第25章 概率初步 综合复习题 2023-2024学年人教版数学九年级上册 （山东地区适用）（含答案解析）

第25章 概率初步
一、单选题
1．（2023上·山东德州·九年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的中位数为3
2．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中
C．经过红绿灯路口，遇到绿灯
D．打开电视机，它正在播广告
3．（2023上·山东东营·九年级统考期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．抛掷1枚骰子，出现6点向上 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．抛物线关于y轴成轴对称 D．圆内接四边形的对角互补
4．（2023上·山东济宁·九年级校考期末）下列事件是必然事件的是（　　）
A．画一个三角形，其内角和是
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数大于7
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
5．（2023上·山东东营·九年级校考期末）不透明口袋中有2个红球、3个黑球、4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023上·山东济南·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球和黑球共（ ）
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
7．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）下列判断正确的是（　　）
A．天气预报说“明天的降水概率为”，则表示明天有的时间都在降雨
B．掷一枚硬币正面朝上的概率为，则表明掷硬币8次，一定有4次正面朝上
C．“世界杯比赛时，一位队员在罚点球时足球被踢进球门”为必然事件
D．若a是实数，则
8．（2023上·山东滨州·九年级校考期末）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023上·山东德州·九年级统考期末）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》.甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同.将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）某市初中学业水平实验操作考试，要求九年级的每名学生从物理，化学，生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小敏和小慧一个抽到化学，一个抽到物理的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·山东威海·九年级统考期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则不符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次数 200 400 600 800 1000
频率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33
A．三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5
B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数
C．在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀
D．掷一枚一元的硬币，正面朝上
12．（2022上·山东滨州·九年级统考期末）不透明的袋子中装有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有300次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有( )
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
二、填空题
13．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）在正面分别写有数字、、、、的五张卡片翻扣在桌面上，其背面形状、大小、颜色均完全相同．现从中任意抽取一张，那么抽到非负数的概率是 ．
14．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）我国北方有一个习俗：过年包饺子时会随机在饺子中包上糖果或硬币，我们称其为“幸运饺子”．吃到“幸运饺子”的人新的一年的日子会甜甜美美、万事如意．小亮家共煮了60个饺子，其中有4个“幸运饺子”，小亮从中随机挑选了一个饺子正好是“幸运饺子”的概率是 ．
15．（2023上·山东济南·九年级统考期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有 个．
16．（2023上·山东德州·九年级统考期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为 ．
17．（2023上·山东泰安·九年级统考期末）从，，，四个数中，随机选取个数，作为二次函数中的，则抛物线开口向上的概率是 ．
18．（2022·山东济南·统考中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
19．（2023上·山东威海·九年级统考期末）一个不透明袋子中装有2个红球，2个白球，从袋中任意摸出两个球，这两个球颜色相同的概率为 ．
20．（2023上·山东东营·九年级统考期末）一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为 ．
三、问答题
21．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，m＝________
(2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
(3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
22．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）中国共产党的助手和后备军—中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年，九年级一班将从报名的5名学生（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名担任党史宣讲员．请利用树状图或列表法求抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）“天宫课堂”激发了学生们学习航天知识的热情，小伟和小刚在学校举办的航天知识竞赛中均获得了一等奖，学校想请其中一人作为代表分享获奖心得．小伟和小刚都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为3，4，5，6，7的五个球，两口袋中的球除编号外无其他差别．小伟先从甲口袋中随机摸出一个球，小刚再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小伟获胜；若两球编号之和为偶数，则小刚获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
24．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）甲同学口袋中有三张卡片，分别写着数字1，1，2，乙同学口袋中也有三张卡片，分别写着数字1，2，9，两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片．若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数则甲胜，否则乙胜．求甲胜的概率．
25．（2023上·山东青岛·九年级统考期末）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回选匀，乙再随机抽取一张．若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
26．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机抽取1张卡片，求卡片上的图案是轴对称图形的概率．
(2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片上的图案都是中心对称图形的概率．
27．（2023上·山东威海·九年级统考期末）小亮和小颖用如图所示的两个转盘玩“配紫色”游戏．转动两个转盘各一次，若配成紫色，则小亮赢，否则小颖赢．这个游戏对双方公平吗？请通过画树状图或列表的方式说明理由．
28．（2022·山东青岛·统考中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
四、作图题
29．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）希望中学为培养全面发展型人才特开设了多个兴趣小组，增加了学生的课余活动时间，让学生有充分培养兴趣爱好的机会．现有四个兴趣小组：A“戏剧”、B“摄影”、C“棋艺”、D“舞蹈”，为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

