四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】 甲摸一个球有种情况，不放回，甲摸一个后不放回，乙再摸一个球有种情况，所有可能的结果数 种结果.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
2．某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A．6000人 B．6240人 C．6300人 D．6400人
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】由题意得成绩在515分及以下人数为人，则成绩在515分以上人数为人．
故答案为：D.
【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.
3．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的概念；空间向量基本定理
4．某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为（ ）
成绩分组/分
人数/人 4 25 50 15 6
A．59 B．59.4 C．69 D．69.4
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】依题意得平均数为．
故答案为：D.
【分析】根据平均数公式计算求解即可.
5．若，，，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】由已知 ，得 因为，得，所以， 所以事件与的关系为相互独立事件.
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用和事件概率公式，求出，从而得到，即可判断事件与的关系为相互独立事件.
6．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
7．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以更正前后平均分不变，
，，，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意更正前后的平均分相等，再根据方差公式计算即可.
8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面的法向量；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
二、多选题
9．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为.
故答案为：CD.
【分析】根据平均数、方差的性质可得答案.
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件与相互独立，则与也相互独立
B．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C．若，，与相互独立，则
D．若，，则与互为对立事件
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
11．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】依题意，设男性人数为，女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故答案为：AD.
【分析】依题意，设男性人数为，女性人数为，根据平均数、方差公式计算可得答案.
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A．从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B．从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C．存在点，使直线与所成的角为
D．不存在点，使平面
【答案】A,B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】 从、、、、、六个点中任取三点，除开、、、和、、分别共线，其余18种均不共线，故概率为，任取4点，共有15种情况，每条直线上任取2个点，则共有9种情况，故概率为，故A、B正确；
以A为空间原点建立空间直角坐标系，、、、、、，
设，设，则有，则，，，，化简得，，方程有解，故C正确；
，求得平面的法向量，由，可得，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据古典概率公式计算即可判断AB，以A为空间原点建立空间直角坐标系，利用向量即可判断CD.
三、填空题
13．某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；随机数法
14．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ．
【答案】250
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为，
所以，解得，从而．
故答案为：250.
【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
【答案】0.236
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】设为独孤队第局获胜，根据题意，独孤队获胜的可能结果为，所以独孤队获胜的概率为.
故答案为：0.236.
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的概率计算即可.
16．已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
四、应用题
17．某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
【答案】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解即可；
（2）根据平均数和方差的计算公式计算求解即可；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求的长．
【答案】（1）因为点为的中点，所以，
所以；
（2）因为点在线段上且，
所以，
所以，
所以，
因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面
所以，，，
则，
，
．
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
19．药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
【答案】（1）由题设可得如下表格，
产品编号
2 4 8 3 6 5 3 2 1 6
又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；
（2）由题意，一等品中随机抽取2件产品有
，共15种，
其中事件为，共10种
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题设得到产品编号与综合指标的表格，应用古典概型的概率求法求得一等品率为；
（2）列举法一等品中随机抽取2件产品有15种结果，其中事件有10种，所以.
20．如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）连接，，
由于，，
所以，
由余弦定理得，
，，
，，，
，
由于，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，，平面，
平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，取，，
，取，，
，
设二面角的平面角为，
，即二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法；余弦定理
21．某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【答案】（1）由频率分布直方图可知的频率为，
所以组的纵轴为，
所以频率分布直方图如下所示：
又，，
所以第分位数位于，且，
所以入围分数应设为分；
（2）依题意抽取人，抽取人，
从人中随机选人一共有中选法，其中人都是的有中选法，
设事件：“至少有1名学生成绩不低于”，则；
（3）依题意甲能参加冬令营的概率，
乙能参加冬令营的概率，
丙能参加冬令营的概率，
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
22．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．
（1）若，，求证：，，，四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1），，，
，所以，，，四点共面.
