第24章 圆 综合复习题 2023-2024学年人教版数学九年级上册 （山东地区适用）（含答案解析）

第24章 圆
一、单选题
1．（2023上·山东泰安·九年级校考期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（　　）
A．13 B．14 C．12 D．28
2．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）

A．30° B．25° C．20° D．10°
4．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，是的内接三角形，为的直径．若，，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　）
A．的内部 B．的外部
C．上或的内部 D．上或的外部
6．（2023上·山东济宁·九年级校考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（　　）

A． B． C． D．
7．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如图，大圆的弦与小圆相切于点P，若存在一个以O为圆心，面积等于圆环的圆，则该圆的半径为（ ）的长．

A． B． C． D．
8．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．三点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的 相等 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
9．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则正六边形内切圆的半径是（ ）

A． B．2 C． D．
10．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（ ）
A．4π B．8 C．4 D．8
11．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
12．（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023上·山东济宁·九年级校考期末）如图在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，则的最小值是 ．
14．（2022上·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点．且，分别与、相交于点E，F．若的半径为5，，点P是线段上任意一点，则的最小值是 ．

15．（2023上·山东泰安·九年级校考期末）的三边为2，3，，则外接圆的半径长为 ．
16．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的表达式为，若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
17．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长之比为 ．
18．（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为 ．
19．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）有一个边长为的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的面积至少应为 （结果保留）．
20．（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，有一个半径为 2dm的圆形时钟，其中每相邻两个刻度间的弧长均相等，连接圆心与9点和11点的位置，则钟面中阴影部分的面积为 dm2．

21．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）

22．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为 ．
23．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）如图，扇形纸扇完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，D，E分别为的中点，则的长为 ．
三、问答题
24．（2023上·山东聊城·九年级统考期末）如图，是的弦，C为的中点，的延长线与交于点D，若，求的半径．

25．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由；
(3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式．
26．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，点、、在圆上，，直线，，点在上．

(1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求劣弧所在扇形的面积．
27．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知扇形中，．
(1)若扇形的半径，求扇形的面积S及图1中阴影部分的面积；
(2)在扇形的内部，与都相切，且与只有一个交点C，此时我们称为扇形的内切圆，如图2，若扇形除去剩余部分的面积为，试求扇形的半径R．
四、作图题
28．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．

(1)若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）
(2)若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径．
五、证明题
29．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．
(1)求证：直线是的切线；
(2)过点作于点，交于点E，若的半径为，，求图中阴影部分（弓形）的面积．
参考答案：
1．D
【分析】由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点 、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
2．C
【分析】过点O作于点C，连接，根据得出，根据垂径定理可得，，设，根据勾股定理可得，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点O作于点C，连接，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．
3．C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
4．B
【分析】连接，根据为的直径，可得，根据，可得．进而可得的长．
【详解】解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
．
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
5．A
【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若，则点P在的外部，若，则点P在的内部，若，则点P在上，即可解答．
【详解】解：解方程可得，，，
∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，
∴，
∴点P在的内部，
故选A
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．
6．D
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵与分别相切于点、，
∴ ，，，
∴四边形是正方形，
设，
则，
∵的内切圆与、、分别相切于点、、，
∴，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．
7．C
【分析】根据勾股定理表示圆环的面积然后即可求得圆的半径．
【详解】解：如图，连接，，
∵大圆的弦与小圆相切于点P，
∴，
∴ ，
∵大圆的半径为，小圆的半径为，
∴圆环的面积为，
∴圆环的面积为，
∵有一以点O为圆心的圆面积恰好等于圆环的面积，

∴该圆的半径为，
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是能够求得圆环的面积，难度不大．
8．D
【分析】理解真命题的定义，根据垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，内心的性质解答即可．
【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；
B．不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
C．同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，原命题是假命题；
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等，原命题是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，内心的性质是解答本题的关键．
9．A
【分析】根据已知条件先求出正六边形的边长以及对应角度，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：连接、，过作于点，如图所示，

∵多边形是正六边形，正六边形的周长是12，
∴，,
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴,
在中，，,
由勾股定理得，
即正六边形内切圆的半径是；
故选：．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
10．C
【分析】圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长，那么底面半径＝周长．
【详解】解：∵弧长为，
∴底面周长，
则圆锥的底面的半径，
故选C．
【点睛】本题利用了圆的周长公式求解，关键是明白圆锥底面周长和侧面弧长的相等的关系．
11．B
【分析】过D作，垂足为F，由此可以求出的值，然后根据阴影部分的面积=可以得到解答.
【详解】解：如图，过D作，垂足为F，

∵，，
∴，
又
∴
∴阴影部分的面积=
=
=，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质及扇形面积的求法是解题关键．
12．D
【分析】连接，过O作交于点D，根据圆周角定理可得，根据垂径定理可得，，，即可得到，根据扇形可得，，可得是等边三角形，再结合扇形弧长公式即可得到答案；
【详解】解：连接，过O作交于点D，
∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选D；
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，扇形弧长公式，解题的关键是作辅助线．
13．/
【分析】根据矩形折叠的性质得到，确定出当点在线段上时，有最小值，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵M是的中点，
∴．
∵将沿所在直线折叠，
∴，
∴点在以点M为圆心，为半径的圆上，
∴如图，当点在线段上时，有最小值，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和翻转折叠的知识点．利用数形结合的思想并确定当点在线段上时，有最小值是解题的关键．
14．
【分析】利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得，，作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，交于，连接，如图，

