江苏省南京市2024届高三上学期期中复习数学试题
一、单选题
1．（2023高三上·南京期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·广东月考）设复数 ，其中i是虚数单位， 是 的共轭复数，下列判断中错误的是（ ）
A． B．
C．z是方程 的一个根 D．满足 最小正整数n为3
3．（2023高三上·南京期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
4．（2023高三上·南京期中）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三上·武昌期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三下·济南开学考）已知等比数列的公比为，其前项和为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·安徽月考）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高三上·南京期中）已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·嘉兴月考）如图，在正四面体中，、分别为、的中点，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．直线与平面所成的角的正弦值为
10．（2023高三上·武昌期末）声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是，则（ ）
A．的最小正周期是 B．是的最小值
C．是的零点 D．在存在极值
11．（2023高三上·南京期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．的最小值为
C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形
D．的面积为定值
三、填空题
12．（2023高三上·南京期中）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 ．
13．（2023高三上·南京期中）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 .
14．（2023高三上·南京期中）已知是双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线的离心率为 ．
15．（2022高三上·太原期中）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为 ．
四、解答题
16．（2023高三上·南京期中）已知数列的前项和为，且，____.
请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．（2021高二下·广州期中）已知函数 只能同时满足以下三个条件中的两个．
①函数f（x）的最大值是2；
②函数f（x）的图象可由函数 左右平移得到；
③函数f（x）的对称中心与f（x）的对称轴之间的最短距离是 ．
（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数 的单调递增区间；
（2）已知 的内角A、B、C所对的边分别为 、 、 ，满足 ，点 为 的中点，且 ，求 的值．
18．（2022·天津市模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，AP⊥平面ABCD，，点M、N分别为线段BC和PD的中点．
（1）求证：AN⊥平面PDM；
（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
（3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.
19．（2023高三上·南京期中）甲 乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲 乙每次射击击中目标的概率分别为和，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击.
（1）求甲 乙得分相同的概率；
（2）设乙的得分为，求的分布列及数学期望.
20．（2023高三上·南京期中）已知函数(为自然对数的底数).
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）证明：对任意实数，函数有且只有一个零点.
21．（2023高三上·南京期中）已知椭圆的左 右焦点分别为，，满足，且以线段为直径的圆过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵，
∴
∴
【分析】根据集合元素的性质结合交集的运算即可(M为数集，N为点集).
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： 由题意得， ，A选项说法正确；
，故B说法错误；
因为 ，
所以z是方程 的一个根，C选项说法正确；
因为 ， ， ，
所以满足 最小正整数n为3，D说法正确.
故选：B
【分析】A选项，得到z的共轭复数，利用复数的乘法运算法则进行计算；B选项，利用复数的乘方运算进行计算；
C选项，将 代入方程进行验证；D选项，由计算出z2，z3 ，得到结论.
3．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中，
共有种方法.
故选：Ａ．
【分析】先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，利用隔板法分成3堆放入即可．
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】根据题意可得，
，
∴在上的投影向量为，
故选：B.
【分析】根据题意，结合向量的数量积和投影公式，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，，，
所以只需要比较，，的大小即可，
令，则，
因为，所以，则，所以在上单调递增，
故，则，即，
所以；
令，则，
因为，所以，，所以在上单调递增，
故，即，即，
所以；
综上：.
故答案为：A.
【分析】令，求导可得在上单调性，可得，令，求导可得在上单调性，可得，进而得答案.
6．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】因为为等比数列的公比，所以，
因为对任意的恒成立，所以，
当时，恒成立，满足条件，
当，，
由对任意的恒成立，可得，
所以，
所以或，
所以或或，
所以的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由条件可得，讨论，根据等比数列求和公式化简，可得的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，A不符合题意，
若，则，B不符合题意；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，C符合题意；
由得，则，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】对于AB，反例特殊值即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.
