第三章 一元一次方程易错精讲与跟踪练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 一元一次方程易错精讲与跟踪练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-17 13:22:50 | ||
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文档简介
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第三章一元一次方程易错精讲与跟踪练习-数学七年级上册人教版
易错精讲
易错题一：
【例1】
在数轴上点表示的数是6，点位于点的左侧，与点的距离是12个单位长度．
(1)点表示的数是 ．
(2)动点从点出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点到，的距离相等．
(3)在2）的条件下，点出发的同时，点也从点出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点到点的距离是点到点距离的2倍？
答案．(1)
(2)
(3)经过4或7.2秒，点到点的距离是点到点距离的2倍
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据两点间的距离进行计算即可得到答案；
（2）设经过秒，点到，的距离相等，则点表示的数为：，根据得出一元一次方程，解方程即可得到答案；
（3）设经过秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，分两种情况：当点在点的左边时，当点在点的右时，分别得出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上点表示的数是6，点位于点的左侧，与点的距离是12个单位长度，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：设经过秒，点到，的距离相等，
动点从点出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，
经过秒，点表示的数为：，
，
，
，
，
解得：；
（3）解：设经过秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，
动点从点出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，点也从点出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动，
经过秒，点表示的数为：，点表示的数为：，
，
当点在点的左边时，则，
由题意得：，
解得：，
当点在点的右边时，则，
由题意得：，
解得：，
综上所述：经过4或7.2秒，点到点的距离是点到点距离的2倍．
易错题二：
【例2】
为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划在足球场四周安装防护栏．如图，每根立柱的直径为米，相邻两根立柱之间设置一张防护网，每张防护网长米．
(1)根据上述信息，完成下表：
立柱根数
防护栏总长度(米)
(2)当防护栏总长度为74米时，求立柱的根数．
答案．(1)，
(2)
【分析】本题考查了数字类规律题，列代数式，一元一次方程的应用；
（1）由立柱根数每增加根，防护栏总长度就增加米，得立柱根数为根时，防护栏总长度为即可；
(2)当防护栏总长度为米时，得即可．
【详解】（1）解：由立柱根数每增加根，防护栏总长度就增加米，
得立柱根数为根时，防护栏总长度为米，
故立柱根数为根时，防护栏总长度为米，
故答案为：，；
（2）当防护栏总长度为米时，
，
，故立柱的根数为根．
易错题三：
【例3】
已知为有理数，现规定一种新运算“”，满足．根据以上信息，解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
答案．(1)2
(2)
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算即可；
（2）根据题目所给新运算的运算法则，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
（2）解：∵，
∴，
解得：．
易错题四：
【例4】
如图1是某月的月历
如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x．
(1)请用含x的式子表示：
第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
(2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由．
答案．(1)，；，；，
(2)存在这样的x，使得，，，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式：
（1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答；
（2）由（1）知，可用含x的代数式表示出，，，结合，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，结合该值所在的位置，可得出存在这样的x，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论．
解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含x的代数式表示出三种方格框中的各数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
（2）解：由（1）可得：
，
，
，
∵，
∴，
解得：，
∵在第四行第五列，符合题意，
∴存在这样的x，使得，
∴，
，
．
所以存在这样的x，使得，此时，，．
跟踪练习
1．解方程：
步骤如下：①去括号，得：；
②移项，得：；
③合并同类项，得：；
④系数化为1，得：.
其中错误的是第 步，原因是 .
