苏科版2023-2024学年九年级上册期末模拟测试数学卷（含解析）

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期末模拟测试卷-2023-2024学年九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意卷面整洁
一、单选题
1．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．一台空调的销售价为2500元，后因淡季来临，为减少库存积压，所以连续两次降价后以1600元出售，假设两次降价百分比相同，则根据题意可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的大小等于（ ）
A． B． C． D．
4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
5．已知的半径为厘米，当厘米时，点与的位置关系是（ ）
A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定
6．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）
劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5
人数 1 1 2 1
A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.8
C．众数是2，平均数是3.75 D．众数是2，平均数是3.8
7．一个不遇明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摆出一个小球．下列判断正确的是（ ）
甲：摸到红球比摸到黄球的可能性大；乙：摸到红球的概率为
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．只有甲对 D．只有乙对
8．第19届亚运会会徽名为“潮涌”，吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，出自唐朝诗人白居易名句“江南忆，最忆是杭州”．小东收集了如图所示的四张小卡片（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小东从中随机抽取两张卡片，则他抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物宸宸”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．写出一个以为其中一根的一元二次方程 ．（写出一个即可）
10．若是一元二次方程的一个根，则 ．
11．定义：如果两个实数m，n满足，均为整数，则称m，n为一组“齐整数”．现有一组“齐整数”，且x，y满足，则的值为 ．
12．若一个扇形的面积是，它的弧长是，则它的半径是 ．
13．如图，在中，直径弦，以为圆心，为半径画弧交直径于点，连结并延长交于点，连结若，则的长为 ．
14．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、．若，，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
15．小明参加“传承经典，筑梦未来”主题演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、8分、9分．若将演讲形象、演讲内容、演讲交果三项成绩按确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是 分．
16．某人在应聘面试时，其个人的基本知识、表达能力、策划能力得分分别是80分，70分，85分，若依次按，，，则这个人面试总成绩等于 分．
17．三张纸牌，正面分别写着，0，2，背面都写着m，那么在摸牌游戏中使有实数根的概率为 ．
18．有四张完全一样正面分别写有汉字“我”“爱”“南”“开”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的概率是 ．
三、计算题
19．某商场购进一批服装，进价为250元/件．现售价为500元/件，每天可以售出40件，经市场调查发现每降价25元，每天可以多售出20件．
(1)当售价为400元/件时，求当天的销售量；
(2)要使每天的利润达到17500元，并使顾客得到更多优惠，问每件服装的售价为多少元？
20．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒．
(1)当为何值时，的面积等于？
(2)当为何值时，的长度等于？
21．如图，的圆心在格点上，点、、均在圆上，是和网格线的交点．
(1)在图1中，在格点上找一点，使得为的切线（画出一个点即可）
(2)在图2中，在优弧上画点，使得
(3)在图3中，在优弧上画点，使得
22．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人多加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩：（单位：环）：甲：10，8，9，8，10，9；乙：10，7，10，10，9，8
(1)分别计算甲、乙的平均成绩和方差．
(2)根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．
23．如图，已知内接于，点D在的延长线上，．
(1)求证：是的切线
(2)若，求的半径．
24．为落实中央关于“双碳”的战略部署，必须加快推进绿色能源开发利用．绿色电能的主要来源为风能、太阳能等，在生产电力的过程中，绿色电能的二氧化碳排放量为零或趋近于零．为了解风力发电机组每天的发电量（记为Q），现对风力发电机组中每台风力发电机一天的发电量进行了随机调查，并将发电量的数据统计整理成如下不完整的频数分布表和频数直方图：
每台风力发电机一天发电量的频数分布表
发电量Q/万千瓦时 频数 频率
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
(1)直接写出与的值，并将频数直方图补充完整．
(2)若该风力发电机组共有台风力发电机，请估计该风力发电机组中一天发电量不少于万千瓦时的风力发电机有多少台？