8．【答案】B
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】首先根据题意作图，如下：
由题意可知，点为
因为直线与椭圆交于两点，
设点为，点为，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以整理得：
所以，
因为，所以，，
所以点为，
又因为，
所以，
又因为，
整理得：，
所以点B为，点C为，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意绘制图像，再结合题意得到值，再设出点和点坐标，结合斜率公式化简，得到值，并求得焦点坐标，然后再根据，求出点和点坐标，最后求得的面积.
9．【答案】A,B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解析】【解答】将正四面体放在正方体中，设正方体的棱长为2，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、.
对于A选项，，，，即，A对；
对于B选项，，，
所以，直线与所成的角为，B对；
对于C选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
故直线与平面所成的角的正弦值为，C对；
对于D选项，设平面的法向量为，
则，取，可得，
，
故直线与平面所成的角的正弦值为，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】将正四面体放在正方体中，设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于A选项，函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，且，
因此，函数的最小正周期是，A对；
对于B选项，因为，
又因为，
故不是的最小值，B不符合题意；
对于C选项，对任意的，，
故是的零点，C对；
对于D选项，，
则
，
当时，，则，令可得，
所以，，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因此，在存在极值，D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据正弦函数的周期性可判断A；，，可判断B；对任意的，，可判断C；对求导，根据导数符号可得函数单调性，进而得在存在极值，可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质；椭圆的应用；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】首先根据题意作图，如下：
因为椭圆，
所以，，
所以，
所以右焦点为，
所以，所以，
所以抛物线的标准方程为：，
所以A选项正确，
下面对直线的斜率进行讨论，
当斜率不存在时，，，，所以，
当斜率存在时，设直线的方程为且，
所以直线的方程为
设点为，点为，点为，点为，
所以，
整理得：，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
综上，
所以最小值为，
所以B选项正确，
，
因为，
所以，
所以，
所以为直角三角形，
所以C选项正确，
，
所以的面积不是定值，
所以D选项错误，
故答案为：ABC.
【分析】首先根据题意绘制图像，再根据椭圆的性质求出焦点坐标，由于抛物线与椭圆的右焦点重合，求出值，从而得到抛物线的标准方程；然后再对直线的斜率进行讨论，将抛物线方程与椭圆方程联立方程组，进一步求得两根之和与两根之积，结合两点距离公式求得，长度，从而求得最小值；根据斜率公式，求得，说明，证出为直角三角形；最后再根据三角形的面积公式，得出的面积不是定值.
12．【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【解答】因为二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
所以，
所以且，
所以，
所以，
因为，
当时，等号成立，
所以，
故答案为：4.
【分析】首先根据二次函数的定义域以及值域可知，从而得到，再结合基本不等式的性质，求出最小值.
13．【答案】14或23
【知识点】等差数列的性质；组合及组合数公式；二项式系数
【解析】【解答】根据题意知，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为：，，，
因为第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，
所以，
所以，
所以或，
故答案为：14或23.
【分析】首先根据题意分别得到第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差数列的性质，构造等式，最后根据组合数公式化简得到值.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】首先根据题意绘制图像，如下：
因为点为双曲线上一点，
所以，
因为点，分别为，中点，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：.
【分析】首先根据题意绘图，根据双曲线上一点到两个焦点距离差为，再根据三角形的中线得到，从而得到，进一步得到离心率值.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，则
因为，即，
所以，即函数为偶函数，
因为，当时，
所以，当时，，函数为单调递减函数，
因为函数为上的偶函数
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
因为可变形为，即，
因为函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，或，即或，
所以，不等式的解集为
故答案为：
【分析】令，求得，根据，得到，得出函数为偶函数，再由得到为单调递减函数，进而得出函数的单调区间，结合，求得，把不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，转化为或，即可求解.
16．【答案】（1）因为，所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
选①.由，得，即，
所以，解得.
所以，
即数列的通项公式为.
选②.由，，成等比数列，得，
则，所以.
所以.
选③.因为，
所以，所以.
所以.
（2）由题可知，所以，
所以，
两式相减，得
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合；等比数列的实际应用；等差数列的实际应用
【解析】【分析】(1)首先根据题目所给前项和的表达式，再写一项前项和的表达式，作差化简，得到是等差数列，下面再根据选择的不同条件进行求解，选①，将所给条件转换为和，从而求出得到通项公式；选②，根据等比的性质构造等式，再将各项转换为和表达式，化简求出，最后得到通项公式；选③，首先根据等差数列前n项和公式，化简求出，最后得到通项公式.
