABF≌△DAE，由全等三角形的对应边相等得AF=DE，故①正确；由翻折的性质得BM⊥AF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BM∥DE，故②正确；首先判断出A，M，C在同一直线上，由正方形的性质得∠MCF=45°，由三角形的内角和定理得∠MFC=90°-∠MCF=45°，则∠HMF=∠MFC=45°，∠HBC=∠MFC=45°，推出BC∥MH，HB∥MF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BHMF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BHMF是菱形，故③正确；当点E运动到AB的中点，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt△AED中，由勾股定理用含a的式子表示出DE，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△AHD∽△FHB，由相似三角形对应边成比例建立方程分别用含a的式子表示出EG、AG，进而再根据线段的和差分别表示出DG、GH，再由等角的同名三角函数值相等可判断出④；由相似三角形对应边成比例建立方程表示出BH、DH、由折叠得，进而分别算出EP·DH与2AG·BH，即可判断⑤.
8．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
二、填空题
9．（2023·深圳）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥于x轴于点D，
在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AB=，
∴OB=2AB=，
在Rt△OBC中，∵∠BOC=30°，OB=，
∴cos∠BOC=cos30°=，
∴OC=4，
∵∠COD=90°-∠AOB-∠BOC=30°，
又在Rt△OCD中，∠CDO=90°，
∴CD=OC=2，OD=CD=，
∴C（，2），
∴k=2×=.
故答案为：.
【分析】在Rt△AOB中，由含30°角直角三角形的性质得OB=2AB=，在Rt△OBC中，由∠BOC的余弦函数可求出OC＝4，在Rt△OCD中，由含30°角直角三角形的性质得CD=OC=2，OD=CD=，从而得出点C的坐标，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于k即可得出答案.
10．（2023·武汉）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）
【答案】2.7
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，
∴∠BDE=∠DEC=∠BCE=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴BD=EC，
在Rt△BOD中，∠BOD=45°，
由题意可知CE=BD=2，
在Rt△OCE中，∠COE=37°，
即，
解之：OE=2.7，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.
故答案为：2.7
【分析】过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，易证四边形BDEC是矩形，利用矩形的性质可得到BD=EC；利用已知可得到CE的长，在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长即可.
11．（2023·雅安）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，如图所示：
∵，，
∴△DCB为等边三角形，
∴DC=CB=DB=8，
∵，，
∴DB⊥CA，DO=OB=4，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
∵，
∴∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，
∴CE=EA=6，
∴
∴，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，先根据等边三角形的判定与性质即可得到DC=CB=DB=8，进而根据平行线的性质结合垂直平分线的性质即可得到∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，CE=EA=6，再运用解直角三角形求出FC、FA、OC，然后运用勾股定理即可求解。
12．（2023七下·长沙期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
【答案】15
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
13．（2023·南充）如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是 （填写序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=AC=2，∠B=60°，
由折叠得B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，
∴，
∴为定值，①正确；
∵，
∴，
∴∠B'NC=60°=MB'N=∠B，
∴BM∥B'N，MB'∥BC，
∴四边形为平行四边形，
∵B'N=BN，
∴四边形为菱形，②正确；
如图：点N与C重合，
∵，
∴∠DCB=90°，
由折叠可知BC=B'C，
∴∠B'CA=30°，CB'=CA，
∴∠CB'A=∠B'AC=75°，
∴，③错误；
当最短时，DC⊥AB'，
过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，如图所示：
∵∠B'CA=30°，CA=2，
∴，
∴由勾股定理得，
由折叠得，
设NB=NB'=x，则NC=2-x，
由勾股定理得，
解得，
设BE为a，则
由勾股定理得，
∴（等面积法），
解得，
∴，④正确，
故答案为：①②④
【分析】①先根据等边三角形得到性质结合折叠的性质即可得到AB=CB=AC=2，∠B=60°，B'N=BN，∠B=∠MB'N=60°，进而结合题意即可求解；②先根据锐角三角函数的定义即可得到∠B'NC=60°=MB'N=∠B，再运用平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定即可求解；③根据折叠的性质即可得到BC=B'C，再结合题意即可求解；④当最短时，DC⊥AB'，过点M作EM⊥CB于点E，连接BB'交NM于点O，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可求出，再运用折叠的性质即可得到，设NB=NB'=x，则NC=2-x，运用勾股定理即可求出BN的长，设BE为a，则根据勾股定理结合三角形的等面积法即可求出a的值，进而即可求解。
三、解答题
14．（2023·徐汇模拟）如图，在中，已知．点为边上一点，，求的长．
【答案】解：在中，，
设，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】设，利用勾股定理可得AC=12k，利用线段的和差求出，再结合，可得，求出k的值，最后求出CD的长即可。
15．（2023·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
素材2 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
【答案】解：任务1：如图1，过点E作于点I，过点G作于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．
任务2：方法1：
如图2，过点Q作交于点P．
由（1）知，，
∵．
∴在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，当时，，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为，
∴小明会被照射到．
方法2：
如图2，过点Q作交FH于点P．
与方法1同理得，得，，
∴．
在中，．
∴小明会被照射到．
任务3：当时，．
当时，．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】任务1：过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J，利用AB，BD的长可求出AD的长，利用等腰三角形的性质可求出DI的长，可求出sin∠IDE的值，利用余角的性质可证得∠IDE=∠DGB，利用平行线的性质和矩形的性质可证得∠DGB=∠α，同时可求出GJ的长；再利用解直角三角形求出GH的长.