正确的解法为：
2．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；
(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；
(3)当时，求t的值．
3．阅读材料：已知多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点 对应的数分别为a，b．
(1)点A表示的数是 ，点表示的数是 ；
(2)点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过多少秒，点A与点B相距4个单位
(3)点分别从点出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，设的值为y，在移动过程中，y值是否发生变化 若不变，求出值；若变化，说明理由．
4．某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠．
(1)假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，如果该单位选择甲旅行社应付多少费用？选择乙旅行社应付多少费用？如果你是单位管理员会选择哪家旅行社？
(2)如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为_________元，乙旅行社的费用为_________元；
(3)如果计划在五月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为a，则这七天的日期之和为_________．（用含a的代数式表示）假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几日出发？
5．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵：
(1)如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？
(2)若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；
(3)十字框中五个数的和能等于295吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．
6．国庆中秋“双节”来临之际，某商场举行优惠促销，优惠方案如下：一次性购物不超过100元，不享受优惠；一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折；一次性购物超过300元，一律八折．活动期间，老李两次购物分别用去75元和276元，若改为一次性购物，可节省多少钱？
7．一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
8．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”
例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若方程与方程互为“反对方程”，则______．
(2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值．
(3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值．
9．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______．
(2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值．
(3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“有趣方程”，求代数式的值．
10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值：
(2)若，求a的值．
11．若关于x的一元一次方程化成后的解满足，则称该方程为“绝配方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“绝配方程”．
(1)①，②，③三个方程中，为“绝配方程”的是______（填写序号）；
(2)若关于x的一元一次方程化成后是“绝配方程”，求m的值．
12．某游泳馆推出两种游泳付费方式：
方式一：先购买会员卡，每张会员卡200元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费10元；
方式二：不购买会员卡，每次游泳付费30元．
(1)若游泳3次，按方式一付费，则总费用为 元；
(2)若游泳x次，按方式一应付费 元；按方式二应付费 元.(请用x的代数式表示)
(3)若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明．
13．某市规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过时，水费按每立方米元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年用水情况，
月份 用水量（） 水费（元）
(1)求用户用水为（）时的水费（用含的代数式表示）．
(2)某用户某月交水费元，这个月该用户用水多少立方米？
14．如图，为数轴的原点，在数轴上有三个点，，，它们表示的有理数分别为，，．已知，为线段的中点．
(1)求，，三点表示的有理数， ， ， ；
(2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，运动秒后，求，两点间距离；
(3)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动几秒后，，的距离是？
15．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．
(1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？
(2)求在数轴上点所对应的数；
(3)若是数轴上一点，且满足、两点间的距离是、两点间的距离的2倍，求点在数 上所对应的数．
16．元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案：
方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券．