(3)绿色能源是指不排放污染物，能够直接用于生产生活的能源．某数学兴趣小组为了进一步学习绿色能源的相关知识，收集到太阳能热水、风力发电、氢能源汽车的图片，将其制成编号分别为、、的三张卡片（除内容外，其余完全相同）．他们将这三张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是和的概率．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了解一元二次方程与一元二次方程根的判别式；分别解A、D两个选项的方程，用判别式分别判断B、D两个选项的一元二次方程，即可完成解答．
【详解】解：A、解方程得，方程有实数根；
B、，方程有两个相等实数根；
C、，方程没有实数根；
D、方程两个解为，方程有实数根；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由关系式：原来的量现在的量，列出方程即可；根据等量关系列出方程是关键．
【详解】解：由题意得，第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，而第二次降价后的价格为1600元，
则得：，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了圆的切线性质，直角三角形的两锐角互余，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．连接，根据切线的性质，即可求得的度数．
【详解】如图，连接．
∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
4．C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．连接交于点．利用垂径定理以及勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：连接交于点．
由题意，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，小于半径则在圆内，等于半径则在圆上，大于半径则在圆外．
【详解】解：∵的半径为厘米，厘米，
∴与点的距离大于圆的半径，
所以点与外．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了求中位数、众数和平均数，解题的关键是掌握中位数、众数和平均数的定义，以及求中位数、众数和平均数的方法．根据中位数、众数的定义可得，求出该组数据的中位数和众数，再根据求平均数的方法和步骤计算平均数即可．
【详解】解：∵小组一共有5名同学，
∴中位数为第3名同学参加家务劳动时间，即中位数是4；
∵家务劳动时间为4小时的人数最多，
∴这组数据的众数为4；
平均数；
故选：B．
7．A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到红球的个数，然后即可得到摸到红球比摸到黄球的可能性大，以及摸到红球的概率，从而可以判断甲和乙的说法是否正确．
本题考查概率公式、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
【详解】解：∵不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，
∴盒子中有个红球，
则摸到红球比摸到黄球的可能性大，故甲的说法正确，
摸到红球的概率为，故乙的说法正确，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，关键是得到所有的可能结果数．本题是先画出树状图，得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：设四张小卡片依次为A、B、C、D，
画树状图为：
由图知，一共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物宸宸”的有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物宸宸”的概率为，
故选：C．
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的根与一元二次方程的关系，若是一元二次方程的一个根，则是方程的一个因式，由此可构造出以为根的一元二次方程．
【详解】解：∵是一元二次方程的其中一根，
∴是一元二次方程一般形式左边二次三项式的一个因式，另一个因式取，
则一元二次方程为，
即（答案不唯一）
10．
【分析】本题考查一元二次方程的解，注意掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”以及运用整体思想进行代入求值．根据题意把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：把代入方程，
得，
，
．
故答案为：．
11．14或8或18或9
【分析】本题主要考查了分解因式的应用，先把已知条件中的方程组的两根方程相减，然后把所得结果分解因式，求出，根据都是整数，分三种情况讨论，求出和的值，再利用完全平方公式求出答案即可．解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法，注意利用分类讨论的数学思想．
【详解】解：∵，
∴
，
，
，
①当时，是方程的两根，，方程无解；
②当时，是方程的两根，，方程有解；
③当时，是方程的两根，，方程无解；
④当时，是方程的两根，，方程有解；
⑤当时，是方程的两根，，方程有解；
⑥当时，是方程的两根，，方程有解；
综上可知：或或或
∴当时，
则；
当时，
则；
当时，
则；
当时，
则；
综上可知：的值为14或8或18或9．
故答案为：14或8或18或9．
12．6
【分析】本题考查了扇形的面积公式；
根据扇形面积公式代入求解即可．
【详解】解：设半径为r，
根据扇形面积公式，得，
解得．
故答案为：6．
13．
【分析】连接，利用垂径定理可得，再结合可得为等边三角形，连接并延长交于点，连接，利用圆周角定理可得，再根据勾股定理求边长即可得到的长；
【详解】解：如图，连接，连接并延长交于点，连接，
∵以为圆心，为半径画弧交直径于点，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为直径，
∴，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理，利用圆周角定理构造辅助线是解决本题的关键．
14．
【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和，求出圆心角即可计算．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．解答时利用加权平均数的计算方法可求出结果．
