第二十四章 圆易错精讲与跟踪练习（含解析）

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第二十四章圆易错精讲与跟踪练习-数学九年级上册人教版
一、问答题
1．如图，已知是的直径，弦，垂足为，，．
(1)求和的长；
(2)求图中两阴影部分的面积各是多少？
2．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，求OF的长．
3．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．
4．（1）如图为水管横截面，水面宽，水的最大深度为，求的半径．
（2）如图，在等边三角形中，点E为边上一点（与点C不重合），点F是边上一点，若，求的长度．
5．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．
(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
6．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 　 　；点（6，﹣2）在⊙D　 　（填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 　 　．
7．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．
（1）求图①中的度数
（2）图②中的度数是______，图③中的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______．
8．如图所示，是⊙的一条弦，，垂足为，交⊙于点，点在⊙上．
（）若，求的度数．
（）若，，求的长．
9．如图，为的直径，弦于点，连接于点，且．
（1）求的长；
（2）当时，求的长和阴影部分的面积（结果保留根号和）．
10．如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求：
（1）圆锥的底面半径；
（2）圆锥的全面积．
11．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值是多少？
12．如图，在中，，，，点M从C点开始以的速度沿向B点运动，点N从A点开始以的速度沿向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）2秒时，的面积是____________；
（2）求经过几秒，的面积是；
（3）试说明外接圆的半径能否是．
13．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
14．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：
（1）a＝ ．
（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；
（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．
15．如图，在中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留）．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，．
（1）求的度数；
（2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长．
17．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
18．如图，边长为的等边△ABC内接于⊙O，D为劣弧上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B沿劣弧运动到点C时，求点E经过的路径长．
19．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）标出该圆弧所在圆的圆心D的位置；
（2）⊙D的半径为 　 　（结果保留根号）；
（3）连接AD、CD，用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是 　 　．
20．如图，⊙O是GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；
（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．
参考答案：
1．(1)OE=1，
(2)，
【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
【详解】（1）解：在中，∵∠CEO =90，∠EOC =，
∴∠OCE=．
又∵OC =2，
∴OE=OC=1．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）（2）．
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
2．1.4
【分析】根据垂径定理得到，，根据勾股定理求出AE．设，再次根据勾股定理得到等式，代入求值即可解答．
【详解】解：连接OC，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，即．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
3．．
【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．
【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．
4．（1）26cm；（2）
【分析】（1）先过点O作OD⊥AB于D，延长DO与圆O交于C，连接AO，由垂径定理可知AD=AB，设，则OD=36-x，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出x的值．
（2）先利用等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝10，再利用三角形外角性质得∠B＝∠C则可判断△ABE∽△ECF，于是可利用相似比计算出CF的长，然后计算AC﹣CF即可．
【详解】(1)解：如图所示，过点O作OD⊥AB于D，延长DO与圆O交于C，连接AO，
由题意得：AB=48cm，CD=36cm，
∴由垂径定理得AD=AB=24，
设，则OD=CD-OD=(36-x)，
∵，
∴，
解得x=26，
∴圆O的半径为26cm．
(2)解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝10，
∵EC＝6，
∴BE＝4，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B，
即∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，
而∠AEF＝60°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴，即，
∴CF=，
∴AF＝AC﹣CF＝10-=．
【点睛】(1)本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键；(2)本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、相似比、线段的和差等知识，解答本题的关键是通过已知条件找到△ABE∽△ECF．
5．(1)1：2
(2)
【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论．
（2）根据求解即可．
