2023-2024学年苏科版九年级数学上学期期末提升试卷（含解析)

2023-2024学年苏科版九年级数学上学期期末提升试卷
（范围：九上下）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每小题3分，共24分)
1．临沂古称琅琊，是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到临沂观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（ ）

A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．“其它”所表示的扇形的圆心角为
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有4万人
2．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（ ）．
A． B． C． D．
3．若，则的值为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．3
4．已知抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线且过点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．（m为实数）
5．若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
7．小组合作学习是一种有效的学习方式，有甲、乙两位同学讨论他们七人小组的期中数学成绩．甲说：“我们组考110分的人最多．”乙说：“我们组成绩排在最中间的恰好也是110分．”甲、乙两位同学的话反映出的统计量分别是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和中位数 D．众数和方差
8．如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．方程的负整数解为 ．
10．如图，内接正八边形，若的面积为，则正八边形的面积为 ．
11．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”）
12．已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ．
13．5张“一诚卡”上分别写着数字1、1、2、2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为 ．
14．已知，两点均在抛物线上，点是该抛物线顶点，若，则的取值范围为 ．
15．如图，在中，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若两点同时出发，则当以点为顶点的三角形与相似时，运动时间为 s．
16．如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ．
三、解答题(共52分)
17．某水果商场销售一种高档水果．
(1)若原售价每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？
18．已知关于x的一元二次方程
(1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
19．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
20．如图．已知抛物线经过三点，为坐标原点

(1)求此抛物线的解析式
(2)若把抛物线向下平移个单位度，再向右平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点在内．求的取值范围
21．如图，一楼房后有一假山，其斜坡的坡度，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离米，与亭子距离米．小丽从楼顶A处测得点E的俯角为．
(1)求休息亭E的垂直高度；
(2)求楼房的高．（结果保留整数，参考数据：，）
22．盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为_____；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
四、问答题
23．如图所示，在矩形中，．点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么：
(1)点运动多少秒时，的面积为；
(2)当为何值时，与相似？
五、计算题
24．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
25．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发中学生对科技的热情，某区举办了青少年科技创新大赛，赛后工作人员从中随机抽取40名学生的成绩（满分100分），整理过程如下：
收集数据：40名学生的成绩如下：（单位：分）
66，76，78，78，80，80，80，82，84，85，85，85，86，86，86，87，88，88，88，88，88，90，92，93，93，93，94，95，95，96，97，98，98，98，98，99，99，100，100，100．
整理分析数据：
等级 成绩（单位：分） 频数（人数） 各组总分值/分
66
3 232
1446
19 1828
请根据图表中信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，填空：本次所抽取成绩的中位数是___________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)若全区有800名学生参加，将对成绩在分之间的学生进行奖励，请你估算出获奖学生的人数；
(3)请你根据以上数据写出一条关于本次大赛成绩的结论．
2023-2024学年苏科版九年级数学上学期期末考试卷（提升卷）
答案解析
一、单选题(每小题3分，共24分)
1．临沂古称琅琊，是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到临沂观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（ ）

A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．“其它”所表示的扇形的圆心角为
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有4万人
【答案】B
【分析】用自驾方式的人数除以它所占百分比可得样本容量，可判断选项A；用乘“其它”所占百分比可得其它”所表示的扇形的圆心角度数，可判断选项B；用样本容量乘选择公共交通出行的百分比可判断选项C；用样本估计总体可判断选项D．
【详解】解：A．本次抽样调查的样本容量是：，故选项A结论正确，不符合题意；
B．“其它”所表示的扇形的圆心角为：，故选项B结论错误，符合题意；
C．样本中选择公共交通出行的有：（人），故选项C结论正确，不符合题意；
D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有：（万人），故选项D结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，熟悉样本容量、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表．
2．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，过点作，交于点．在中，，，，．
【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．
3．若，则的值为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．3
【答案】A
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
4．已知抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线且过点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．（m为实数）
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，，抛物线的对称轴为直线，，可得，，进而可判断A、C的正误；由二次函数的图象与性质可知当时，，关于对称轴对称的点坐标为，则，进而可判断B的正误；由，可判断D的正误．
【详解】解：由题意知，，抛物线的对称轴为直线，，
∴，，
∴，A错误，故不符合要求；C正确，故符合要求；
由抛物线的性质可知，当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∴当时，，B错误，故不符合要求；
∵，
∴，D错误，故不符合要求；
故选：C．
5．若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，．
【详解】解：解方程（，，均为常数，），
得：，
关于的方程（，，均为常数，）的解是，，
，，
方程的解为，
，，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的解，直接开平方法解一元二次方程，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解是解答本题的关键．
6．如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由图可知，故过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点，然后根据网格的特点用勾股定理计算半径和点D、E、F三点到圆心的距离即可判定．
【详解】解：如图，
∵，
∴过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点，
∴，
，
，
∴点F在圆O外，点D、E在圆O上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是关键网格的特点找到圆心的位置．
7．小组合作学习是一种有效的学习方式，有甲、乙两位同学讨论他们七人小组的期中数学成绩．甲说：“我们组考110分的人最多．”乙说：“我们组成绩排在最中间的恰好也是110分．”甲、乙两位同学的话反映出的统计量分别是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和中位数 D．众数和方差
【答案】C
【分析】根据众数即出现次数最多的数据，中位数即一组有序的数据里中间的数据或中间两个数据的平均数，判断即可．
【详解】∵甲从众数的角度说明，乙从中位数的角度说明，
故选C．
【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握概念是解题的关键．
8．如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）