（2）平面，
上的所有的点到平面的距离都相等，
同理上所有的点到的距离也相等，
，
，
点在平面的射影落在上，过点作，过点作，
平面，
，又与是平面内两条相交直线，
平面，，在直角三角形中，，
，解得，
又在直角三角形中，，，
在直角三角形中，可得，
；
（3）设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，，
，，，，
由，可求得，，
，，
设为平面的法向量，
，取，，，
，
，，
设，，
，
设直线与平面所成角的为，
，
，，
．
【知识点】空间中的点的坐标；棱柱、棱锥、棱台的体积；共面向量定理；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
1 / 1四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
2．某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A．6000人 B．6240人 C．6300人 D．6400人
3．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为（ ）
成绩分组/分
人数/人 4 25 50 15 6
A．59 B．59.4 C．69 D．69.4
5．若，，，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
6．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下面结论正确的是（ ）
A．若事件与相互独立，则与也相互独立
B．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C．若，，与相互独立，则
D．若，，则与互为对立事件
11．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A．从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B．从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C．存在点，使直线与所成的角为
D．不存在点，使平面
三、填空题
13．某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为 ．
14．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 ．
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为 ．
16．已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ．
四、应用题
17．某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（单位：） 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
（单位：） 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求的长．
19．药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
20．如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21．某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
22．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．
（1）若，，求证：，，，四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】 甲摸一个球有种情况，不放回，甲摸一个后不放回，乙再摸一个球有种情况，所有可能的结果数 种结果.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
2．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】由题意得成绩在515分及以下人数为人，则成绩在515分以上人数为人．
故答案为：D.
【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.
3．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的概念；空间向量基本定理
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】依题意得平均数为．
故答案为：D.
【分析】根据平均数公式计算求解即可.
5．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】由已知 ，得 因为，得，所以， 所以事件与的关系为相互独立事件.
故答案为：A.
【分析】根据条件，利用和事件概率公式，求出，从而得到，即可判断事件与的关系为相互独立事件.
6．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
7．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以更正前后平均分不变，
，，，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意更正前后的平均分相等，再根据方差公式计算即可.
8．【答案】D
【知识点】平面的法向量；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为.
故答案为：CD.
【分析】根据平均数、方差的性质可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
11．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】依题意，设男性人数为，女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故答案为：AD.
【分析】依题意，设男性人数为，女性人数为，根据平均数、方差公式计算可得答案.
12．【答案】A,B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】 从、、、、、六个点中任取三点，除开、、、和、、分别共线，其余18种均不共线，故概率为，任取4点，共有15种情况，每条直线上任取2个点，则共有9种情况，故概率为，故A、B正确；
以A为空间原点建立空间直角坐标系，、、、、、，
设，设，则有，则，，，，化简得，，方程有解，故C正确；
，求得平面的法向量，由，可得，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据古典概率公式计算即可判断AB，以A为空间原点建立空间直角坐标系，利用向量即可判断CD.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；随机数法
14．【答案】250
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为，
所以，解得，从而．
故答案为：250.
【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.
15．【答案】0.236
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】设为独孤队第局获胜，根据题意，独孤队获胜的可能结果为，所以独孤队获胜的概率为.
故答案为：0.236.
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的概率计算即可.
16．【答案】
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
17．【答案】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解即可；
（2）根据平均数和方差的计算公式计算求解即可；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
18．【答案】（1）因为点为的中点，所以，
所以；
（2）因为点在线段上且，
所以，
所以，
所以，
因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面
所以，，，
则，
，
．
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
19．【答案】（1）由题设可得如下表格，
产品编号
2 4 8 3 6 5 3 2 1 6
又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；
（2）由题意，一等品中随机抽取2件产品有
，共15种，
其中事件为，共10种
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题设得到产品编号与综合指标的表格，应用古典概型的概率求法求得一等品率为；
（2）列举法一等品中随机抽取2件产品有15种结果，其中事件有10种，所以.
20．【答案】（1）连接，，
由于，，
所以，
由余弦定理得，
，，
，，，
，
由于，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，，平面，
平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，取，，
，取，，
，
设二面角的平面角为，
，即二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法；余弦定理
21．【答案】（1）由频率分布直方图可知的频率为，
所以组的纵轴为，
所以频率分布直方图如下所示：
又，，
所以第分位数位于，且，
所以入围分数应设为分；
（2）依题意抽取人，抽取人，
从人中随机选人一共有中选法，其中人都是的有中选法，
设事件：“至少有1名学生成绩不低于”，则；
（3）依题意甲能参加冬令营的概率，
乙能参加冬令营的概率，
丙能参加冬令营的概率，
所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
22．【答案】（1），，，
，所以，，，四点共面.
（2）平面，
上的所有的点到平面的距离都相等，
同理上所有的点到的距离也相等，
，
，
点在平面的射影落在上，过点作，过点作，
平面，
，又与是平面内两条相交直线，
平面，，在直角三角形中，，
，解得，
又在直角三角形中，，，
在直角三角形中，可得，
；
（3）设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，，
，，，，
由，可求得，，
，，
设为平面的法向量，
，取，，，
，
，，
设，，
，
设直线与平面所成角的为，
，
，，
．
【知识点】空间中的点的坐标；棱柱、棱锥、棱台的体积；共面向量定理；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
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