(2)首先由第一问可知，的通项公式，进一步写出前项和的表达式，再写一项将前项和与相乘，两式进行错位相减，从而求出表达式.
17．【答案】（1）解：函数 只能同时满足①③．
由①知 ，由③知 ，则 ．
故 ．
由 ， ，
解得 ， ．
所以 的单调递增区间为 ，
（2）解： ．
∵ ，∴ ， ．
法一：作线段 的中点 ，因为 ，故 ．
因为 ，即 ．
由正弦定理知 ．
法二：分别在 ， 中对角 运用余弦定理，可得边长 ， 的关系，略．
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦函数 的图象与性质逐步求得A，T，，再求出单调递增区间即可；
（2）法一：先由 求得B，再根据正弦定理求解即可；
法二，先由 求得B，再根据余弦定理求解即可
18．【答案】（1）证明：方法一：∵，且，
∴BM∥AD，且BM=AD，
∴四边形ADMB是平行四边形，
∴，
∵，则AD⊥DM，
∵AP⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴AP⊥DM，又，
∴DM⊥平面PAD，又平面PAD，
∴DM⊥AN，
∵，N是PD的中点，
∴PD⊥AN，又，、平面PDM，
∴AN⊥平面PDM；
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，．
则，，．
设平面PDM的法向量为，
则，即，取，则，，则，
∴，则，
∴AN⊥平面PDM；
（2）解：，，设平面PDC的法向量为，
则，则，取，则，，则，
由(1)知平面PDM的一个法向量为，
设平面PDM与平面PDC的夹角为，
则，
∴，
∴平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为；
（3）解：假设存在点E，设，
，，，
则，
设直线BE与平面PDC所成角为，
由(2)知平面PDC的一个法向量为，
则，
化简得，即，
∵，∴，故，
∵，则，
∴，
∴线段PE的长为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)方法一：证明AN⊥PD，再证MD⊥平面APD得MD⊥AN即可证得 AN⊥平面PDM；
方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的相关计算证明题中的结论即可；
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面PDM和平面PDC的法向量，利用向量方法即可求解出平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
(3)利用(2)中空间直角坐标系，利用向量方法即可求解出的值，进而求出线段PE的长 .
19．【答案】（1）由题意，①甲、乙第一次均未击中，则；
②甲、乙第一次都击中，第二次均未击中，则；
③甲、乙均击中两次，.
所以.
（2）由题意，可得可取.则，
所以的分布列如下：
0 1 2 3 4
的期望.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】(1)首先根据甲乙得分相同，分成三种情况讨论，第一种情况：第一次甲乙都未击中，比赛结束；第二种情况：第一次甲乙都击中，第二次甲乙都未击中；第三种情况：两次甲乙都击中；再依次求出概率，累加得到相同得分的概率.
(2)首先根据题意乙得分情况可能为0，1，2，3，4，再根据独立性依次求出每种情况下的概率，列出分布列，根据分布列最后求出期望值.
20．【答案】（1），
则，
设，则，，
1.当，，单调增，，所以；
2.当，令，得，
当时，，当时，，
，则；
综上，.
（2）由题意可知，
1.，，
当时，；当时，，
又，，
所以在时，恰有一个零点；
2.，，恰有一个；
3.，，；
，，，
则，，
所以在时，恰有一个零点.
故综上恰有一个零点.
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先对进行一次求导，导函数分母大于0恒成立，但由于无法判断正负性，进一步设分子为并再求一次导，然后再对a进行分类讨论，并依次求出每种情况下的最小值，从而得到的取值范围.
(2)首先根据题意代入，得到表达式，再对的取值进行分类讨论，当时，根据单调递减，得到恰有一个零点；当时，，恒有一个零点；当时，时，，，时，恰有一个零点.
21．【答案】（1）设
以线段为直径的圆过点，所以.