A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接交于O，
由题意得，分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴，

根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积，
∴，
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．方程的负整数解为 ．
【答案】
【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键．
【详解】解：设，，则，
可得，
解得，
或，
解得，
故方程的负整数解为，
故答案为：．
10．如图，内接正八边形，若的面积为，则正八边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正多边形和圆，取中点，连接，根据三角形的面积公式得到的面积的面积，根据正八边形的性质计算．
【详解】解：取中点，则点为正八边形外接圆的圆心，连接，
的面积的面积，
圆内接正八边形是由个与全等的三角形构成．
则圆内接正八边形为，
故答案为：．
11．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出．
【详解】解：过点作交于点，连接．
，，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
即，
故答案为：．
12．已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ．
【答案】
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，根据方差的公式计算出方差，再计算标准差．
【详解】解：由题意得：
解得：
方差
∴标准差
故答案为：．
【点睛】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
13．5张“一诚卡”上分别写着数字1、1、2、2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为 ．
【答案】
【分析】利用完全列举法展示所有等可能的结果，再根据三角形三边关系找出可以作为三角形三边的结果数即可求解．
【详解】解：5张一诚卡片任选3张，所有可能的结果数为1、1、2；1、1、3；1、2、2；1、2、3；2、2、3；3、1、2；3、2、1；2、2、1；2、1、1；3、1、1，
共有10种选法，其中可以作为三角形三边的边长的选法有：、，，共3种选法，
∴所求概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查用列举法求概率、概率公式、三角形的三边关系，列举出所有等可能的结果是解题的关键．
14．已知，两点均在抛物线上，点是该抛物线顶点，若，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查二次函数的性质，由可得抛物线开口向下，由点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离求解．解题的关键是掌握二次函数图像与系数的关系及二次函数图像的增减性．
【详解】解：∵点是该抛物线顶点，，
∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
当点，关于抛物线对称轴对称时，抛物线对称轴为直线，
∴且时符合题意，
故答案为：且．
15．如图，在中，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若两点同时出发，则当以点为顶点的三角形与相似时，运动时间为 s．
【答案】3或4.8
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则．
①当D与B对应时，有，
∴，
∴，
∴；
②当D与C对应时，有．
∴，
∴，
∴．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s，
故答案为：3s或4.8s．
16．如图，在中，点C是劣弧的中点，点P在劣弧上，且，于H，当，则 ．
【答案】
【分析】在上截取，连接，可以证明，得到，由，得到，由圆周角定理得到，因此，得到，即可求解．
【详解】在上截取，连接，
∵C是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
三、解答题(共52分)
17．某水果商场销售一种高档水果．
(1)若原售价每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且尽可能减轻顾客负担，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，营销问题,通过设出未知数，找到等量关系建立方程求解是解题的关键.
（1）设每次下降的百分率为x，根据题意表示两次降价后的价格为元，再建立方程，解方程即可求解；
（2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，再利用总利润等于每件利润乘以销售量可得方程，再解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
又∵尽可能减轻顾客负担，
∴．
答：每千克应涨价5元．
18．已知关于x的一元二次方程
(1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
【答案】(1)无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后解不等式即可；掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；
（2）将代入可得出关于m的一元二次方程求解即可；理解方程的解的定义成为解题的关键．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，
∴，化简可得：，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入可得：
，
解得：或．
19．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
【答案】(1)证明见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，则，由此即可证明结论；
（2）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到阿安；
（3）先根据等边对等角和角平分线的定义得到，进而利用三角形内角和推出，则，求出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为3；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵半径为2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求不规则图形的面积，等边对等角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，通过连接，证明切线从而构造直角三角形是解题的关键．
20．如图．已知抛物线经过三点，为坐标原点

