泸州市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
3．不等式的解集为
A． B． C． D．
4．函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
5．设，则a，b，c的大小关系为
A．a
6．若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
7．西昌市某公司为了提高销售部业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额x与奖励金额y（万元）之间函数关系为，某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为（ ）（万元）
A．128 B．256 C．512 D．1024
8．设函数，若关于x的方程（且）在区间内有5个不同的根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知a，，则的必要不充分条件可以是
A． B． C． D．
10．下列函数是奇函数且在区间上单调递增的是
A． B． C． D．
11． 函数是定义在上的奇函数，当时，，以下命题错误的是
A．当时， B．函数与轴有4个交点
C．的解集为 D．的单调减区间是
12．若关于的不等式的解集为，则的值可以是
A． B． C．2 D．1
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． ．
14．幂函数在上单调递减，则 .
15．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数，，，，对任意，总存在，使得成立，则实数m的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．(12分)
已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围．
19．(12分)
已知一元二次函数，满足，
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数t的取值范围.
20．(12分)
第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）
(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.
21．(12分)
已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求实数的值．
(2)试判断的单调性，并用定义证明．
(3)解关于的不等式．
22．(12分)
已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的单调性并用定义法证明；
（3），其中，若对任意，总存在，使得成立.求实数的取值范围.泸州市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题参考答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B 7．B 8．D
9．CD 10．CD 11．ABD 12．BC
13．3 14．4 15． 16．
17．（1）原式．
（2）原式．
18．（1），所以，
当时，，所以.
（2）当，即时，，满足.
当时，要使，则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
19．（1），
，
所以，解得，所以.
（2）在上有解,即在上有解，所以，
由（1）得的对称轴为：，又，
所以当时，，所以.
20．（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，
销售量为（万套），供货单价为（元），
总利润为（万元）.
（2）设单套售价为元，此时销售量为万套，
供货价格为元，
同时，所以.
所以单套利润为
，
当且仅当，即时取等号.
所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元.
21．（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，所以，
即恒成立，所以，解得.
（2）解：函数在上为减函数.证明如下：
由函数，任取且，
则，
因为，所以，又因为，
所以，即，
所以函数在上为减函数.
（3）解：由（1）（2）知，函数为奇函数，且在上为减函数，
所以，即为，
令，可得，解得，
即，解得，所以不等式的解集为.
22．解：（1）因为，所以，解得，故函数的定义域．
（2）在上单调递减，证明如下：
证明：设，设，
，
根据复合函数单调性可知，，
故在上单调递减．
（3）因为在上为减函数，
所以在，上的值域，，
所以在，上的最大值，
令，，，，，
由题意得，在，上有解，
当在，上恒成立时，
所以，，
，，，
①当时，，
，
由题意，，
此时满足题意．
②当时，，
，
由题意或，
此时满足题意．
③当时， ，
（1），
由题意（1），．
综上实数的取值范围为．