【详解】解：根据题意得：
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
16．79
【分析】本题主要考查加权平均数，利用各项分数乘以各项占比加在一起即可得到答案．
【详解】解：根据题意知，这个人面试成绩是（分），
故答案为：79．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，简单的概率计算．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，，解得，，由，0能使有实数根，根据简单的概率公式计算求解即可．
【详解】解：∵有实数根，
∴，
解得，，
∴，0能使有实数根，
∴在摸牌游戏中使有实数根的概率为，
故答案为：．
18．/
【分析】根据列出表格，利用抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的情形数除以总的情况数即可求解．本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的步骤是解题的关键．
【详解】解：列表如下，
我 爱 南 开
我 我我 我爱 我南 我开
爱 爱我 爱爱 爱南 爱开
南 南我 南爱 南南 南开
开 开我 开爱 开南 开开
共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的情形有2种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是，
故答案为：．
19．(1)120件
(2)375元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）求出降价100元时多销售的服装数，即可求得当天的销售量；
（2）设每件服装降价x元，根据：单件的利润乘销售量等于总利润，列出方程并解之即可．
【详解】（1）解：每件降价（元），，
所以当天的销售量为：（件）；
（2）解：设每件服装降价x元，一件的利润为：元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
则每件服装的售价为（元）或（元），
使顾客得到更多优惠，每件服装的售价为元．
20．(1)为5或7
(2)为或4
【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程，
（1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可；
【详解】（1）解：根据题意知，，
∴，
∴，
整理得，，
解得，．
故当为5或7时，的面积等于；
（2）设秒后，的长度等于，根据勾股定理，得
，即，
整理得，，
解得，．
故当为或4时，的长度等于．
21．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）取格点，连接，即为所求切线；
（2）取格点、，作射线交于点，连接，，点即为所求作的点；
（3）取格点，作直线交优弧于点，连接，则．
【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点，
如图，连接、，

∵
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，点即为所求，

连接、、，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（3）解：点F为所求，

连接、、，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了无刻度的直尺作图，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理的推论，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定以及圆周角定理的推论是解题的关键．
22．(1)甲的平均成绩是，甲的方差是，乙的平均成绩是，乙的方差是．
(2)推荐甲参加省比赛更合适，理由见解析．
【分析】此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．
（1）根据图表得出甲、乙每次数据和平均数以及方差的计算公式列式计算即可；
（2）根据方差和平均数两者进行分析．
【详解】（1）解：甲的平均成绩是：，
甲的方差是：=，
乙的平均成绩是：，
乙的方差是：．
（2）解：推荐甲参加省比赛更合适．
理由：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但是甲的测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
23．(1)详见解析，
(2)5.
【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，即可求出，根据切线的判定推出即可；
（2）推导出三角形为等边三角形，求出，即可求出答案．
【详解】（1）是的切线，理由如下：
连接OA，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∴点A在上，
∴是的切线．
（2）∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
即的半径为5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理，切线的判定的应用等知识点，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
24．(1)，；统计图见解析
(2)台
(3)
【分析】本题考查了频数统计表和统计图，用样本估计总体，利用列表法或画树状图法求概率；
（1）可求得被调查的总机组数，据此即可求得、的值；根据的值即可补全频数直方图；
（2）再利用用样本估计总体的方法，即可解答；
（3）利用列表法或画树状图法即可求得概率．
【详解】（1）解：被调查的总机组数为：(台)
解：补全频数直方图如下：
（2）（台）．
答：估计该风力发电机组中一天发电量不少于万千瓦时的风力发电机有台
（3）解：根据题意，列表如下：
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是和的结果有2种，
故其概率为：．
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