所以
所以
所以
将代入
解得
所以椭圆的标准方程为
（2）当直线的斜率不存在时，
设直线的方程为，
设则①.
又
所以②.
由①②得所以
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为
设点
联立
得，
所以，
所以
所以③.
又
点到直线的距离，
所以
即
解得，
代入③式，得，
综上可知，当的面积为定值1时，是定值.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质；椭圆的应用；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】(1)首先由圆的直径与圆上其他一点，得到线线垂直，进一步得到两直线的向量积为0，从而求出值，再将点代入椭圆方程，化简得到值，最终得到椭圆方程.
（2）首先根据题意讨论直线方程的斜率是否存在：当斜率不存在时，设得直线的方程为，以及点，点坐标，再结合的面积为定值，从而求得值，最后化简得到为定值；当斜率存在时，联立方程组，根据韦达定理，进一步得到表达式，再利用点到直线距离公式与三角形面积，从而得到与的关系式，代入化简得到为定值.
1 / 1江苏省南京市2024届高三上学期期中复习数学试题
一、单选题
1．（2023高三上·南京期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵，
∴
∴
【分析】根据集合元素的性质结合交集的运算即可(M为数集，N为点集).
2．（2022高三上·广东月考）设复数 ，其中i是虚数单位， 是 的共轭复数，下列判断中错误的是（ ）
A． B．
C．z是方程 的一个根 D．满足 最小正整数n为3
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： 由题意得， ，A选项说法正确；
，故B说法错误；
因为 ，
所以z是方程 的一个根，C选项说法正确；
因为 ， ， ，
所以满足 最小正整数n为3，D说法正确.
故选：B
【分析】A选项，得到z的共轭复数，利用复数的乘法运算法则进行计算；B选项，利用复数的乘方运算进行计算；
C选项，将 代入方程进行验证；D选项，由计算出z2，z3 ，得到结论.
3．（2023高三上·南京期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中，
共有种方法.
故选：Ａ．
【分析】先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，利用隔板法分成3堆放入即可．
4．（2023高三上·南京期中）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】根据题意可得，
，
∴在上的投影向量为，
故选：B.
【分析】根据题意，结合向量的数量积和投影公式，即可求解.
5．（2023高三上·武昌期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，，，
所以只需要比较，，的大小即可，
令，则，
因为，所以，则，所以在上单调递增，
故，则，即，
所以；
令，则，
因为，所以，，所以在上单调递增，
故，即，即，
所以；
综上：.
故答案为：A.
【分析】令，求导可得在上单调性，可得，令，求导可得在上单调性，可得，进而得答案.
6．（2023高三下·济南开学考）已知等比数列的公比为，其前项和为，若对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】因为为等比数列的公比，所以，
因为对任意的恒成立，所以，
当时，恒成立，满足条件，
当，，
由对任意的恒成立，可得，
所以，
所以或，
所以或或，
所以的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由条件可得，讨论，根据等比数列求和公式化简，可得的取值范围.
7．（2023·安徽月考）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，A不符合题意，
若，则，B不符合题意；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，C符合题意；
由得，则，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】对于AB，反例特殊值即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.
8．（2023高三上·南京期中）已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】首先根据题意作图，如下：
由题意可知，点为
因为直线与椭圆交于两点，
设点为，点为，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以整理得：
所以，
因为，所以，，
所以点为，
又因为，
所以，
又因为，
整理得：，
所以点B为，点C为，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意绘制图像，再结合题意得到值，再设出点和点坐标，结合斜率公式化简，得到值，并求得焦点坐标，然后再根据，求出点和点坐标，最后求得的面积.
二、多选题
9．（2022高三上·嘉兴月考）如图，在正四面体中，、分别为、的中点，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．直线与平面所成的角的正弦值为
【答案】A,B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【解析】【解答】将正四面体放在正方体中，设正方体的棱长为2，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、.
