15.1.1 从分数到分式同步练习（含解析）

15.1 分式
第1课时 从分数到分式
【知识重点】
知识点1 分式的概念
1. 定义 如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
分式的“三要素”：
(1)形如的式子；(2)A，B为整式；(3)分母B中含有字母.
2. 分式与分数、整式的关系
(1)分式中分母含有字母．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性. 分数是分式中字母取特定值时的特殊情况.
(2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母.
特别解读
① 分式可看成是两个整式的商，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用.
② 分式只看形式不看结果如：是分式.
知识点2 分式有意义和无意义的条件
1. 分式有意义的条件
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0时，分式 才有意义.
2. 分式无意义的条件
分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义.
特别提醒
分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子是否为0 无关.
知识点3 分式的值为0的条件
1. 分式的值为0的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0时，分式的值为0.
即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时，＝0.
2. 对常见的几种特殊分式值的讨论
(1)若的值为正数，则A、B同号.
(2)若的值为负数，则A、B异号.
(3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0.
(4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0.
特别提醒
●分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式 的值为0 的条件：A＝0且B ≠ 0，二者缺一不可.
●对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
【经典例题】
【例1】下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
，－2x2，，，，，(3x－y)，，，.
解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是看分母中是否有字母.
【例2】x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)；(2)；(3)； (4).
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
【例3】分式中的x满足什么条件时分式无意义？
解题秘方：分母的值等于0 时，分式无意义.
【例4】当x取何值时，下列分式的值为0 ？
(1)；(2)；(3).
解题秘方：分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0.
【同步练习】
一、选择题
1．【2022·怀化】x，，，x2－，，中，属于分式的有(　　)
A．2个 　B．3个 　C．4个 　D．5个
2．已知a＝1，b＝2，则的值是(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
3．若分式的值为0，则(　　)
A．x＝－2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝1或－2
4．若分式的值为0，则x的值为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
5．分式无意义的条件是(　　)
A．a＝2 B．a＝－2 C．a＝2且a＝－2 D．a＝2或a＝－2
6．下列说法正确的是(　　)
A.是整式 B．若分式的分子为零，则分式的值为零
C．对于任意实数x，分式总有意义 D．式子a÷(m＋n)写成分式的形式是＋
7．分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是(　　)
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若a≠－，分式的值为零 D．若a≠，分式的值为零
8．已知分式 ，当x＝6时，分式无意义，则m的值为(　　)
A．12 B．－12 C．±12 D．不确定
9．【2023·扬州邗江中学模拟】不论x取何值，下列各式的值不可能为0的是(　　)
A．x＋1　B．x2－1　C. D．(x＋1)2
10．【2023·长沙雅礼中学月考】若分式的值等于0，则x的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
二、填空题
11．【2022·仙桃】若分式有意义，则x的取值范围是__________________．
12．当x＝________时，分式的值为零．
13．当a＝2时，分式的值是 ．
14．甲单独完成某项工作需要a天，乙单独去完成这项工作需要b天，则甲、乙合作3天的工作量为 ．
15．写出一个含有字母m的分式(要求：不论m取任何实数，该分式都有意义) ．
16．【2022·嘉兴】某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 ____(N)(用含n，k的式子表示)．
17．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了____________小时完成任务．(用含字母m的式子表示)
三、解答题
18．当x取何值时，下列分式的值为零？
(1)；　　　　　(2).
19．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，－，－x＋3，－＋3，，.
20．已知分式，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.求a＋b的值．
21．已知分式，当x＝4时，分式没有意义；当x＝－3时，分式的值为零．求分式的值．
22．当x为何值时，分式的值为1？当x为何值时，分式的值为－1
23．若a，b为实数，且＝0，求3a－b的值．
24．【2023·重庆八中模拟】在一次数学课上，徐老师为同学们出了这样一道题：当x＝－，x＝－2，x＝0，x＝1，x＝时，求分式的值．
(1)请你完成这道题．
(2)做完这道题后，聪明的王鑫发现：无论x取何值，上述分式都有意义．你知道这是为什么吗？
(3)如果分式无论x取何实数总有意义，你能求出m的取值范围吗？
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参考答案
【经典例题】
【例1】下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
，－2x2，，，，，(3x－y)，，，.
解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是看分母中是否有字母.
解: 分式有，，， ；
整式有－2x2，， ， (3x－y)， .
【例2】x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)；(2)；(3)； (4).
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
解：(1)当5x－3 ≠ 0，即x ≠ 时，分式有意义；
(2)当|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 时，分式有意义；
(3)∵无论x取什么值，都有x2＋3 ＞ 0，
∴ x取任何实数，分式都有意义；
(4)当(x－2)(x+4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时，
分式有意义.
【例3】分式中的x满足什么条件时分式无意义？
解题秘方：分母的值等于0 时，分式无意义.
解：要使分式无意义，则分母x2－16＝0，
即x2＝16，解得x＝±4.
∴当x＝±4 时，分式 无意义.
【例4】当x取何值时，下列分式的值为0 ？
(1)；(2)；(3).
解题秘方：分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0.
