2023-2024学年初中数学九年级上册 4.4 解直角三角形的应用 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·河北） 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
2．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
3．（2023·官渡模拟）松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡的坡度（），若坝高，则坡面的水平宽度长度约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
4．（2023·虹口模拟）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2023七下·长沙期中）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·南充）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2023·烈山模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·吴兴模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
二、填空题
9．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
10．（2023·济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．
11．（2023七下·光明期中）如图，一航班沿北偏东方向从地飞往地，到达地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降地，已知地在地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为 ．
12．（2023九下·江岸月考）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是 米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
13．（2023·泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
三、解答题
14．（2023·台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
15．（2023八下·朝阳期末）某次军事演习中，一艘船以千米每小时的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行到B处时与小岛C的距离．（结果保留根号）
四、综合题
16．（2023八下·朝阳期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段的方向以每秒1单位长度的速度向终点A运动，以点P为旋转中心，将线段顺时针旋转90°，得到线段，连接，设与重合部分的面积为，点P运动时间为秒（）．
（1） ；
（2）当点落在上时，求的值；
（3）点运动过程中，求与的关系式；
（4）当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，直接写出此时的值．
17．（2023·抚顺）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向，
故答案为：D
【分析】根据平行线的性质结合方向角的定义即可求解。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝某段横截面迎水坡的坡度，
∴AC=60m，
由勾股定理得m，
故答案为：C
【分析】先根据解直角三角形得到AC的长，再根据勾股定理即可求解。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设这个斜坡的坡角为α，
由题意得：tanα=1：.=，
∴α=30°；
故答案为：A.
【分析】设这个斜坡的坡角为α，根据坡度可得tanα=，利用特殊角三角函数值即可求解.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图：
由题意得： ∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，
∴∠EAB+∠ABF = 180°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，
∵∠α是△ ACB 的一个外角，
∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.
故答案为： B
【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AC=，
故答案为：B
【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF = 2FM=，
∴当GM的值最小时，EF的值最大，
∵A (6，0)，B (0，8)，
∴AB=10，
∴sin ∠OAB =，
∴OM=4.8，
∵CD=6，
∴OG=3，
∴GM =OM-OG=1.8，
∴FM=2.4，
∴EF =2FM= 4.8，
故答案为：B.
【分析】先作图，再利用勾股定理求出EF = 2FM=，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在△ABC中， ∠A＝88°，∠C＝42°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ADB中，AB=60，
∵
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，进而在Rt△ADB中，根据∠B的正弦函数即可求出AD，从而得出答案.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
10．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形，
∴DC=BA=30，CA=NM=1，
由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，
∴∠CED=30°=∠DCE，
∴DC=DE=30，
∴，
解得，
∴EN=m，
故答案为：
【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。
11．【答案】75°
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，
∴∠AFB=∠EAC=60°.
∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠α=180°-∠CBF-∠CFB=75°.
故答案为：75°.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，根据平行线的性质可得∠AFB=∠EAC=60°，然后利用内角和定理进行计算.
12．【答案】19.95
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠A=45°，
∴OA=OB.
∵AC=6，
∴OC=(OB-6)米.
∵Rt△COB中，∠BCO=55°，
∴tan∠BCO=，
∴≈1.43，
解得OB≈19.95.
故答案为：19.95.
【分析】分别在Rt△AOB、Rt△COB中，根据三角函数的概念可得OA=OB，则OC=(OB-6)米，然后根据∠BCO正切函数的概念进行求解.
13．【答案】55
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=50°，AC=xm，由得：
在Rt△BEF中，EF=AD=AC+CD=（x+60）m，∠BEF=26.6°，
由得：
又由题意知AF=DE=2m，AB=AF+BF，
∴1.2x=2+0.5（x+60），解方程，得：，所以AB=1.2x≈55.
故第1空答案为：55.
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，分别解Rt△ABC和Rt△BEF，得出AB和BF（用含有x的表达式），又AF=DE=2，根据AB=AF+BF，列出方程，解方程，即可解决问题。
14．【答案】解：在Rt△ABC中，，，，
∴
．
∴AC的长约为80cm．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长.
15．【答案】解：过点作，垂足为，
解：∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴，
在中，（），
∴该船在航行过程中与小岛的距离为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作，垂足为，利用特殊角的三角函数值，即可求出答案。
16．【答案】（1）10
（2）解：当点落在上时，如图：
由旋转性质可知：，，
∴，
又∵，
∴，解得：，
∴（秒）
答：当点落在上时，的值为；
（3）解：当时，点在内部或边上，如图：
此时，与重合部分的面积为的面积，
∴，
当时，点在外，与交于点N，与交于点M，过点N做，垂足为H，如图：
此时，，
∴，
与重合部分的面积为四边形的面积，
∴，
由（2）可知：，
，
∴
综上所述：
（4）解：
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】（1）解：，在中，，，
∴，即：，
又∵在中，，
∴，
解得：，（负值已舍去），
故答案为：．
（4）当所在直线平分直线平分面积时，如图：
此时与交于点D，，
，
又∵，，
∴，解得：，
∴（秒）
当所在直线平分直线平分面积时，如图：
此时与交于点E，是中点；
∵，
∴，
，
又∵，，
∴，解得：，
∴（秒）
综上所述：当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，或
【分析】（1）利用之间三角形三角函数的定义及勾股定理即可求出答案。
（2）利用旋转性质，三角函数定义即可求出答案。
（3）根据Q在三角形内部或外部二分情况讨论，利用三角形面积公式即可求出答案。
（4）作辅助线，利用直角三角形中三角函数定义即可求出答案。
17．【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.4 解直角三角形的应用 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·河北） 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
【答案】D
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向，
故答案为：D
【分析】根据平行线的性质结合方向角的定义即可求解。
2．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
3．（2023·官渡模拟）松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡的坡度（），若坝高，则坡面的水平宽度长度约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝某段横截面迎水坡的坡度，
∴AC=60m，
由勾股定理得m，
故答案为：C
【分析】先根据解直角三角形得到AC的长，再根据勾股定理即可求解。
4．（2023·虹口模拟）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设这个斜坡的坡角为α，
由题意得：tanα=1：.=，
∴α=30°；
故答案为：A.
