第21章 一元二次方程 综合复习题 2023-2024学年人教版数学九年级上册 （山东地区适用）（含答案解析）

第21章 一元二次方程
一、单选题
1．（2023上·山东聊城·九年级校联考期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A． B．3 C． D．不存在
3．（2023上·山东济南·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（ ）
A． B．0 C．1 D．1或者
4．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
①；②；③；④； ⑤；⑥．
小明的解答从第______步开始出错．
A．① B．③ C．④ D．⑤
5．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的两个实数根之积为
C．方程的两个根是、 D．一元二次方程有两个实数根
8．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）国家统计局发布报告显示，2019年我国单位能耗约为0.571吨标准煤/万元，而2021年我国单位能耗约为0.555吨标准煤/万元．设平均每年单位能耗降低率为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·山东菏泽·九年级校考期末）活动选在一块长米、宽米的矩形空地上，如图，空地被划分出个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为平方米，小路的宽应为多少米？设小路宽为米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是 ．
12．（2023上·山东德州·九年级统考期末）用公式法解方程，其中 ．
13．（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）方程的解是 ．
14．（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）一元二次方程的两个根为，，则的值为 ．
15．（2023上·山东德州·九年级统考期末）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请 个队参赛．
16．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房价在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，则去年12月份的房价单价为每平方米 元．
17．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）2020年某市政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2022年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为 ．
三、问答题
18．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．
19．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）根据要求解下列方程．
(1)用配方法解方程：．
(2)用公式法解方程．．
20．（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围．
21．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若该方程的一个根为，求实数的值；
(2)若该方程有实数根，求实数的取值范围．
22．（2023上·山东德州·九年级统考期末）解方程
(1)；
(2)．
23．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)；
(2)
24．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为，，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．

25．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加2人，每人的单价就降低20元（每人单价不能低于580元）．
(1)若某个旅行团的人数为x人，则每人的单价应为______元；
(2)请你帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？
26．（2023上·山东济南·九年级统考期末）济南市响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过18米，另外三边由36米长的栅栏围成，已知矩形的面积是160平方米，求矩形的边长，的长度．
四、证明题
27．（2023上·山东潍坊·九年级统考期末）已知k为实数，关于x的方程为．
(1)请证明不论k取何值，这个方程总有两个根；
(2)若方程的两个根分别记为，，且满足，求k值．
参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可．
【详解】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
一元二次方程有①②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．
2．C
【分析】利用一元二次方程定义可得，且，再解出m的值即可．
【详解】由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．A
【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，根据二次项系数不为0，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能等于0．
4．D
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤逐步判断即可．
【详解】解：
故第⑤步开始出错．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
5．C
【分析】把方程左边化为完全平方公式的形式即可得出结论．
【详解】解：原方程可化为，即．
故选：C．
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式．
6．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据，即可求解．
【详解】解：设另一个根为，依题意，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 方程，即，解是或，故该选项不正确，不符合题意；
B. 方程的两个实数根之积为，故该选项正确，符合题意；
C. 方程，即，则方程的两个根为，故该选项不正确，不符合题意；
D. 一元二次方程中，，
∴原方程没有实数根，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
8．A
【分析】利用增长率的问题可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意列出等量关系：10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，即可解出此题．
【详解】解：根据10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，可得方程：
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．
10．A
【分析】根据图形可知6个矩形的面积和等于长为米，宽为米的矩形的面积，据此列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设小路宽为米，根据题意得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
11．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键．
12．8
【分析】根据方程得出a，b，c的值，即可求出．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程得出二次项系数，一次项系数和常数项．
13．，
【分析】利用因式分解法解此一元二次方程即可．
【详解】
解：分解因式得：，
或，
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．
14．
【分析】根据一元二次方程的根的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
15．5
【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，则每个队参加场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
【详解】解：∵赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，
∴共场比赛．
设比赛组织者应邀请队参赛，
则由题意可列方程为．
解得，（舍去），
所以比赛组织者应邀请5队参赛．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于可以把实际问题转换成数学问题．
16．
【分析】设房价的下降率为x，根据“商品房成交价由今年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设房价的下降率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去）
∴房价的下降率为，
∴12月份的房价单价为每平方米元．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
17．
【分析】设每年市政府投资的增长率为x，根据到2022年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解．
【详解】设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得：．
故答案为：．
【点睛】主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
18．
【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程的解，
∴，即：，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：移项得，．
配方得，，，
，
原方程的解为，．
（2）解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根，，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键．
20．
【分析】利用根的判别式进行求解即可．
【详解】解：
∵方程没有实数根，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，解答的关键是明确根的判别式： 时，方程没有实数根； 时，方程有两个相等的实数根； 时，方程有两个不相等的实数根．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义将代入中进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得：，
∴实数的值为；
（2）解：∵方程有实数根，
∴，
解得：，
∴实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．(1)；
(2)．
【分析】（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
或，
∴，，
（2），
∵，，，
∴，
则方程有两个不相等实数根，
∴，
∴，，
【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．
（2）根据完全平方公式变形，即可求解．
【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
24．新的矩形绿地的长为，宽为．
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为，然后根据扩充后的矩形绿地面积为，列出方程求解即可．
【详解】解：设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，.
答：新的矩形绿地的长为，宽为.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
25．(1)
(2)当一个旅行团的人数是52人时，可以获得最大的营业额，最大的营业额为元．
【分析】（1）直接根据题意列代数式即可；
（2）设一个旅行团的人数是x人，营业额是y元，根据条件：30人起组团，分情况取最大值比较．
【详解】（1）每人的单价应为（元），
故答案为．
（2）设一个旅行团的人数是x人，营业额是y元，
①当时，，
②当时，根据题意可得：，，
∵每人单价不能低于580元，
∴，
∴．
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当一个旅行团的人数是52人时，这个旅行社可以获得最大的营业额，
最大的营业额为元．
，
综上所述，当一个旅游团的人数是52时，旅行社可以获得最大营业额．
【点睛】本题是二次函数的应用，属于利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
26．的长是10米，的长是16米．
【分析】设的长度为x米，则的长度为米，然后根据矩形的面积列方程求解．
【详解】设的长度为x米，则的长度为米，
由题意得：，
解得，
∵时，（舍去），
∴，
即米，米，
答：的长是10米，的长是16米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，准确识图，找准等量关系是解题关键．
27．(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】（1）证明：由原方程变形为，
，
∴不论k取何值，方程总有两个实数解；
（2）解：，分别是关于x的方程的两个根，
，，
，
，
，
得，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键．