方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券．
例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元．
(1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费______元．
(2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费______元．
(3)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元．
①若使用代金券，实际花费______元（用含x的代数式表示）；
②选择哪种方案更省钱？
参考答案：
1．见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1进行求解即可．
【详解】错误的是第②步，原因是移项没变号.
正确解法：
去括号，得：；
移项，得：；
合并同类项，得：.
2．(1)6，4
(2)3
(3)t的值为4或6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）由点的出发点、运动速度及运动方向，可得出当时的长，结合点表示的有理数即可得出此时点表示的有理数；
（2）根据中点的定义求解即可；
（3）分两种情形：①当点在点左边时，②当点在点右边时，分别求解即可．
【详解】（1）当时，，
点表示的有理数为．
故答案为：6，4；
（2），
点表示的数为．
故答案为：3；
（3）因为，当时，
①当点在点左边时，因为，所以，
②当点在点右边时，因为，所以．
所以，当时，的值为4或6．
3．(1)，10
(2)经过5秒或9秒，点A与点B相距4个单位
(3)y值不发生变化，
【分析】（1）根据多项式定义得出a、b值即可；
（2）设经过t秒，点A和点B相距4个单位，据题意得出或，求出方程的解即可；
（3）先求出和的长，再求出y即可．
【详解】（1）解：多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，
，
数轴上两点 对应的数分别为a，b，
点 A 表示的数是，点表示的数是10；
故答案为：，10；
（2）设经过t秒，点A和点B相距4个单位，
或，
解得：或，
答：经过5秒或9秒，点A与点B相距4个单位；
（3）解：设时间为x秒，
点分别从点出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，
，
，
的值为y，
，
值不发生变化，．
【点睛】本题考查了多项式定义、数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解此题的关键．
4．(1)甲旅行社60000元，乙旅行社60800元，选择甲旅行社
(2)，
(3)，5月6日或5月15日或5月24日出发
【分析】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
（1）确定甲旅社的价格为元，乘以人数即得到总费用；
确定乙旅社的价格为元，乘以人数即得到总费用，比较两个费用的大小，选择费用小的旅社即可．
（2）根据（1）的思路，把数转化为字母，列出代数式即可．
（3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可；根据前面求得七天的日期之和的求得最中间的那个日期，然后分别求得当为63的1倍，2倍，3倍时，日期分别是什么即可．
【详解】（1）解：甲旅行社应付费用：（元）
乙旅行社应付费用：（元）
选择甲旅行社．
（2）甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元，
故答案为：，．
（3）设最中间的日期为a，则最前面的三个日期分别为，后三天分别为 ，
故这七天的日期之和为，
故答案为或．
当七天日期和是63 的1倍时，得，解得，故，
故出发日期为5月6日；
当七天日期和是63 的2倍时，得，解得，故，
故出发日期为5月15日；
当七天日期和是63 的3倍时，得，解得，故，
故出发日期为5月24日；
当七天日期和是63 的4倍时，得，解得，超过31，舍去，
故出发日期为5月6日或5月15日或5月24日．
5．(1)十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍
(2)这五个数的和是框正中心的数的5倍，理由见解析
(3)十字框中五个数的和不能等于295，理由见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整数混合运算，一元一次方程的应用；
（1）把框住的数相加即可求解；
（2）设中心的数为x，则其余4个数分别为，，，，相加即可得到规律；
（3）由（2）得五个数的和为，令，根据解得情况即可求解．
解题的关键是熟练掌握整式加减混合运算法则，列出方程．
【详解】（1）解：∵，，
∴十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍；
（2）解：这五个数的和是框正中心的数的5倍，理由如下：
设框正中心的数是x，则另外四个数分别为，，，，
∴十字框中五个数的和是，
∴这五个数的和是框正中心的数的5倍；
（3）解：十字框中五个数的和不能等于295，理由如下：
假设十字框中五个数的和能等于295，
根据题意得：，
解得：，
又∵59在最右边一列，不能为框正中心的数，
∴假设不成立，即十字框中五个数的和不能等于295．
6．若改为一次性购物，可节省15元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
根据题意分别分析计算出两次购物的原价，进而结合优惠方案可计算出两次购物合并为一次性付款打折后的分别所需费用，即可解题．
【详解】解：
甲第一次购物的原价是75元，
设甲第二次购物的原价是元，
当时，
解得（舍去），
当时，
解得，
∴两次购物的原价是（元），
若改为一次性购物，则需要付款：（元），
可节省（元）．
答：若改为一次性购物，可节省15元．
7．用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再利用一套仪器由两个A部件和三个B部件构成建立方程求解即可．
【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，
根据题意得，，
解得，
，
套．
答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套．