【分析】设这个斜坡的坡角为α，根据坡度可得tanα=，利用特殊角三角函数值即可求解.
5．（2023七下·长沙期中）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图：
由题意得： ∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，
∴∠EAB+∠ABF = 180°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，
∵∠α是△ ACB 的一个外角，
∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.
故答案为： B
【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可.
6．（2023·南充）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AC=，
故答案为：B
【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。
7．（2023·烈山模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF = 2FM=，
∴当GM的值最小时，EF的值最大，
∵A (6，0)，B (0，8)，
∴AB=10，
∴sin ∠OAB =，
∴OM=4.8，
∵CD=6，
∴OG=3，
∴GM =OM-OG=1.8，
∴FM=2.4，
∴EF =2FM= 4.8，
故答案为：B.
【分析】先作图，再利用勾股定理求出EF = 2FM=，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
8．（2023·吴兴模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在△ABC中， ∠A＝88°，∠C＝42°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ADB中，AB=60，
∵
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，进而在Rt△ADB中，根据∠B的正弦函数即可求出AD，从而得出答案.
二、填空题
9．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
10．（2023·济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形，
∴DC=BA=30，CA=NM=1，
由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，
∴∠CED=30°=∠DCE，
∴DC=DE=30，
∴，
解得，
∴EN=m，
故答案为：
【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。
11．（2023七下·光明期中）如图，一航班沿北偏东方向从地飞往地，到达地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降地，已知地在地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，
∴∠AFB=∠EAC=60°.
∵∠α+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠α=180°-∠CBF-∠CFB=75°.
故答案为：75°.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE∥BF，根据平行线的性质可得∠AFB=∠EAC=60°，然后利用内角和定理进行计算.
12．（2023九下·江岸月考）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是 米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】19.95
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠A=45°，
∴OA=OB.
∵AC=6，
∴OC=(OB-6)米.
∵Rt△COB中，∠BCO=55°，
∴tan∠BCO=，
∴≈1.43，
解得OB≈19.95.
故答案为：19.95.
【分析】分别在Rt△AOB、Rt△COB中，根据三角函数的概念可得OA=OB，则OC=(OB-6)米，然后根据∠BCO正切函数的概念进行求解.
13．（2023·泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
【答案】55
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=50°，AC=xm，由得：
在Rt△BEF中，EF=AD=AC+CD=（x+60）m，∠BEF=26.6°，
由得：
又由题意知AF=DE=2m，AB=AF+BF，
∴1.2x=2+0.5（x+60），解方程，得：，所以AB=1.2x≈55.
故第1空答案为：55.
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，分别解Rt△ABC和Rt△BEF，得出AB和BF（用含有x的表达式），又AF=DE=2，根据AB=AF+BF，列出方程，解方程，即可解决问题。
三、解答题
14．（2023·台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
【答案】解：在Rt△ABC中，，，，
∴
．
∴AC的长约为80cm．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长.
15．（2023八下·朝阳期末）某次军事演习中，一艘船以千米每小时的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行到B处时与小岛C的距离．（结果保留根号）
【答案】解：过点作，垂足为，
解：∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴，
在中，（），
∴该船在航行过程中与小岛的距离为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作，垂足为，利用特殊角的三角函数值，即可求出答案。
四、综合题
16．（2023八下·朝阳期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段的方向以每秒1单位长度的速度向终点A运动，以点P为旋转中心，将线段顺时针旋转90°，得到线段，连接，设与重合部分的面积为，点P运动时间为秒（）．
（1） ；
（2）当点落在上时，求的值；
（3）点运动过程中，求与的关系式；
（4）当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，直接写出此时的值．
【答案】（1）10
（2）解：当点落在上时，如图：
由旋转性质可知：，，
∴，
又∵，
∴，解得：，
∴（秒）
答：当点落在上时，的值为；
（3）解：当时，点在内部或边上，如图：
此时，与重合部分的面积为的面积，
∴，
当时，点在外，与交于点N，与交于点M，过点N做，垂足为H，如图：
此时，，
∴，
与重合部分的面积为四边形的面积，
∴，
由（2）可知：，
，
∴
综上所述：
（4）解：
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】（1）解：，在中，，，
∴，即：，
又∵在中，，
∴，
解得：，（负值已舍去），
故答案为：．
（4）当所在直线平分直线平分面积时，如图：
此时与交于点D，，
，
又∵，，
∴，解得：，
∴（秒）
当所在直线平分直线平分面积时，如图：
此时与交于点E，是中点；
∵，
∴，
，
又∵，，
∴，解得：，
∴（秒）
综上所述：当点与的一个顶点的连线所在直线平分面积时，或
【分析】（1）利用之间三角形三角函数的定义及勾股定理即可求出答案。
（2）利用旋转性质，三角函数定义即可求出答案。
（3）根据Q在三角形内部或外部二分情况讨论，利用三角形面积公式即可求出答案。
（4）作辅助线，利用直角三角形中三角函数定义即可求出答案。
17．（2023·抚顺）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥DC于点E，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长.
（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE，CE的长；再在Rt△BED中，利用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE，代入计算求出CD的长.
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