【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得：
．
∴．
∴，ED与母线AD长之比为
（2）∵
∴
答：加工材料剩余部分的面积为
【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．（1）见解析；（2）2，上，90°
【分析】（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可；
（2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到AD的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由（1）可知D点坐标为（2，0），A点坐标为（0，4）
∴OD=2，OA=4，
，
∴圆D的半径为；
∵点（6，﹣2）到圆心D的距离为，
∴点（6，﹣2）到圆心D的距离等于半径的长，
∴点（6，﹣2）在⊙D上．
∵D（2，0），C（6，2），A（0，4），
∴，，
∴，
∴∠ADC=90°，
故答案为：，上，90°．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识．
7．（1）120°；（2）90°，72°；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出，即可求出答案；
（2）与（1）同理，可求，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案；
（3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵是正三角形，
∴，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，
∴，
∴；
（2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理，
，
∴；
由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理，
∴，
∴；
故答案为：90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=；
故答案为：；
【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
8．（1）26°；（2）8
【分析】（1）欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；
（2）利用垂径定理可以得到，从而得到结论．
【详解】解：（1），
，
．
（2）∵，，且，
∴，
∵，
，
．
【点睛】此题考查了圆周角定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出是解题关键．
9．（1）2；（2）的长为，阴影部分的面积为
【分析】（1）根据垂径定理可得、，从而得到为的中位线，，即可求解；
（2）连接，求得，利用含直角三角形的性质求得半径，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴为的中位线
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如下图：
∵，，
∴，
∴，
在中，∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的面积．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理，弦、弧、圆心角之间的关键，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，弧长以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质求解．
10．（1）圆锥的底面半径为；（2）圆锥的全面积
【分析】（1）扇形的弧长公式l=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径；
（2）S圆锥= S侧+S底，S侧面=，S底=，（R=扇形半径即圆锥母线长，r=底面圆半径）将已知条件代入即可.
【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为．
扇形的弧长为，
∴，
解得，
∴圆锥的底面半径为．
（2）圆锥的侧面积：S侧面==．
园锥的底面积：S底=．
∴圆锥的全面积S全=S侧+S底=．
【点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.
11．
【分析】根据题意，可得根据直径所对的圆周角是直角可得，点在以为直径的上，进而可知当点三点共线时，最小，勾股定理求得，进而即可求得的最小值
【详解】解：连接，如图2，
为直径
点在以为直径的上
的半径为
当点三点共线时，最小，如图3
在
，
即的最小值为
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90°，点到圆上的距离，找到点的运动轨迹是解题的关键．
12．（1）4cm2（2）1秒或3秒（3）不能，理由见解析
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝8，然后根据三角形面积公式计算；
（2）设经过x秒，利用三角形面积公式得到（8 2x） x＝3，然后解方程即可；
（3）利用圆周角定理得到MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，利用勾股定理得到（8 2t）2＋t2＝（2）2，整理得5t2 32t＋52＝0，然后根据判别式的意义判断方程没有实数解，从而判断△MCN外接圆的半径不能是cm．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8，
根据题意得，AN＝4，CM＝2，
∴CN＝4，
∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）；
故答案为：4cm2；
（2）设经过x秒，
根据题意得，（8 2x） x＝3，
解得x1＝1，x2＝3；
即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）不能，理由如下：
∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，
∴MN为△MCN外接圆的直径，
假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，
设M点运动的时间为t秒，则NC＝8 2t，CM＝t，
根据题意得，（8 2t）2＋t2＝（2）2，
整理得5t2 32t＋52＝0，
∵△＝（ 32）2 4×5×52＝ 16＜0，
∴原方程没有实数解，
∴△MCN外接圆的半径不能是cm．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点．也考查了圆周角定理和一元二次方程的应用．
13．（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【分析】（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键．
14．（1）9；（2）x或x＝4；（3）x＝0或x＜2或2＜x≤3
【分析】（1）由题意可得Q运动3s达到B，即得BD=6，可知，从而a=AB AD=9；
（2）连接AC交BD于O，可得OA=AC=BD=3，根据△APQ的面积为6，即得PQ=4，当P在Q下面时，x=，当P在Q上方时，Q运动3s到B，x=4；