(1)本次共调查了__________名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为__________度；
(3)若该校共有学生2000人，则估计该校喜欢摄影的学生人数约是__________；
(4)现选出了4名棋艺成绩最好的学生，其中有2名男生和2名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
30．（2023上·山东济南·九年级统考期末）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
五、应用题
31．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）现甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，需从中选2名同学打第一场比赛．
(1)若已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，则选中乙同学的概率是多少？
(2)若随机选取2名同学打第一场比赛，则选中乙同学的概率是多少？
六、计算题
32．（2022上·山东菏泽·九年级统考期末）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标不数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后计算两个数字的和．
(1)用画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜：若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，分别求出两人获胜的概率．
参考答案：
1．D
【分析】由全面调查和抽样调查的特点可判断A和B；由必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断C；由中位数的定义可判断D．
【详解】为了审核书稿中的错别字，选择全面调查，故A错误，不符合题意；
为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，故B错误，不符合题意；
“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故C错误，不符合题意；
已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的中位数为3，故D正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查判断抽样调查和全面调查，事件发生的可能性，中位数的定义．熟练掌握上述知识是解题关键．
2．A
【分析】利用必然事件的定义：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件直接得出答案即可．
【详解】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，故此选项符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，故此选项不合题意；
C．经过有信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不合题意；
D．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，解题的关键是了解能够确定发生的事件称为必然事件．
3．A
【分析】根据随机事件的概念，逐项判断即可求解．
【详解】解：抛掷1枚骰子，出现6点向上，属于随机事件，故本选项符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是，属于必然事件，故本选项不符合题意；
C、抛物线关于y轴成轴对称，属于必然事件，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形的对角互补，属于必然事件，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查的是随机事件的概念，熟练掌握随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
4．A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A. 画一个三角形，其内角和是是必然事件，故本选项符合题意；
B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数大于7是不可能事件，故本选项不符合题意；
C. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
D. 在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握相应的概念是解题的关键．
5．A
【分析】根据概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．用红球的个数除以球的总数即可．
【详解】解：不透明袋子中共装有9个球，其中有2个红球、3个黑球、4个白球，这些球除颜色外无其他差别，
从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率计算，掌握概率公式计算是解题的关键．
6．B
【分析】设白球和黑球共x个，根据概率公式得求得x即可．
【详解】设白球和黑球共x个，
根据题意，得，
解得
故选B．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7．D
【分析】根据概率的定义，事件的分类，以及实数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、天气预报说“明天的降水概率为”，则表示明天有的概率降雨，选项错误，不符合题意；
B、掷一枚硬币正面朝上的概率为，则表明大量重复掷硬币实验，正面朝上的概率是，8次试验次数太少，不一定有4次正面朝上，选项错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，选项错误，不符合题意；
D、若a是实数，则，选项正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了概率的定义，事件的分类，以及实数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．A
【分析】由两个小正方形面积可推出最大正方形的边长及面积，从而可求阴影部分的面积，根据米粒落在图中阴影部分的概率为阴影部分与大正方形面积比即可得到答案．
【详解】解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为．
∴大正方形的边长为．
则大正方形的面积为，
阴影部分的面积为．
则米粒落在图中阴影部分的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．
9．C
【分析】利用树状图找出所有可能出现的情况，利用概率公式求解即可得到答案；
【详解】解：设1、2、3、4分别代表《》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》，由题意可得，
由上图可得总的有种情况，两个都一样的有4种情况，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确列出树状图．
10．C
【分析】根据题意，用树状图法列出所有可能，找出小敏和小慧一个抽到化学，一个抽到物理的情况，根据概率公式求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
由上图可得，总共有9种情况，小敏和小慧一个抽到化学，一个抽到物理的有2种，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确列出树状图．
11．D
【分析】求出各选项中事件的概率再进行判断即可．
【详解】解：A．三张扑克牌，牌面分别是5，7，8，背面朝上洗匀后，随机抽出一张牌面是5，此事件的概率为，故选项属于符合这一结果的试验，不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数为3的倍数，此事件概率为，故选项属于接近这一结果的试验，不符合题意；
C．在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪刀，此事件概率为，故选项属于符合这一结果的试验，不符合题意；
D．掷一枚一元的硬币，正面朝上，此事件的概率为，故选项属于不符合这一结果的试验，符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了概率，熟练掌握用频率估计概率的知识是解题的关键．
12．D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：设白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴估计袋子中的白球大约有30个．
故选：D．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13．
【分析】先化简绝对值，计算算术平方根，然后根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：，
∴、、、、中非负数有三个，
∴抽到非负数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了化简绝对值，算术平方根，根据概率公式求概率，掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：任意挑选一个饺子共有60种等可能结果，其中正好是包有“幸运饺子”的有4种结果，