8．(1)2
(2)
(3)或2
【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可；
（2）根据“反对方程”的定义，得到，求解即可；
（3）先根据“反对方程”的定义，得到的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可．
本题考查解一元一次方程，掌握“反对方程”的定义，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”，
∴；
故答案为：2．
（2）将写成的形式，
将写成的形式，
因为与方程互为“反对方程”，
所以，所以，
所以m，n的值分别是，2；
（3）的“反对方程”为，
由得，
由得，
因为与的解均为整数，
所以与都为整数，
所以当即时，，与，都为整数，
当即时，，，都为整数，
所以b的值为或2．
9．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程、整式的化简求值，注意正确理解题意以及计算的准确性．
（1）求解方程，根据“有趣方程”的定义即可求出；
（2）求解方程，根据题意可得，即可求解；
（3）根据题意可得、，消去可得，利用整体思想即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程是“有趣方程”，
且方程的解为：
，
解得，
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，
又方程的解为：
，
解得，．
（3）解：∵关于x的一元一次方程是“有趣方程”，
∴，
即：，
又∵关于y的一元一次方程是“有趣方程”，
，
即：，
∴，
∴原式
．
10．(1)
(2)3
【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．
（1）根据题目中的定义可以解答本题；
（2）根据题意可以将题目中的式子转化为关于a的方程，从而可以求得a的值．
【详解】（1）∵
∴
；
（2）∵
∵
∴
∴
∴，
∴，
解得，；
11．(1)①；
(2)
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】（1）①，
解得：，
而，是“绝配方程”；
②，
解得：，
，不是“绝配方程”；
③
解得：，
，不是“绝配方程”；
故答案为：①；
（2），
化简得：，
解得：
∵是“绝配方程”，
∴
解得．
12．(1)230元
(2)；
(3)方式一
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）根据题意求出两种付费方式的费用，列出代数式即可；
（3）设小轩可以游泳x次，分别求出两种方式满足题意的x的值，然后比较即可．
【详解】（1）解：游泳3次，按方式一付费，则总费用为：（元），
故答案为：230；
（2）解：方式一的总费用：元，
方式二的总费用：元；
故答案为：；．
（3）解：设小轩可以游泳x次，
若他选择方式一的付费方式，则：
，
解得：，
即他可以游泳40次；
若他选择方式二的付费方式，则：
，
解得，
即他可以游泳20次；
∵，
∴他选择方式一的付费方式游泳次数比较多．
13．(1)元
(2)这个月该用户用水立方米
【分析】（1）首先根据图表中数据得出小于时，水的价格，进而根据月份用水量以及水费得出用户用水为（）时的水费；
（2）根据（1）中所求，即可得出用水量．
此题主要考查了列代数式以及一元一次方程的应用，根据图表中数据得出用户用水为（）时的水费是解题关键．
【详解】（1）解：∵，
∴月份用水量不超过，则，解得：，
则根据月份，得，解得：，
∴当时，水费为：元．
（2）解：∵（元），
∴这个月一定超过，则，解得：，
∴这个月该用户用水立方米．
14．(1)，，
(2)，两点间距离是
(3)运动秒或秒后，，的距离是
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性；
（1）利用偶次方及绝对值的非负性，可得出，，求出，的值，结合点为线段的中点，可求出的值；
（2）分别求出运动秒时，，点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出，两点间距离；
（3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，根据，的距离是，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，．
又点为线段的中点，
．
故答案为：，，；
（2）当点运动秒时，点表示的数是；
当点运动秒时，点表示的数是，
，两点间距离是；
（3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：运动秒或秒后，，的距离是．
15．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键．
（1）先求出数轴上点A和点B的距离，再根据刻度尺上点A和点B的距离即可求出答案；
（2）用刻度尺上点A和点B的距离除以数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度即可求出数轴上点A和点B的距离，由此可得点B表示的数；
（3）设数轴上点Q表示的数为x，则点A和点Q的距离为 ，再由、两点间的距离是、两点间的距离的2倍，可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在数轴上点A和点C分别表示的数为，2，
∴数轴上点A和点C的距离为，
∵在刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，点对齐刻度，
∴刻度尺上，点A和点C的距离为，
∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是；
（2）解：∵刻度尺上，点A和点B的距离为，
∴在数轴上，点A和点B的距离为，
∴点B表示的数为，
∴；
（3）解：设数轴上点Q表示的数为x，
∵点A和点B表示的数为，
∴点A和点Q的距离为 ，
∵、两点间的距离是、两点间的距离的2倍，
∴，
∴，
∴或，
∴点Q表示的数为或．
16．(1)168；
(2)400或423；
(3)①；②当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意通过所给的优惠方案列出算式和方程求解是解题的关键．
（1）根据所给的方案一列式计算即可；
（2）设在使用优惠方案前消费m元，然后分方案一和方案二两种情况建立方程求解即可；
