广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试文科数学试题

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揭阳一中2014-2015学年度高二级第二学期期中考试
（文科）数学试卷
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．2·1·c·n·j·y
1．复数z满足，则z＝（ ）
2．设函数若f（x）为奇函数，则g（－4）的值是（ ）
A．－2　　B．－　　C．－　　D．2
3．下列推理所得结论正确的是（ ）
A． 由类比得到
B． 由类比得到
C． 由类比得到
D． 由类比得到
4．若复数，则（ ）
A．1 B．i C．-1 D．-i21教育网
5．若函数在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．{3} C． D．（0，3）
6．若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数）， 则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交过圆心 B．相交而不过圆心 C． 相切 D． 相离
7．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上是增函数
8．已知实数满足 ( http: / / www.21cnjy.com )若目标函数取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为（ ）
A． 　 B． 　 C． 　 D．1
9．已知实数，满足，函数的最大值记为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
10．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．，将函数的图像关于轴对称
B．，将函数的图像关于轴对称
C．，将函数的图像关于点对称
D．，将函数的图像关于点对称
二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上).
11．已知程序框图如右，则输出的= ．
12．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，
x＋＝＋＋≥3，
x＋＝＋＋＋≥4，…，
归纳得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________．
13．在极坐标系（）中，直线
被圆截得的弦的长是 ．
14．已知为圆上任意一点，则的最大值为________．
三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.（本小题满分12分）已知，
（1）求的值；（2）当时，求的最值．
16. （本小题满分12分）7．某种零件 ( http: / / www.21cnjy.com )按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n ；
（2）在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级
恰好相同的概率．
17. （本小题满分14分）已知函数，数列的前项和为, 且点在函数 的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设= ,数列｛｝的前前项和为，若 对任意的 恒成立，求实数的取值范围．
18. （本小题满分14分） 如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面ABCD垂直, 底面是的菱形, 为的中点.
（1） 求证:；
（2）在棱上是否存在一点,使得四点共面
若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；
（3）求点到平面的距离.
19. （本小题满分14分）已知椭圆的方程为：，其中，
直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.21·cn·jy·com
20. （本小题满分14分） 已知函数，，，其中，且.
（1）当时，求函数的最大值； （2）求函数的单调区间；
（3）设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.
揭阳一中2014-2015学年度高二级第二学期期中考试
（文科）数学试卷参考答案
BACCA BCABB 11、9 12、nn 13、 14、
15、解: (1) …………………………………1分
………………………………………………2分
……………………………………………………4分
…………………………………………6分
(2) ，………………………………………8分
………………………………………………10分
………………………………………………11分
，……………………………………………12分
16、解：(1)由频率分布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，即m＋n＝0.45.
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n＝＝0.1，
所以m＝0.45－0.1＝0.35. ………5分
（2）由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，
(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y ( http: / / www.21cnjy.com )2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，
共10种．………8分
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种．………10分
故所求概率为P(A)＝＝0.4. ………12分
17、解：（1）由题意有： ① ………1分
当=1时， ………2分
当时， ② ………3分
①-②有： …………5分
∴是首项为2，公比为3的等比数列， . …………6分
(2)．………………………7分
∴
………………………8分
． ………………………9分
∴ ………10分
………11分
∴恒成立，即．………12分
且 ∴ ……13分
故． ………14分
18、解：(1)方法一:
取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,
所以,,又,平面,平面,
所以平面,又平面,所以.………………4分
方法二:连结,依题意可知△,△均为正三角形,
又为的中点,所以,,
又,平面,平面,
所以平面,
又平面,所以.………………4分
（2）当点为棱的中点时,四点共面,证明如下:………………6分
取棱的中点,连结,,又为的中点,所以,
在菱形中,所以,所以四点共面.…………8分
（3）点到平面的距离即点到平面的距离,
由(Ⅰ)可知,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,即为三棱锥的体高.………………9分
在中,,,
在中,,,边上的高,
所以的面积,………………10分
设点到平面的距离为,由得………………11分
,
又,所以,……13分
解得,
所以点到平面的距离为.………………14分
19、解：(1)设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是， ………………………… 2分21cnjy.com
根据椭圆的定义得：，
即，即，……………… 4分
又，，联立三式解得 ……………… 6分
所以椭圆的方程为： ……………………………… 7分
(2)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为，
则以为直径的圆方程是，圆心为，半径为 …9分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是，圆心是，半径是 ………… 11分
两圆心距为，所以两圆内切. …………………… 14分
20、【答案】⑴-1; ⑵详见解析; ⑶
试题分析：⑴令g′（x）=0求出根，判断g′（x）在左右两边的符号，得到g（x）在上单调递增，在上单调递减，可知g（x）最大值为g（1），并求出最值；
( http: / / www.21cnjy.com )①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴；www.21-cn-jy.com
②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴.
综上得，实数的取值范围为. ……………（14分）.
P
A
B
C
D
M
Q
O
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