所以小亮从中随机挑选了一个饺子正好是“幸运饺子”的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
15．
【分析】根据概率公式求出总的情况，利用总的情况减去白球的即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
总的可能有：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
16．17
【分析】可设红球数为x个，根据白球数除以总数=白球的概率可求解
【详解】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
即估计袋中大约有红球17个．
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
17．
【分析】二次函数图像开口向上得出，从所列个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：∵从，，，四个数中随机选取一个数，共有种等可能结果，
其中使该二次函数图像开口向上的有，这种结果，
∴该二次函数图像开口向上的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
18．
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
∴它最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
19．
【分析】先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到两只球颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设用A、B表示两个红球，用C、D表示两个白球，
列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两个球的颜色相同的结果数有4种，
∴这两个球颜色相同的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
20．2
【分析】根据概率公式先求出摸到黄球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．
【详解】解：∵做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为401，
∴摸到黄球的频率是：，
∴估计其中的黄球个数为：（个）；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
21．(1)200；35
(2)420人
(3)
【分析】（1）用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去B景区的百分比得到m的值；
（2）用1200乘以B区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，C两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是（人），
，
∴；
（2）估计去B地旅游的居民约有（人）；
（3）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果， 所以选到A，C两个景区的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．
22．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．树状图见解析，游戏公平
【分析】画出树状图，找到所有可能结果数，再分别找到两球编号之和为奇数和两球编号之和为偶数的情况数，进行求解，即可做出判断．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，总共由10种等可能的情况，其中两球编号之和为奇数有5种，两球编号之和为偶数有5种，
∴两球编号之和为奇数的概率为，两球编号之和为偶数的概率为，
∴这个游戏对双方是公平的．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．
24．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后由概率公式即可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
甲、乙两人摸出卡片数字和的所有可能结果有9种，其中偶数有5种、奇数有4种；
∴甲胜的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
25．不公平，理由见解析
【分析】根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果，分别计算甲、乙获胜的概率，进行比较求解即可．
【详解】解：这个游戏不公平，理由如下：
根据题意列树状图如下：
所有等可能的结果有：4，5，7，5，6，8，7，8，10共9种，
∴，，
即数字是2的倍数的概率为，数字是5的倍数的概率为，
∵，
∴甲获胜的概率大，这个游戏不公平．
【点睛】本题考查游戏公平的判断、利用树状图计算概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．(1)
(2)见解析，
【分析】（1）5张卡片中，有3个卡片上的图形是轴对称图形，可求出从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率；
（2）由树状图表示所有可能出现的结果情况，从中找出2次都是中心对称图形的结果数，即可求出相应的概率．
【详解】（1）5张卡片中，B、C、E是轴对称图形，因此，
从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的有2种结果，分别是，
∴P(两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形) ＝．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
27．不公平，理由见解析
【分析】首先利用列表列举出事件发生的所有情况，分别算出小亮赢和小颖赢的概率，比较概率的大小，即可判定游戏的公平性．
【详解】列表如下，
红 蓝 蓝
红 红 紫 紫
红 红 紫 紫
蓝 紫 蓝 蓝
由表格可知共有9种情况，其中配成紫色的情况有5种，
即小亮赢的概率有，小颖赢的概率有，
故不公平，小亮赢的概率大．
【点睛】此题主要考查利用列表法求概率，通过概率比较得出游戏的公平性，并进一步设计游戏规则，使游戏公平，题目未给出配紫色的方法，但可由图中只有红蓝两色判断出红色和蓝色可配成紫色．
28．游戏对双方都公平
【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解．
【详解】解：所有可能的结果如下：
乙 甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
29．(1)40，补图见解析
(2)54
(3)900
(4)
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：

故答案为：40；
（2），
故答案为：54；
（3）（人），
故答案为：900；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有8种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
30．(1)
(2)
(3)小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以即可求解；
（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【详解】（1）解：（人）
故答案为：．
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：．
（3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
31．(1)
(2)
【分析】（1）利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，进行求解即可．
【详解】（1）解：从其余3名同学中随机选取1名，共有3种等可能的结果，其中恰好选中乙同学的结果有1种，
∴再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是．
（2）解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选取2名同学中有乙同学的结果有6种，
所以选中乙同学的概率．
【点睛】本题考查画树状图求概率．熟练掌握树状图的画法，以及概率公式，是解题的关键．
32．(1)见解析
(2)小杰获胜的概率为，小玉获胜的概率是
【分析】（1）利用树状图列出所有可能出现的结果即可；
（2）根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：用树状图表示出所有可能出现的结果如下：
（2）共有9种可能出现的结果，其中两次之和是3的倍数的有3种，是7的倍数的有3种，
所以两次之和是3的倍数的概率为，两次之和是7的倍数的概率为，
答：小杰获胜的概率为，小玉获胜的概率是．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有可能出现的结果是正确解答的前提．