（3）用消费的钱数减去300再加上三张优惠券的钱即可得到答案；②先求出方案二的花费，再列方程求出两种方案花费一样时x的值，即可讨论得到答案．
【详解】（1）解：元，
∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元，
故答案为：168元；
（2）解；设在使用优惠方案前消费m元，
当按照方案一进行优惠时：由题意得，，
解得；
当按照方案二进行优惠时，由题意得，，
解得；
综上所述，在使用优惠方案前可能消费400元或423元，
故答案为：400或423；
（3）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费元，
故答案为：；
②使用方案二的实际花费为元，
当时，
解得，
∴当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱．
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第三章一元一次方程易错精讲与跟踪练习-数学七年级上册人教版
易错精讲
易错题一：
【例1】
在数轴上点表示的数是6，点位于点的左侧，与点的距离是12个单位长度．
(1)点表示的数是 ．
(2)动点从点出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点到，的距离相等．
(3)在2）的条件下，点出发的同时，点也从点出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点到点的距离是点到点距离的2倍？
答案．(1)
(2)
(3)经过4或7.2秒，点到点的距离是点到点距离的2倍
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据两点间的距离进行计算即可得到答案；
（2）设经过秒，点到，的距离相等，则点表示的数为：，根据得出一元一次方程，解方程即可得到答案；
（3）设经过秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，分两种情况：当点在点的左边时，当点在点的右时，分别得出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上点表示的数是6，点位于点的左侧，与点的距离是12个单位长度，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：设经过秒，点到，的距离相等，
动点从点出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，
经过秒，点表示的数为：，
，
，
，
，
解得：；
（3）解：设经过秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，
动点从点出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，点也从点出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动，
经过秒，点表示的数为：，点表示的数为：，
，
当点在点的左边时，则，
由题意得：，
解得：，
当点在点的右边时，则，
由题意得：，
解得：，
综上所述：经过4或7.2秒，点到点的距离是点到点距离的2倍．
易错题二：
【例2】
为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划在足球场四周安装防护栏．如图，每根立柱的直径为米，相邻两根立柱之间设置一张防护网，每张防护网长米．
(1)根据上述信息，完成下表：
立柱根数
防护栏总长度(米)
(2)当防护栏总长度为74米时，求立柱的根数．
答案．(1)，
(2)
【分析】本题考查了数字类规律题，列代数式，一元一次方程的应用；
（1）由立柱根数每增加根，防护栏总长度就增加米，得立柱根数为根时，防护栏总长度为即可；
(2)当防护栏总长度为米时，得即可．
【详解】（1）解：由立柱根数每增加根，防护栏总长度就增加米，
得立柱根数为根时，防护栏总长度为米，
故立柱根数为根时，防护栏总长度为米，
故答案为：，；
（2）当防护栏总长度为米时，
，
，故立柱的根数为根．
易错题三：
【例3】
已知为有理数，现规定一种新运算“”，满足．根据以上信息，解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
答案．(1)2
(2)
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算即可；
（2）根据题目所给新运算的运算法则，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
（2）解：∵，
∴，
解得：．
易错题四：
【例4】
如图1是某月的月历
如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x．
(1)请用含x的式子表示：
第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x；
(2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由．
答案．(1)，；，；，
(2)存在这样的x，使得，，，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式：
（1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答；
（2）由（1）知，可用含x的代数式表示出，，，结合，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，结合该值所在的位置，可得出存在这样的x，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论．
解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含x的代数式表示出三种方格框中的各数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
（2）解：由（1）可得：
，
，
，
∵，
∴，
解得：，
∵在第四行第五列，符合题意，
∴存在这样的x，使得，
∴，
，
．
所以存在这样的x，使得，此时，，．
跟踪练习
1．解方程：
步骤如下：①去括号，得：；
②移项，得：；
③合并同类项，得：；
④系数化为1，得：.
其中错误的是第 步，原因是 .
