2023-2024学年初中数学九年级上册 4.4 解直角三角形的应用 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·斗门模拟）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·洪山期中）如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ）
A．海里 B．海里 C．2海里 D．2海里
5．（2023八下·大冶期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里.观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（2023·柳州模拟）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．m C．8m D．4m
7．（2023·金华模拟）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·齐齐哈尔模拟）如图，中，，，于点，若点是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
10．（2023·南开模拟）如图，中，，，点D，E分别在边，上，且，连接，点M是的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为 ．
11．（2023八下·中山期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile．
12．（2023七下·金华期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，
（1）当∠EFH＝55°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF
所在直线互相垂直，且∠EFH＝78°，此时∠ABC＝ 度．
13．（2023八上·绍兴月考）如(图1)，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如(图2)，画框的左上角顶点，，，都在直线上，且，楼梯装饰线条所在直线，延长画框的边，得到平行四边形ABCD．若直线恰好经过点，，，，则正方形画框的边长为
三、解答题
14．（2023·锦州）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．
四、综合题
16．（2023九下·兴化月考）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．
（1）求的长；结果保留根号
（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取
17．（2023八下·亳州期中）如图，等腰的底边，高，M是的中点，连接．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向点C运动，到点C停止；另一动点F从点B出发，以相同的速度沿运动，到点D停止.已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以为边作正方形，使G，H和点A在的同侧，设点E运动的时间为t秒．
（1）当时，用含t的代数式表示的长；
（2）设正方形面积为，正方形与重叠面积为，当时，求t的值；
（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒个单位的速度沿折线段，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形内（含边界）的时长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，
∴∠CAB=60°-30°=30°，
∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，
∴∠ACB=30°+30°=60°，
∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，
∵，AB=10km，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题可知：，
∴海里，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：∠BOA=90°，OB=2，OA=4，然后利用勾股定理进行计算.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故答案为：B.
【分析】易得∠BAC及∠ABC的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，易得△BCP是等腰直角三角形，则BP=PC，由含30°角直角三角形的性质得PA=BP，最后根据PA+PC=AC建立方程，求解可得BP的长.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BC
∵∠ABC=150°
∴∠CBE=30°
∴
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥BC，根据邻补角的性质可得∠CBE=30°，然后根据三角函数的概念进行计算.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：连接CA，如图，
由题可知四边形CAF 是矩形，
∴CA⊥AF，EF=CA，
∴，
∵AB⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△CDE中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接CA，由题可知四边形CAF 是矩形，得CA⊥AF，EF=CA，由同角的余角相等得，在Rt△ABC中，由余弦函数的定义得，在Rt△CDE中，由正弦函数的定义得，最后根据DF=DE+EF即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短；解直角三角形的应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
当、、三点共线的时候，有最小值，即 ，
的最小值为，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知等于EF，再通过垂线段最短可知的最小值等于CG的长.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=，
∴，
∴FN=，
∴DF=30-.
故答案为：30-.
【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.
10．【答案】
【知识点】全等三角形的应用；解直角三角形；解直角三角形的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，作CH//AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J。
∵BD//CH，
∴∠B =∠NCH，
∵BN=CN、∠DNB =∠KNC，
∵△DNBE△HNC(ASA)，
∴BD =CH，DN =NH，
∵BD =EC=6，
∴EC=CH=6
∵∠A+∠ACH=180°，∠A=60°
∴∠ECH=120°，
∵CJ⊥EH
∴EJ=JH =EC·cos30°=3 ，EH=2EJ=6，
∵DM =ME，DN =NH，
∴EH =3MN=3。
故答案为： 3
【分析】如图，作CH//AB连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J。首先证明CH=EC，∠ECH=120°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题。
11．【答案】25
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CD于点D，
由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，
∴∠ACD=90°-∠CAD=40°，
∴∠ACB=40°+50°=90°.
∵AC=60，AB=65，
∴BC==25.
故答案为：25.
【分析】过点A作AD⊥CD于点D，由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，则∠ACD=90°-∠CAD=40°，∠ACB=40°+50°=90°，然后利用勾股定理进行计算.
