平方差公式 教学设计 初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解（无答案）
文档属性
| 名称 | 平方差公式 教学设计 初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 667.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-17 20:48:51 | ||
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文档简介
§14.2.1 平方差公式
一、内容和内容解析
1.内容
平方差公式
2.内容解析
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。平方差公式是多项式的乘法公式的一种即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。
平方差公式的符号表示和语言揭示了公式的结构特征。公式中的字母可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式的乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：平方差公式。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解平方差公式，能用公式进行计算；
（2）在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言描述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算。
达成目标（2）的标志是：学生在探索平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好的发现公式、体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想。
3.教学重难点
教学重点：探究平方差公式，剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式.
教学难点：掌握公式在运用中的变化规律，深层次理解公式结构，自主创作变式题组.
三、教学问题诊断分析
由于公式中的本身可能为负数，而且可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”哪个数或式相当于公式中的“第二个数”有时会有困难。作为平方差公式的应用，教科书引入两个数乘积的简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定难度。解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来。
本节课的教学难点是：平方差公式的变式运用。
四、教学条件支持分析
1．为了利用图形面积验证公式，可让学生动手操作,通过“割补”法求出图形面积来说明平方差公式。
长方形AMHG的面积=，割下长方形EFHG添补到长方形MBCD处，形成多边形ABCDEF，而多边形ABCDEF的面积=，由此得出
2．利用希沃授课助手，展示学生的剪、拼图形的方法，为部分学生提供思路，感知数形结合思想。
3．利用希沃白板的课堂活动引导学生再次辨析平方差公式的结构特征，更好的理解 “相同项”与 “相反项”。
五、教学过程设计
1.探究平方差公式
问题1 在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则。根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） ;
（2） ;
（3） ;
师生活动：学生计算，三位学生在黑板上板书，师生共同分析板书的结果。
设计意图：
（1）承前启后，为本节内容的引入做铺垫；
（2）让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节课内容的关系——“一般——特殊”
（3）三个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础。
追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
追问2：相乘的两个多项式的各项与他们积中的各项有什么关系？
追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？
追问4：你能对发现的规律进行推导吗？
师生活动：学生观察并独立思考，尝试进行概括。发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差。用一般化的式子可以表示为，运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式。
设计意图：让学生经历从具体——抽象的过程，即经历观察（每个具体的算式及其结果的特点）、比较（不同算式及其结果间的异同）、抽象（不同算式及其结果的共同特征）、概括（可能具有的规律）、推理（论证概括的结果的过程），从中体会研究数学问题的基本思想方法——“具体——抽象”。
2、理解平方差公式
问题2 你能根据图2中图形的面积说明平方差公式吗？
（1）长方形AMGH的长和宽分别是什么？怎样求面积？
（2）如果长方形AMHG中的一部分长方形FEHG被分隔下来，并补到长方形MBCD的位置，就形成多边形ABCDEF，此时多边形ABCDEF的面积又可以怎样表示？
（3）上述两种方法表示的面积有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程。若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题。
设计意图：通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好的理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想。
问题3 前面我们用几何图形说明了平方差公式，哪位同学能尝试一下用多项式与多项式的乘法法则推导平方差公式吗？
师生活动：师生共同口述过程。
追问：谁能用文字语言描述平方差公式的定义吗？
师生活动：学生回答问题，相互补充。
提示：打开书本107页画一下平方差公式的定义，并重新看一边思考题。思考平方差公式有什么样的结构？
设计意图：（1）让学生们将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；（2）学生在用文字语言表述公示内容时，可以加深对公式结构特征的理解。
3.巩固平方差公式
例1 判断下列各式能否运用平方差公式进行计算
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（5）； （6）；
师生活动：学生将自己的答案打 “√”打“×”放于胸前，并找出能用平方差公式计算的相同项“a”相反项“b”。
设计意图：能够辨析平方差公式的适用条件，对于不能用公式计算的还可以用多项式乘多项式的法则去计算。
例2 运用平方差公式计算
（1）； （2）.