正确的解法为：
2．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；
(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；
(3)当时，求t的值．
3．阅读材料：已知多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点 对应的数分别为a，b．
(1)点A表示的数是 ，点表示的数是 ；
(2)点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过多少秒，点A与点B相距4个单位
(3)点分别从点出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，设的值为y，在移动过程中，y值是否发生变化 若不变，求出值；若变化，说明理由．
4．某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八折优惠．
(1)假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，如果该单位选择甲旅行社应付多少费用？选择乙旅行社应付多少费用？如果你是单位管理员会选择哪家旅行社？
(2)如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为_________元，乙旅行社的费用为_________元；
(3)如果计划在五月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为a，则这七天的日期之和为_________．（用含a的代数式表示）假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几日出发？
5．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵：
(1)如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？
(2)若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；
(3)十字框中五个数的和能等于295吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．
6．国庆中秋“双节”来临之际，某商场举行优惠促销，优惠方案如下：一次性购物不超过100元，不享受优惠；一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折；一次性购物超过300元，一律八折．活动期间，老李两次购物分别用去75元和276元，若改为一次性购物，可节省多少钱？
7．一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
8．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”
例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若方程与方程互为“反对方程”，则______．
(2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值．
(3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值．
9．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______．
(2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值．
(3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“有趣方程”，求代数式的值．
10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值：
(2)若，求a的值．
11．若关于x的一元一次方程化成后的解满足，则称该方程为“绝配方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“绝配方程”．
(1)①，②，③三个方程中，为“绝配方程”的是______（填写序号）；
(2)若关于x的一元一次方程化成后是“绝配方程”，求m的值．
12．某游泳馆推出两种游泳付费方式：
方式一：先购买会员卡，每张会员卡200元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费10元；
方式二：不购买会员卡，每次游泳付费30元．
(1)若游泳3次，按方式一付费，则总费用为 元；
(2)若游泳x次，按方式一应付费 元；按方式二应付费 元.(请用x的代数式表示)
(3)若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明．
13．某市规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过时，水费按每立方米元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年用水情况，
月份 用水量（） 水费（元）
(1)求用户用水为（）时的水费（用含的代数式表示）．
(2)某用户某月交水费元，这个月该用户用水多少立方米？
14．如图，为数轴的原点，在数轴上有三个点，，，它们表示的有理数分别为，，．已知，为线段的中点．
(1)求，，三点表示的有理数， ， ， ；
(2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，运动秒后，求，两点间距离；
(3)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动几秒后，，的距离是？
15．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．
(1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？
(2)求在数轴上点所对应的数；
(3)若是数轴上一点，且满足、两点间的距离是、两点间的距离的2倍，求点在数 上所对应的数．
16．元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案：
方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券．
方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券．
例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元．