12．【答案】（1）125
（2）168
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，分别延长CB、HG相交于点K，
∵ BC∥EF， ∠EFH＝55°，∴∠BKH= ∠EFH＝55°，
∵ AB∥GH，∴∠ABK=∠BKH＝55°，
∵∠ABK+∠ABC=180°，
∴∠ABC=125°；
故答案为：125.
（2）如图，分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，∴BP⊥EP，即∠BPQ=90°，
∵AB∥FH，∠EFH=78°，∴∠Q=∠EFH=78°，
∴∠ABC=∠Q+∠BPQ=78°+90°=168°；
故答案为：168.
【分析】（1）分别延长CB、HG相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH= ∠EFH＝55°，∠ABK=∠BKH＝55°，利用邻补角的定义即可求出∠ABC的度数；
（2）分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，则∠BPQ=90°，由平行线的性质可得∠Q=∠EFH=78°，根据三角形外角的性质得∠ABC=∠Q+∠BPQ，继而得解.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】如图，延长EP，交CD于D点，
，
四边形BCKE是平行四边形，
BE=CK，BC=EK，
BH=EP，
，
，四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD=275cm，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】延长EP，交CD于D点，推出，解，求出DK，进而得到BE和AG，最后解得到GM的长.
14．【答案】解：如图，过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，
∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面PF的距离为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，易得四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，根据矩形的性质得MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，由平行线的性质可得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的和差算出∠ABM=45°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AM的长，在Rt△BDN中，利用∠NBD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出ND的长，最后根据线段的和差由AG=AM+MH+GH计算可得答案.
15．【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：
则，
∵斜面的坡度为，
∴设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
即，
∵为水平方向，为竖直方向，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
答：古树的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形为矩形， 最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】（1）解：作，交的延长线于点，
则，
，，
，，
，，
米，
米，米，
米，
即的长为米；
（2）解：设水池的深为米，则米，
由题意可知：，米，
米，米，
，
，
解得，
即水池的深约为米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由平行线的判定可得AF∥MN∥M N ，由平行线的性质可得∠ABM=∠BAF，∠ACM =∠CAF，在Rt ABF中，由锐角三角函数tan∠BAF=可求得BF的值，同理在Rt ACF中，可求得CF的值；然后由线段的构成BC=CF-BF可求解；
（2）设水池的深为米，则米，在Rt BND和Rt CEN 中，由锐角三角函数可求得DN和N E的值，根据线段的构成DN+DE=BC+N E可得关于x的方程，解方程可求解.
17．【答案】（1）解：∵等腰的底边，高，动点的速度都是每秒1个单位，
∴，
∴点F的运动时间为4秒，点E的运动时间为8秒，
∴F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒，
故当时，；
当时，．
（2）解：如图，当时，设与的交点为N，与的交点为K，
则，，
∵等腰的底边，高，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
解得；
如图，当时，设与的交点为Q，
则，，
∵等腰的底边，高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
综上所述，当或，使得成立．
（3）解：如图，作于，
在等腰三角形中，底边，为高，
∴，
，
，
，
∵点P的折线运动速度为，
点的水平运动速度是每秒4个单位；
当点与正方形相向而行时，
每次在正方形内的时间是，
当同向而行时，
每次在正方形内的时间是，
，
从到的时间是，
内，点两次在正方形内部，
，
当点到达时，点在上，从点到经过4秒，这4秒，点满足条件，
点在正方形的内部（包括边上）的时间是．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质结合题意即可得到，进而得到点F的运动时间为4秒，点E的运动时间为8秒，F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒，进而结合题意即可求解；
（2）分类讨论：当时，设与的交点为N，与的交点为K，则，；当时，设与的交点为Q，则，，进而根据等腰三角形的性质运用三角形的面积公式结合题意即可求解；
（3）作于，先根据题意结合勾股定理即可求出AB，进而运用锐角三角函数的性质即可得到，再结合题意进行分类讨论即可求解。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 4.4 解直角三角形的应用 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
2．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
3．（2023·斗门模拟）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，
∴∠CAB=60°-30°=30°，
∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，
∴∠ACB=30°+30°=60°，
∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，
∵，AB=10km，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
4．（2023八下·洪山期中）如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ）
A．海里 B．海里 C．2海里 D．2海里
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题可知：，
∴海里，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：∠BOA=90°，OB=2，OA=4，然后利用勾股定理进行计算.