师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书（2）。在解答（1）的过程中，教师要明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的，然后依照公式，写出平方差，在化简得出最终结果；在解答（2）的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法。
解：（1）
（2）
设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”哪个数或式相当于公式中的“第二个数”并用公式进行计算。
练习1 下列各式的计算对不对？如果不对应怎样改正？
（1）
（2）
（3）
（4）
师生活动：学生独立思考，并说明答案，对错误的问题相互交流、订正答案。
设计意图：通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，准确运用公式进行计算。
问题4 从例1和练习1中，你认为运用公式解决时应注意什么
师生活动：学生回答问题，并相互补充。可以总结出以下经验：
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中哪个数或式相当于公式中的
（3）总结规律：一般地，“第一个数”的符号相同，“第二个数”的符号相反；
（4）公式中的字母可以是具体的数、单项式、多项式等；
（5）不能忘记写公式右边的“平方”。
设计意图：引导学生深入分析平方差公式的结构特征，明确的意义，在运用公式进行计算时一定要抓住关键——找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”哪个数或式相当于公式中的“第二个数”突破本节课的难点。
数学活动：请在横线处填写式子，使下列式子能利用平方差公式计算（–a–8）
师生活动：学生来前面拖动选项回答问题，教师追问解决问题思路，学生详细的讲解自己的思路，
设计意图：更好的帮助学生找相同项和相反项，突破难点。
例3 计算
（1）； （2）102×98.
师生活动：师生共同分析，得出：（1）中的前两个多项式的积可以直接写成直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；
（2）是两个数乘积的简捷运算，这两个因数恰好可以分解成两个数（100与2）的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算。
学生板演，教师在巡视过程中及时点拨。
问题（2）对一部分学生来说，有一定难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数。
设计意图：第（1）题是新旧知识的综合运用，此题要让学生深刻理解平方差公式的结构特征，明白只有符合公式结构特征的乘法，才能运用公式简化运算；第（2）题是平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简捷计算问题，可以使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力。
4.归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答一下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）平方差公式的结构特征是什么？
（3）应用平方差公式要注意什么？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验。
5.布置作业
必做：
阳光课堂51、52页
选做：
（1）
（2）先化简，再求值： ，其中 .
6、目标检测设计
1.下列各式中，不能运用平方差公式的是（ ）.
A B
C D
设计意图：考察学生对平方差公式结构特征的理解。
2.计算
（1） （2）
设计意图：考察学生对平方差公式的理解及运用。
3.计算：1998×2002.
设计意图：考察学生对平方差公式的应用——两个数乘积简捷计算的掌握。
一、内容和内容解析
1.内容
平方差公式
2.内容解析
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。平方差公式是多项式的乘法公式的一种即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。
平方差公式的符号表示和语言揭示了公式的结构特征。公式中的字母可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式的乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：平方差公式。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解平方差公式，能用公式进行计算；
（2）在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言描述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算。
达成目标（2）的标志是：学生在探索平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好的发现公式、体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想。
3.教学重难点
教学重点：探究平方差公式，剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式.
教学难点：掌握公式在运用中的变化规律，深层次理解公式结构，自主创作变式题组.
三、教学问题诊断分析
由于公式中的本身可能为负数，而且可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”哪个数或式相当于公式中的“第二个数”有时会有困难。作为平方差公式的应用，教科书引入两个数乘积的简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定难度。解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来。
本节课的教学难点是：平方差公式的变式运用。
四、教学条件支持分析
1．为了利用图形面积验证公式，可让学生动手操作,通过“割补”法求出图形面积来说明平方差公式。
长方形AMHG的面积=，割下长方形EFHG添补到长方形MBCD处，形成多边形ABCDEF，而多边形ABCDEF的面积=，由此得出
2．利用希沃授课助手，展示学生的剪、拼图形的方法，为部分学生提供思路，感知数形结合思想。
3．利用希沃白板的课堂活动引导学生再次辨析平方差公式的结构特征，更好的理解 “相同项”与 “相反项”。
五、教学过程设计
1.探究平方差公式
问题1 在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则。根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） ;
（2） ;
（3） ;
师生活动：学生计算，三位学生在黑板上板书，师生共同分析板书的结果。
设计意图：
（1）承前启后，为本节内容的引入做铺垫；