(1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费______元．
(2)若某次实际花费360元，则在使用优惠方案前可能消费______元．
(3)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元．
①若使用代金券，实际花费______元（用含x的代数式表示）；
②选择哪种方案更省钱？
参考答案：
1．见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1进行求解即可．
【详解】错误的是第②步，原因是移项没变号.
正确解法：
去括号，得：；
移项，得：；
合并同类项，得：.
2．(1)6，4
(2)3
(3)t的值为4或6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）由点的出发点、运动速度及运动方向，可得出当时的长，结合点表示的有理数即可得出此时点表示的有理数；
（2）根据中点的定义求解即可；
（3）分两种情形：①当点在点左边时，②当点在点右边时，分别求解即可．
【详解】（1）当时，，
点表示的有理数为．
故答案为：6，4；
（2），
点表示的数为．
故答案为：3；
（3）因为，当时，
①当点在点左边时，因为，所以，
②当点在点右边时，因为，所以．
所以，当时，的值为4或6．
3．(1)，10
(2)经过5秒或9秒，点A与点B相距4个单位
(3)y值不发生变化，
【分析】（1）根据多项式定义得出a、b值即可；
（2）设经过t秒，点A和点B相距4个单位，据题意得出或，求出方程的解即可；
（3）先求出和的长，再求出y即可．
【详解】（1）解：多项式 是关于的二次多项式，且二次项系数为，
，
数轴上两点 对应的数分别为a，b，
点 A 表示的数是，点表示的数是10；
故答案为：，10；
（2）设经过t秒，点A和点B相距4个单位，
或，
解得：或，
答：经过5秒或9秒，点A与点B相距4个单位；
（3）解：设时间为x秒，
点分别从点出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P为ON上靠近点N的三等分点，
，
，
的值为y，
，
值不发生变化，．
【点睛】本题考查了多项式定义、数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解此题的关键．
4．(1)甲旅行社60000元，乙旅行社60800元，选择甲旅行社
(2)，
(3)，5月6日或5月15日或5月24日出发
【分析】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
（1）确定甲旅社的价格为元，乘以人数即得到总费用；
确定乙旅社的价格为元，乘以人数即得到总费用，比较两个费用的大小，选择费用小的旅社即可．
（2）根据（1）的思路，把数转化为字母，列出代数式即可．
（3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可；根据前面求得七天的日期之和的求得最中间的那个日期，然后分别求得当为63的1倍，2倍，3倍时，日期分别是什么即可．
【详解】（1）解：甲旅行社应付费用：（元）
乙旅行社应付费用：（元）
选择甲旅行社．
（2）甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元，
故答案为：，．
（3）设最中间的日期为a，则最前面的三个日期分别为，后三天分别为 ，
故这七天的日期之和为，
故答案为或．
当七天日期和是63 的1倍时，得，解得，故，
故出发日期为5月6日；
当七天日期和是63 的2倍时，得，解得，故，
故出发日期为5月15日；
当七天日期和是63 的3倍时，得，解得，故，
故出发日期为5月24日；
当七天日期和是63 的4倍时，得，解得，超过31，舍去，
故出发日期为5月6日或5月15日或5月24日．
5．(1)十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍
(2)这五个数的和是框正中心的数的5倍，理由见解析
(3)十字框中五个数的和不能等于295，理由见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整数混合运算，一元一次方程的应用；
（1）把框住的数相加即可求解；
（2）设中心的数为x，则其余4个数分别为，，，，相加即可得到规律；
（3）由（2）得五个数的和为，令，根据解得情况即可求解．
解题的关键是熟练掌握整式加减混合运算法则，列出方程．
【详解】（1）解：∵，，
∴十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍；
（2）解：这五个数的和是框正中心的数的5倍，理由如下：
设框正中心的数是x，则另外四个数分别为，，，，
∴十字框中五个数的和是，
∴这五个数的和是框正中心的数的5倍；
（3）解：十字框中五个数的和不能等于295，理由如下：
假设十字框中五个数的和能等于295，
根据题意得：，
解得：，
又∵59在最右边一列，不能为框正中心的数，
∴假设不成立，即十字框中五个数的和不能等于295．
6．若改为一次性购物，可节省15元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
根据题意分别分析计算出两次购物的原价，进而结合优惠方案可计算出两次购物合并为一次性付款打折后的分别所需费用，即可解题．
【详解】解：
甲第一次购物的原价是75元，
设甲第二次购物的原价是元，
当时，
解得（舍去），
当时，
解得，
∴两次购物的原价是（元），
若改为一次性购物，则需要付款：（元），
可节省（元）．
答：若改为一次性购物，可节省15元．
7．用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再利用一套仪器由两个A部件和三个B部件构成建立方程求解即可．
【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，
根据题意得，，
解得，
，
套．
答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套．
8．(1)2
(2)
(3)或2
【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可；
（2）根据“反对方程”的定义，得到，求解即可；
（3）先根据“反对方程”的定义，得到的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可．
本题考查解一元一次方程，掌握“反对方程”的定义，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”，
∴；
故答案为：2．
（2）将写成的形式，
将写成的形式，
因为与方程互为“反对方程”，
所以，所以，
所以m，n的值分别是，2；