5．（2023八下·大冶期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里.观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故答案为：B.
【分析】易得∠BAC及∠ABC的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，易得△BCP是等腰直角三角形，则BP=PC，由含30°角直角三角形的性质得PA=BP，最后根据PA+PC=AC建立方程，求解可得BP的长.
6．（2023·柳州模拟）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．m C．8m D．4m
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BC
∵∠ABC=150°
∴∠CBE=30°
∴
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥BC，根据邻补角的性质可得∠CBE=30°，然后根据三角函数的概念进行计算.
7．（2023·金华模拟）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：连接CA，如图，
由题可知四边形CAF 是矩形，
∴CA⊥AF，EF=CA，
∴，
∵AB⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△CDE中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接CA，由题可知四边形CAF 是矩形，得CA⊥AF，EF=CA，由同角的余角相等得，在Rt△ABC中，由余弦函数的定义得，在Rt△CDE中，由正弦函数的定义得，最后根据DF=DE+EF即可得出答案.
8．（2023·齐齐哈尔模拟）如图，中，，，于点，若点是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短；解直角三角形的应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
当、、三点共线的时候，有最小值，即 ，
的最小值为，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知等于EF，再通过垂线段最短可知的最小值等于CG的长.
二、填空题
9．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=，
∴，
∴FN=，
∴DF=30-.
故答案为：30-.
【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.
10．（2023·南开模拟）如图，中，，，点D，E分别在边，上，且，连接，点M是的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的应用；解直角三角形；解直角三角形的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，作CH//AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J。
∵BD//CH，
∴∠B =∠NCH，
∵BN=CN、∠DNB =∠KNC，
∵△DNBE△HNC(ASA)，
∴BD =CH，DN =NH，
∵BD =EC=6，
∴EC=CH=6
∵∠A+∠ACH=180°，∠A=60°
∴∠ECH=120°，
∵CJ⊥EH
∴EJ=JH =EC·cos30°=3 ，EH=2EJ=6，
∵DM =ME，DN =NH，
∴EH =3MN=3。
故答案为： 3
【分析】如图，作CH//AB连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J。首先证明CH=EC，∠ECH=120°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题。
11．（2023八下·中山期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile．
【答案】25
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CD于点D，
由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，
∴∠ACD=90°-∠CAD=40°，
∴∠ACB=40°+50°=90°.
∵AC=60，AB=65，
∴BC==25.
故答案为：25.
【分析】过点A作AD⊥CD于点D，由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，则∠ACD=90°-∠CAD=40°，∠ACB=40°+50°=90°，然后利用勾股定理进行计算.
12．（2023七下·金华期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，
（1）当∠EFH＝55°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF
所在直线互相垂直，且∠EFH＝78°，此时∠ABC＝ 度．
【答案】（1）125
（2）168
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，分别延长CB、HG相交于点K，
∵ BC∥EF， ∠EFH＝55°，∴∠BKH= ∠EFH＝55°，
∵ AB∥GH，∴∠ABK=∠BKH＝55°，
∵∠ABK+∠ABC=180°，
∴∠ABC=125°；
故答案为：125.
（2）如图，分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，∴BP⊥EP，即∠BPQ=90°，
∵AB∥FH，∠EFH=78°，∴∠Q=∠EFH=78°，
∴∠ABC=∠Q+∠BPQ=78°+90°=168°；
故答案为：168.
【分析】（1）分别延长CB、HG相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH= ∠EFH＝55°，∠ABK=∠BKH＝55°，利用邻补角的定义即可求出∠ABC的度数；
（2）分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，则∠BPQ=90°，由平行线的性质可得∠Q=∠EFH=78°，根据三角形外角的性质得∠ABC=∠Q+∠BPQ，继而得解.