(1)求此抛物线的解析式
(2)若把抛物线向下平移个单位度，再向右平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点在内．求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，采用待定系数法确定函数关系式，利用二次函数交点式求解解析式即可得到答案；
（2）根据二次函数图像的平移，数形结合，把抛物线向下平移个单位度，再向右平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点在内，可转化为的取值范围在直线与直线、直线交点之间，求出处交点坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线经过三点，
，
将代入得，解得，
抛物线的解析式；
（2）解：若把抛物线向下平移个单位度，则，顶点为，
连接，作直线交轴、直线于，如图所示：

设直线：，将代入表达式得，解得，
直线：；
当时，与直线的交点坐标为；与直线的交点坐标为；
若把抛物线向下平移个单位度，再向右平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点在内．的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图像与性质、抛物线平移等知识，掌握二次函数表达式、直线表达式求法，数形结合，将问题转化为直线与轴、直线交点相关问题是解决问题的关键．
21．如图，一楼房后有一假山，其斜坡的坡度，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房的水平距离米，与亭子距离米．小丽从楼顶A处测得点E的俯角为．
(1)求休息亭E的垂直高度；
(2)求楼房的高．（结果保留整数，参考数据：，）
【答案】(1)休息亭E的垂直高度为30米
(2)楼房的高约是102米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
（1）过点作于点．在中，求出，然后根据勾股定理解答；
（2）过点作于点．在中，，结合（1）中结论得到的值，再根据，求出的值．
【详解】（1）解：过点作于点．
在中，米，，
，
，
∴米．
答：休息亭E的垂直高度为30米．
（2）解：过点作于点．
则，．
在中，，
，
由（1）得（米），
又米，
∴米，
（米）．
答：楼房的高约是102米．
22．盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为_____；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用概率公式可直接得出答案；
（2）利用列表或画树状图的方法表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：由题意知，恰好是“麋鹿”的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

由图可知，共有6种等可能的情况，其中恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的情况有2种，
，
因此抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率是．
【点睛】本题考查列表或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图表示出所有等可能的情况，做到不重复、不遗漏．
四、问答题
23．如图所示，在矩形中，．点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么：
(1)点运动多少秒时，的面积为；
(2)当为何值时，与相似？
【答案】(1)当为1或5时，的面积等于
(2)当或时，与相似
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定和性质，动点问题．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
（1）由题意可知，，再根据三角形面积公式列方程求解，即可得到答案；
（2）由题意可知，，，分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：当为1或5时，的面积等于；
（2）解：，
，
，
①当时，，
，
解得：；
②当时，，
，
解得：，
当或时，与相似．
五、计算题
24．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2），
【分析】（1）分别根据求算术平方根，零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据，得，将其代入进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算及分式的化简求值，熟知实数的混合运算及分式混合运算的法则是解答此题的关键．
25．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发中学生对科技的热情，某区举办了青少年科技创新大赛，赛后工作人员从中随机抽取40名学生的成绩（满分100分），整理过程如下：
收集数据：40名学生的成绩如下：（单位：分）
66，76，78，78，80，80，80，82，84，85，85，85，86，86，86，87，88，88，88，88，88，90，92，93，93，93，94，95，95，96，97，98，98，98，98，99，99，100，100，100．
整理分析数据：
等级 成绩（单位：分） 频数（人数） 各组总分值/分
66
3 232
1446
19 1828
请根据图表中信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，填空：本次所抽取成绩的中位数是___________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)若全区有800名学生参加，将对成绩在分之间的学生进行奖励，请你估算出获奖学生的人数；
(3)请你根据以上数据写出一条关于本次大赛成绩的结论．
【答案】(1)补全频数分布直方图见解析，88，88，
(2)估计获奖学生的人数为380人；
(3)本次大赛成绩不错，高分较多，甚至有3人是满分．
【分析】（1）根据数据可知，，可补全频数分布直方图，根据中位数、众数、平均数的求法即可求解；
（2）用样本估算总体即可；
（3）答案合理即可．
【详解】（1）解：根据数据可知，，
补全频数分布直方图，如图，
中位数是第20、21个数，都是88分，所以中位数是88分；
88分出现了5次，出现次数最多，所以众数是88分；
平均数是（分）；
故答案为：88，88，；
（2）解：（人），
答：估计获奖学生的人数为380人；
（3）解：本次大赛成绩不错，高分较多，甚至有3人是满分．
【点睛】本题考查频数分布表、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．