∵，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵点和点关于对称，
∴，
∴，
作于，如图，
则，
则，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
15．/
【分析】根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的外接圆的直径为，半径为．
故答案为．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题关键．
16．或/或
【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点P或从直线经过A开始到直线过点B结束（不包括直线过点B），当直线和半圆相切于点P时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是45°，即可得出点P的坐标，进一步得出t的值；当直线过点B时和过点A时，直线根据待定系数法求得t的值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设半圆与x轴交于A、B两点，
当直线与半圆相切时，设此时切点为P，直线与x轴，y轴分别交于F、E，过点P作轴于C，
∴，
∴，
∴，
由切线的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当直线恰好经过点B时，则，解得；
当直线恰好经过点A时，则，解得；
综上所述，当或时直线l与半圆只有一个交点，
故答案为：或．
【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键．
17．
【分析】设圆的半径为r，求出圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长解题即可．
【详解】解：设圆的半径为r，则圆内接正六边形的边长为r，
如图，可知，，
∴，
∴，
∴，
∴圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长之比为，
故答案为：．

【点睛】本题考查圆和正多边形，掌握构造直角三角形求边长是解题的关键．
18．
【分析】根据题意画出图形，再由正方形的性质判断出为等腰直角三角形，然后再用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，连接、，根据题意知，
∵是小圆的切线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴，解得或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形和圆、勾股定理、正方形的性质等知识，根据题意画出图形并利用勾股定理是解答本题的关键，属于中考常考题型．
19．
【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为，进而由勾股定理可得答案．
【详解】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：
∴圆盖的面积至少应为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形和圆的相关知识；熟记正方形与其外接圆的关系，可以给解决此题带来方便．
20．
【分析】根据9点和11点的位置可知圆心角为，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
【详解】解：由题意可知：圆心角为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查有关扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．
21．
【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．
【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作,
∴

设∠ASB＝n°，
即：，
得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．
22．/
【分析】连接、、，由，可知是直径，且长度为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出,可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可．
【详解】解：如图所示：连接、、，
，
∴是直径，
∴，
根据网格图形可知：
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
所对的圆心角是，
的长为以为直径的圆周长的，
即弧的边长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键．
23．/7.5π
【分析】设圆心角为，根据扇形面积公式列方程求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆心角为，
扇形的面积为，竹条，的长均为，
，
，
D，E分别为的中点，
，
∴的长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积与弧长的计算，解题的关键是掌握扇形的面积公式（）和弧长公式（）．
24．
【分析】根据垂径定理可知，设，则，在中利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：设，则，
∵C为的中点，，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴的半径为：5．
故答案为：5
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
25．(1)
(2)在圆上，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意以及一次函数的的性质得出，，设抛物线的表达式为 ，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，，，勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据直角所对的弦是直径，即可求解；
（3）设，将B代入得 ，则，证明，得出，，进而求得设，根据构造方程，解方程得出，进而待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于，两点，点在轴上，点的横坐标为．
令，解得：
∴，
∵点的横坐标为．
令，解得：
∴，
设抛物线的表达式为 ，将，，代入得
∴
∴抛物线的表达式为：，
（2）连接AM，
根据，，
∴
∴是直角三角形，且
∴点在以为直径的圆上；
（3）设
将B代入得
，
∴
连接，
，，
，
，
，
设，
将代入得 ，
，
，
设，
由 ，
∴，
解得 ，(舍去)，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为：，
将，代入得，
，
解得 ，
∴设直线的表达式为
【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
26．(1)直线与圆相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）由切线的判定定理，得到直线与圆相切．连接，如图所示，由平行线性质及等腰三角形性质得到，进而由三角形内角和定理可得，再结合圆的性质即可证明，从而得证；
（2）连接，作于，如图所示，由圆中半径相等得到，进而由三角形内角和定理得到劣弧所对圆心角，根据题中圆的半径长，结合扇形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：直线与圆相切．
连接，如图所示：

，
，
，
，
，
，
由三角形内角和定理可得，
，
，
，
，
是圆的半径，
直线与圆相切；
（2）解：连接，作于，如图所示：

由垂径定理可得，
，
，
，
圆的半径为6，即，
扇形的面积为：．
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，扇形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，扇形面积的求法．
27．(1)，
(2)
【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设与相切于点E，连接，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算
【详解】（1）∵，半径，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的面积．
（2）设与相切于点E，连接，，
∵直线是扇形的对称轴，
∴直线经过点C．
∴，．
∴，．
设的半径为r，则扇形的半径为．
由题意知，即，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
28．(1)见解析
(2)拱桥的半径为米
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，即可求解；
（2）根据垂径定理得出，，设拱桥的半径为，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，

（2）解：如图，

设为的中点，交于点，
∵，
∴，，
设拱桥的半径为，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱桥的半径为米．
【点睛】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论；
（2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案．
【详解】（1）连接，
是的直径
，
，
，即，
是的半径，
直线是的切线
（2）过点作于，连接，
，
由（1）得
是等边三角形，
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握相关性质和判定是解本题的关键．