解：(1)由得x＝－2，
∴当x＝－2 时，分式的值为0.
(2)由得x＝－3，
∴当x＝－3 时，分式的值为0.
(3)由得x＝3，
∴当x＝3 时，分式的值为0.
【同步练习】
一、选择题
1．【2022·怀化】x，，，x2－，，中，属于分式的有(　B　)
A．2个 　B．3个 　C．4个 　D．5个
【解析】1.分式可看成是两个整式的商，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用．
2．分式只看形式不看结果如：是分式 .
2．已知a＝1，b＝2，则的值是(　D　)
A. B．－ C．2 D．－2
3．若分式的值为0，则(　C　)
A．x＝－2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝1或－2
4．若分式的值为0，则x的值为(　B　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
5．分式无意义的条件是(　D　)
A．a＝2 B．a＝－2 C．a＝2且a＝－2 D．a＝2或a＝－2
6．下列说法正确的是(　C　)
A.是整式 B．若分式的分子为零，则分式的值为零
C．对于任意实数x，分式总有意义 D．式子a÷(m＋n)写成分式的形式是＋
7．分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是(　C　)
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若a≠－，分式的值为零 D．若a≠，分式的值为零
8．已知分式 ，当x＝6时，分式无意义，则m的值为(　B　)
A．12 B．－12 C．±12 D．不确定
9．【2023·扬州邗江中学模拟】不论x取何值，下列各式的值不可能为0的是(　C　)
A．x＋1　B．x2－1　C. D．(x＋1)2
10．【2023·长沙雅礼中学月考】若分式的值等于0，则x的值为(　A　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
二、填空题
11．【2022·仙桃】若分式有意义，则x的取值范围是__________________．
【答案】x≠1
12．当x＝________时，分式的值为零．
【答案】0
13．当a＝2时，分式的值是 ．
【答案】1
14．甲单独完成某项工作需要a天，乙单独去完成这项工作需要b天，则甲、乙合作3天的工作量为 ．
【答案】＋
15．写出一个含有字母m的分式(要求：不论m取任何实数，该分式都有意义) ．
【答案】(答案不唯一)
16．【2022·嘉兴】某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 ____(N)(用含n，k的式子表示)．
【答案】
17．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了____________小时完成任务．(用含字母m的式子表示)
【答案】
三、解答题
18．当x取何值时，下列分式的值为零？
(1)；　　　　　(2).
解：(1)x2－81＝0，即x2＝81，∴x＝±9.
又∵x＋9≠0，∴x≠－9.∴x＝9.
(2)2x2－8＝0，∴2x2＝8，∴x2＝4.∴x＝±2.
又∵x－2≠0，即x≠2，∴x＝－2.
【总结】求分式值为0时字母值的方法：
1．解题时可以先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，这个值就是所要求的字母的值．切记使分母为0的值必须舍去．
2．若有多个值使分式的值为0，则这几个值之间用“或”连接．
19．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，－，－x＋3，－＋3，，.
解：整式：，，－x＋3，；
分式：，.
20．已知分式，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.求a＋b的值．
解：∵当x＝1时，分式无意义，
∴1－a＝0，解得a＝1.
∵当x＝4时，分式的值为0，
∴4＋2b＝0，解得b＝－2.
∴a＋b＝1－2＝－1.
21．已知分式，当x＝4时，分式没有意义；当x＝－3时，分式的值为零．求分式的值．
解：当x＝4时，分式没有意义，说明此时2x＋b＝0，
则b＝－2x＝－8；
当x＝－3时，分式的值为零，说明此时x－a＝0，则a＝x＝－3.
把a，b的值代入，得＝＝－.
22．当x为何值时，分式的值为1？当x为何值时，分式的值为－1
解：∵分式的值为1，∴4x＋3＝x－5，解得x＝－.
当x＝－时，x－5＝－－5＝－≠0，∴当x＝－时，分式的值为1.
∵分式的值为－1，∴这个分式的分子、分母互为相反数，
即(4x＋3)＋(x－5)＝0，解得x＝.当x＝时，x－5＝－5＝－≠0，
∴当x＝时，分式的值为－1.
23．若a，b为实数，且＝0，求3a－b的值．
解：由＝0，
得(a－2)2＋|b2－16|＝0，且b＋4≠0，
所以且b≠－4，
所以a＝2，b＝4，所以3a－b＝2.
24．【2023·重庆八中模拟】在一次数学课上，徐老师为同学们出了这样一道题：当x＝－，x＝－2，x＝0，x＝1，x＝时，求分式的值．
(1)请你完成这道题．
解：(1)当x＝－，x＝－2，x＝0，x＝1，x＝时，
分式的值分别是，，，，.
(2)做完这道题后，聪明的王鑫发现：无论x取何值，上述分式都有意义．你知道这是为什么吗？
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，无论x为何值，都有
(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋2≠0，即x2－2x＋3≠0.
∴无论x取何值，都有意义．
(3)如果分式无论x取何实数总有意义，你能求出m的取值范围吗？
∵x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，∴当m－1＞0，即m＞1时，
分式无论x取何实数总有意义．