（2）让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节课内容的关系——“一般——特殊”
（3）三个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础。
追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
追问2：相乘的两个多项式的各项与他们积中的各项有什么关系？
追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？
追问4：你能对发现的规律进行推导吗？
师生活动：学生观察并独立思考，尝试进行概括。发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差。用一般化的式子可以表示为，运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式。
设计意图：让学生经历从具体——抽象的过程，即经历观察（每个具体的算式及其结果的特点）、比较（不同算式及其结果间的异同）、抽象（不同算式及其结果的共同特征）、概括（可能具有的规律）、推理（论证概括的结果的过程），从中体会研究数学问题的基本思想方法——“具体——抽象”。
2、理解平方差公式
问题2 你能根据图2中图形的面积说明平方差公式吗？
（1）长方形AMGH的长和宽分别是什么？怎样求面积？
（2）如果长方形AMHG中的一部分长方形FEHG被分隔下来，并补到长方形MBCD的位置，就形成多边形ABCDEF，此时多边形ABCDEF的面积又可以怎样表示？
（3）上述两种方法表示的面积有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程。若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题。
设计意图：通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好的理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想。
问题3 前面我们用几何图形说明了平方差公式，哪位同学能尝试一下用多项式与多项式的乘法法则推导平方差公式吗？
师生活动：师生共同口述过程。
追问：谁能用文字语言描述平方差公式的定义吗？
师生活动：学生回答问题，相互补充。
提示：打开书本107页画一下平方差公式的定义，并重新看一边思考题。思考平方差公式有什么样的结构？
设计意图：（1）让学生们将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；（2）学生在用文字语言表述公示内容时，可以加深对公式结构特征的理解。
3.巩固平方差公式
例1 判断下列各式能否运用平方差公式进行计算
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（5）； （6）；
师生活动：学生将自己的答案打 “√”打“×”放于胸前，并找出能用平方差公式计算的相同项“a”相反项“b”。
设计意图：能够辨析平方差公式的适用条件，对于不能用公式计算的还可以用多项式乘多项式的法则去计算。
例2 运用平方差公式计算
（1）； （2）.
师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书（2）。在解答（1）的过程中，教师要明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的，然后依照公式，写出平方差，在化简得出最终结果；在解答（2）的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法。
解：（1）
（2）
设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”哪个数或式相当于公式中的“第二个数”并用公式进行计算。
练习1 下列各式的计算对不对？如果不对应怎样改正？
（1）
（2）
（3）
（4）
师生活动：学生独立思考，并说明答案，对错误的问题相互交流、订正答案。
设计意图：通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，准确运用公式进行计算。
问题4 从例1和练习1中，你认为运用公式解决时应注意什么
师生活动：学生回答问题，并相互补充。可以总结出以下经验：
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中哪个数或式相当于公式中的
（3）总结规律：一般地，“第一个数”的符号相同，“第二个数”的符号相反；
（4）公式中的字母可以是具体的数、单项式、多项式等；
（5）不能忘记写公式右边的“平方”。
设计意图：引导学生深入分析平方差公式的结构特征，明确的意义，在运用公式进行计算时一定要抓住关键——找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”哪个数或式相当于公式中的“第二个数”突破本节课的难点。
数学活动：请在横线处填写式子，使下列式子能利用平方差公式计算（–a–8）
师生活动：学生来前面拖动选项回答问题，教师追问解决问题思路，学生详细的讲解自己的思路，
设计意图：更好的帮助学生找相同项和相反项，突破难点。
例3 计算
（1）； （2）102×98.
师生活动：师生共同分析，得出：（1）中的前两个多项式的积可以直接写成直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；
（2）是两个数乘积的简捷运算，这两个因数恰好可以分解成两个数（100与2）的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算。
学生板演，教师在巡视过程中及时点拨。
问题（2）对一部分学生来说，有一定难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数。
设计意图：第（1）题是新旧知识的综合运用，此题要让学生深刻理解平方差公式的结构特征，明白只有符合公式结构特征的乘法，才能运用公式简化运算；第（2）题是平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简捷计算问题，可以使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力。
4.归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答一下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）平方差公式的结构特征是什么？
（3）应用平方差公式要注意什么？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验。
5.布置作业
必做：
阳光课堂51、52页
选做：
（1）
（2）先化简，再求值： ，其中 .
6、目标检测设计
1.下列各式中，不能运用平方差公式的是（ ）.
A B
C D
设计意图：考察学生对平方差公式结构特征的理解。
2.计算
（1） （2）
设计意图：考察学生对平方差公式的理解及运用。
3.计算：1998×2002.
设计意图：考察学生对平方差公式的应用——两个数乘积简捷计算的掌握。