任务2：方法1：过点Q作PQ⊥BC交HF于点P，可知∠IDE=∠α=∠DGB，利用直角三角形的性质可求出DI的长，可得到AD，BD的长；利用解直角三角形求出BG，GH，HQ的长，然后求出小明刚好被照射到时离B点的距离，即可作出判断；方法2：过点Q作PQ⊥BC交FH于点P，与方法1同理可求出BG，GH，QH的长；再利用解直角三角形求出PQ的长，可作出判断；任务3：当tanα=45°时，可得到BQ的最小值，当tanα=60°时，可得到BQ的最大值，即可得到BQ的取值范围.
四、综合题
16．（2023·抚顺）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：如图，当点在的延长线上时，作 于，
∵，
∴，，
∴，
∴．
由（）知∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在上时，作于，
由上知∶，
∴，
∴，
∴，
综上所述∶或．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠BAC=∠DAE=60°，同时可求出∠BAE=30°，AD=AE，再根据∠BAD=∠DAE-∠BAE，代入计算求出∠BAD的度数，可证得∠DAE=∠BAE，利用等角对等边可证得AM与EM的数量关系.
（2）连接BD，DF，利用等边三角形的性质可证得∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到∠ABD=120°，同时可证得BD=CE；再证明∠DBE+∠BEF=180°，可推出BD∥EF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM与EM的数量关系.
（3）分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG⊥BE于点G，连接BD，利用解直角三角形可求出CG的长，根据EG=CG+CE，代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由（2）可知DM=EM，由AM⊥DE，可得到∠AME=90°，∠AED=60°，利用解直角三角形求出AM的长；当点E在BC上时，过点A作AG⊥BC于点G，同理可求出AG，CG，EG的长，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.
17．（2023八下·江北期末）如图1，在菱形中，．等腰的两个顶点分别在上，且，点在的异侧．
（1）如图2，当于点时，
①求证：，且点在菱形的对角线上．
②如图3，若交于点交于点，连结．当 时，四边形为正方形．
（2）如图1，
①判断：点 ▲ 菱形的对角线上．（填“在”或“不在”）
②若，请求出的取值范围．
【答案】（1）解：①连接，如图所示，
四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
②
（2）解：①在
②
如图，作于于，连结，
，
，又，
又，
在的平分线上，四边形是菱形，平分，
在上．，
．
故答案为：.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）②，
是正三角形，，
是正方形，，
是菱形，，即，
∴.
故答案为：.
（2）①四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
∴点M在菱形ABCD的对角线AC上.
【分析】（1）根据菱形的性质和两直线平行即可求证AE=AF，利用菱形的性质对角线将角互相平分即可求出AC垂直平分EF，从而求证M在菱形ABCD的对角线上；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出EF与EM的关系，再根据第一问AE=AF和已知条件即可求证AE=EF和EM的关系，利用正方形的性质可知EH=EF与EM的关系，最后根据菱形ABCD的性质和特殊角的锐角三角函数可求出EB与EH的关系，通过等量转化，苛求抽AB与EM的关系；
（3）通过三角形全等解证明MG=MH，结合菱形的性质证明M在线段AC上，根据两点之间垂线段最短可知道HM的取值范围，从而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC长度，从而求证CM取值范围.
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