13．（2023八上·绍兴月考）如(图1)，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如(图2)，画框的左上角顶点，，，都在直线上，且，楼梯装饰线条所在直线，延长画框的边，得到平行四边形ABCD．若直线恰好经过点，，，，则正方形画框的边长为
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】如图，延长EP，交CD于D点，
，
四边形BCKE是平行四边形，
BE=CK，BC=EK，
BH=EP，
，
，四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD=275cm，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】延长EP，交CD于D点，推出，解，求出DK，进而得到BE和AG，最后解得到GM的长.
三、解答题
14．（2023·锦州）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】解：如图，过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，
∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面PF的距离为．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点A作于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作于点N，易得四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，根据矩形的性质得MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，由平行线的性质可得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的和差算出∠ABM=45°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AM的长，在Rt△BDN中，利用∠NBD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出ND的长，最后根据线段的和差由AG=AM+MH+GH计算可得答案.
15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：
则，
∵斜面的坡度为，
∴设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
即，
∵为水平方向，为竖直方向，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
答：古树的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形为矩形， 最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
四、综合题
16．（2023九下·兴化月考）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．
（1）求的长；结果保留根号
（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取
【答案】（1）解：作，交的延长线于点，
则，
，，
，，
，，
米，
米，米，
米，
即的长为米；
（2）解：设水池的深为米，则米，
由题意可知：，米，
米，米，
，
，
解得，
即水池的深约为米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由平行线的判定可得AF∥MN∥M N ，由平行线的性质可得∠ABM=∠BAF，∠ACM =∠CAF，在Rt ABF中，由锐角三角函数tan∠BAF=可求得BF的值，同理在Rt ACF中，可求得CF的值；然后由线段的构成BC=CF-BF可求解；
（2）设水池的深为米，则米，在Rt BND和Rt CEN 中，由锐角三角函数可求得DN和N E的值，根据线段的构成DN+DE=BC+N E可得关于x的方程，解方程可求解.
17．（2023八下·亳州期中）如图，等腰的底边，高，M是的中点，连接．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向点C运动，到点C停止；另一动点F从点B出发，以相同的速度沿运动，到点D停止.已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以为边作正方形，使G，H和点A在的同侧，设点E运动的时间为t秒．
（1）当时，用含t的代数式表示的长；
（2）设正方形面积为，正方形与重叠面积为，当时，求t的值；
（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒个单位的速度沿折线段，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形内（含边界）的时长．
【答案】（1）解：∵等腰的底边，高，动点的速度都是每秒1个单位，
∴，
∴点F的运动时间为4秒，点E的运动时间为8秒，
∴F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒，
故当时，；
当时，．
（2）解：如图，当时，设与的交点为N，与的交点为K，
则，，
∵等腰的底边，高，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
解得；
如图，当时，设与的交点为Q，
则，，
∵等腰的底边，高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
综上所述，当或，使得成立．
（3）解：如图，作于，
在等腰三角形中，底边，为高，
∴，
，
，
，
∵点P的折线运动速度为，
点的水平运动速度是每秒4个单位；
当点与正方形相向而行时，
每次在正方形内的时间是，
当同向而行时，
每次在正方形内的时间是，
，
从到的时间是，
内，点两次在正方形内部，
，
当点到达时，点在上，从点到经过4秒，这4秒，点满足条件，
点在正方形的内部（包括边上）的时间是．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质结合题意即可得到，进而得到点F的运动时间为4秒，点E的运动时间为8秒，F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒，进而结合题意即可求解；
（2）分类讨论：当时，设与的交点为N，与的交点为K，则，；当时，设与的交点为Q，则，，进而根据等腰三角形的性质运用三角形的面积公式结合题意即可求解；
（3）作于，先根据题意结合勾股定理即可求出AB，进而运用锐角三角函数的性质即可得到，再结合题意进行分类讨论即可求解。
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