（3）当x=0时，B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，同理t=6时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，当Q运动到BD中点时，以PQ为直径的圆与AQ相切，与△APQ的边有且只有三个公共点，x=，当P、Q重合时，不构成三角形和圆，此时x=2，当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意可得：Q运动3s达到B，
∴BD=3×2=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴a=AB AD=9，
故答案为：9；
（2）连接AC交BD于O，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=AC=BD=3，
∵△APQ的面积为6，
∴PQ OA=6，即PQ×3=6，
∴PQ=4，
而BP=x，DQ=2x，
当P在Q下面时，6-x-2x=4，
∴x=，
当P在Q上方时，Q运动3s到B，此时PQ=3，
∴x=4时，PQ=4，则△APQ的面积为6；
综上所述，x=或x=4；
（3）当x=0时，如图：
B与P重合，D与Q重合，此时以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，
同理，当Q运动到B，P运动到D时，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，此时t=6，
当Q运动到BD中点时，如图：
此时x=，以PQ为直径的圆与AQ相切，故与△APQ的边有且只有三个公共点，
当P、Q重合时，如图：
显然不构成三角形和圆，此时x=2，
当Q运动到B，恰好P运动到BD中点，如图：
此时x=3，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，
综上所述，以PQ为直径的圆与△APQ的边有且只有三个公共点，x=0或t=6或≤x＜2或2＜x≤3．
【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及函数图象、三角形面积、直线与圆的位置关系等知识，解题关键是画出图形，数形结合，分类思想的应用．
15．（1）与相切，理由见解析；（2）．
【分析】（1）先等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差、等量代换可得，然后根据圆的切线的判定即可得出结论；
（2）过点作于点，设，先在中，利用勾股定理求出的值，再利用直角三角形的性质可得，然后利用扇形的面积减去的面积即可得．
【详解】（1）与相切，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
是的切线，
即与相切；
（2）如图，过点作于点，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
在中，，
则阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
16．（1）60°；（2）
【分析】（1）连结，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数；
（2）首先根据角所对的直角边是斜边的一半求得，然后根据勾股定理求出BD的长度，利用面积法求出DE的长度，最后根据垂径定理即可求出EF的长度．
【详解】解：（1）如图所示，连结，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，且是直径，
∴．
【点睛】此题考查了勾股定理，垂径定理的运用，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是连接BD，得到．
17．当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米
【分析】（1）作半径，并交于，连接，则即为弓形高，根据垂径定理得，然后根据已知条件求出的长；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于，可得米，然后根据与在圆心同侧或异侧时两种情况解答．
【详解】
解：（1）作半径，垂足为点，连接，则即为弓形的高，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴米，即此时的水深为0.1米．
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于点
同理可得，当与在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当在在圆心异侧时水面上升的高度为0.7米．
∴综上所述，当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
18．
【分析】如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧，即为点E的运动轨迹．求出圆心角，半径即可解决问题．
【详解】
如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧，即为点E的运动轨迹．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBC=30°，
∴∠TKO=60°，
∵AB=BC=AC=，
∴OB=2，
∴KO=1，
∴点E经过的路径长为．
【点睛】本题考查轨迹、等边三角形的性质、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹．
19．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D；
（2）在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；
（3）连接AD，CD，在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径．
【详解】解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：
（2）在Rt△AOD中，OA＝4，OD＝2，
根据勾股定理得：，
则⊙D的半径为.
故答案为：；
（3）如图，，，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
的长，
∴该圆锥的底面圆半径．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
20．（1）6；（2）1
【分析】（1）由切线长定理可得，，，再由△PEF的周长为12，即可得到，由此即可得到答案；
（2）连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，由，可以得到，再利用勾股定理求出，由此进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，AP，BP，EF都是圆O的切线，
∴由切线长定理可得，，，
∵△PEF的周长为12，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，
∴OA=OB=OH=r，
由切线的性质可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，
∴
，
∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，
∴，，
∴即，
∴，
∴⊙O的半径为1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线长定理和切线的性质．
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