（3）的“反对方程”为，
由得，
由得，
因为与的解均为整数，
所以与都为整数，
所以当即时，，与，都为整数，
当即时，，，都为整数，
所以b的值为或2．
9．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程、整式的化简求值，注意正确理解题意以及计算的准确性．
（1）求解方程，根据“有趣方程”的定义即可求出；
（2）求解方程，根据题意可得，即可求解；
（3）根据题意可得、，消去可得，利用整体思想即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程是“有趣方程”，
且方程的解为：
，
解得，
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，
又方程的解为：
，
解得，．
（3）解：∵关于x的一元一次方程是“有趣方程”，
∴，
即：，
又∵关于y的一元一次方程是“有趣方程”，
，
即：，
∴，
∴原式
．
10．(1)
(2)3
【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．
（1）根据题目中的定义可以解答本题；
（2）根据题意可以将题目中的式子转化为关于a的方程，从而可以求得a的值．
【详解】（1）∵
∴
；
（2）∵
∵
∴
∴
∴，
∴，
解得，；
11．(1)①；
(2)
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】（1）①，
解得：，
而，是“绝配方程”；
②，
解得：，
，不是“绝配方程”；
③
解得：，
，不是“绝配方程”；
故答案为：①；
（2），
化简得：，
解得：
∵是“绝配方程”，
∴
解得．
12．(1)230元
(2)；
(3)方式一
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）根据题意求出两种付费方式的费用，列出代数式即可；
（3）设小轩可以游泳x次，分别求出两种方式满足题意的x的值，然后比较即可．
【详解】（1）解：游泳3次，按方式一付费，则总费用为：（元），
故答案为：230；
（2）解：方式一的总费用：元，
方式二的总费用：元；
故答案为：；．
（3）解：设小轩可以游泳x次，
若他选择方式一的付费方式，则：
，
解得：，
即他可以游泳40次；
若他选择方式二的付费方式，则：
，
解得，
即他可以游泳20次；
∵，
∴他选择方式一的付费方式游泳次数比较多．
13．(1)元
(2)这个月该用户用水立方米
【分析】（1）首先根据图表中数据得出小于时，水的价格，进而根据月份用水量以及水费得出用户用水为（）时的水费；
（2）根据（1）中所求，即可得出用水量．
此题主要考查了列代数式以及一元一次方程的应用，根据图表中数据得出用户用水为（）时的水费是解题关键．
【详解】（1）解：∵，
∴月份用水量不超过，则，解得：，
则根据月份，得，解得：，
∴当时，水费为：元．
（2）解：∵（元），
∴这个月一定超过，则，解得：，
∴这个月该用户用水立方米．
14．(1)，，
(2)，两点间距离是
(3)运动秒或秒后，，的距离是
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性；
（1）利用偶次方及绝对值的非负性，可得出，，求出，的值，结合点为线段的中点，可求出的值；
（2）分别求出运动秒时，，点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出，两点间距离；
（3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，根据，的距离是，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
解得：，．
又点为线段的中点，
．
故答案为：，，；
（2）当点运动秒时，点表示的数是；
当点运动秒时，点表示的数是，
，两点间距离是；
（3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：运动秒或秒后，，的距离是．
15．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键．
（1）先求出数轴上点A和点B的距离，再根据刻度尺上点A和点B的距离即可求出答案；
（2）用刻度尺上点A和点B的距离除以数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度即可求出数轴上点A和点B的距离，由此可得点B表示的数；
（3）设数轴上点Q表示的数为x，则点A和点Q的距离为 ，再由、两点间的距离是、两点间的距离的2倍，可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在数轴上点A和点C分别表示的数为，2，
∴数轴上点A和点C的距离为，
∵在刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，点对齐刻度，
∴刻度尺上，点A和点C的距离为，
∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是；
（2）解：∵刻度尺上，点A和点B的距离为，
∴在数轴上，点A和点B的距离为，
∴点B表示的数为，
∴；
（3）解：设数轴上点Q表示的数为x，
∵点A和点B表示的数为，
∴点A和点Q的距离为 ，
∵、两点间的距离是、两点间的距离的2倍，
∴，
∴，
∴或，
∴点Q表示的数为或．
16．(1)168；
(2)400或423；
(3)①；②当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意通过所给的优惠方案列出算式和方程求解是解题的关键．
（1）根据所给的方案一列式计算即可；
（2）设在使用优惠方案前消费m元，然后分方案一和方案二两种情况建立方程求解即可；
（3）用消费的钱数减去300再加上三张优惠券的钱即可得到答案；②先求出方案二的花费，再列方程求出两种方案花费一样时x的值，即可讨论得到答案．
【详解】（1）解：元，
∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元，
故答案为：168元；
（2）解；设在使用优惠方案前消费m元，
当按照方案一进行优惠时：由题意得，，
解得；
当按照方案二进行优惠时，由题意得，，
解得；
综上所述，在使用优惠方案前可能消费400元或423元，
故答案为：400或423；
（3）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费元，
故答案为：；
②使用方案二的实际花费为元，
当时，
解得，
∴当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱．
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