对于A选项，，，，即，A对；
对于B选项，，，
所以，直线与所成的角为，B对；
对于C选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
故直线与平面所成的角的正弦值为，C对；
对于D选项，设平面的法向量为，
则，取，可得，
，
故直线与平面所成的角的正弦值为，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】将正四面体放在正方体中，设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
10．（2023高三上·武昌期末）声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是，则（ ）
A．的最小正周期是 B．是的最小值
C．是的零点 D．在存在极值
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于A选项，函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，且，
因此，函数的最小正周期是，A对；
对于B选项，因为，
又因为，
故不是的最小值，B不符合题意；
对于C选项，对任意的，，
故是的零点，C对；
对于D选项，，
则
，
当时，，则，令可得，
所以，，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因此，在存在极值，D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据正弦函数的周期性可判断A；，，可判断B；对任意的，，可判断C；对求导，根据导数符号可得函数单调性，进而得在存在极值，可判断D.
11．（2023高三上·南京期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．的最小值为
C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形
D．的面积为定值
【答案】A,B,C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质；椭圆的应用；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】首先根据题意作图，如下：
因为椭圆，
所以，，
所以，
所以右焦点为，
所以，所以，
所以抛物线的标准方程为：，
所以A选项正确，
下面对直线的斜率进行讨论，
当斜率不存在时，，，，所以，
当斜率存在时，设直线的方程为且，
所以直线的方程为
设点为，点为，点为，点为，
所以，
整理得：，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
综上，
所以最小值为，
所以B选项正确，
，
因为，
所以，
所以，
所以为直角三角形，
所以C选项正确，
，
所以的面积不是定值，
所以D选项错误，
故答案为：ABC.
【分析】首先根据题意绘制图像，再根据椭圆的性质求出焦点坐标，由于抛物线与椭圆的右焦点重合，求出值，从而得到抛物线的标准方程；然后再对直线的斜率进行讨论，将抛物线方程与椭圆方程联立方程组，进一步求得两根之和与两根之积，结合两点距离公式求得，长度，从而求得最小值；根据斜率公式，求得，说明，证出为直角三角形；最后再根据三角形的面积公式，得出的面积不是定值.
三、填空题
12．（2023高三上·南京期中）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【解答】因为二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
所以，
所以且，
所以，
所以，
因为，
当时，等号成立，
所以，
故答案为：4.
【分析】首先根据二次函数的定义域以及值域可知，从而得到，再结合基本不等式的性质，求出最小值.
13．（2023高三上·南京期中）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 .
【答案】14或23
【知识点】等差数列的性质；组合及组合数公式；二项式系数
【解析】【解答】根据题意知，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为：，，，
因为第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，
所以，
所以，
所以或，
故答案为：14或23.
【分析】首先根据题意分别得到第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差数列的性质，构造等式，最后根据组合数公式化简得到值.
14．（2023高三上·南京期中）已知是双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】首先根据题意绘制图像，如下：
因为点为双曲线上一点，
所以，
因为点，分别为，中点，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：.
【分析】首先根据题意绘图，根据双曲线上一点到两个焦点距离差为，再根据三角形的中线得到，从而得到，进一步得到离心率值.
15．（2022高三上·太原期中）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，则
因为，即，
所以，即函数为偶函数，
因为，当时，
所以，当时，，函数为单调递减函数，
因为函数为上的偶函数
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
因为可变形为，即，
因为函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，或，即或，
所以，不等式的解集为
故答案为：
【分析】令，求得，根据，得到，得出函数为偶函数，再由得到为单调递减函数，进而得出函数的单调区间，结合，求得，把不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，转化为或，即可求解.
四、解答题
16．（2023高三上·南京期中）已知数列的前项和为，且，____.
请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）因为，所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
选①.由，得，即，
所以，解得.
所以，
即数列的通项公式为.
选②.由，，成等比数列，得，
则，所以.
所以.
选③.因为，
所以，所以.
所以.
（2）由题可知，所以，
所以，
两式相减，得
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合；等比数列的实际应用；等差数列的实际应用
【解析】【分析】(1)首先根据题目所给前项和的表达式，再写一项前项和的表达式，作差化简，得到是等差数列，下面再根据选择的不同条件进行求解，选①，将所给条件转换为和，从而求出得到通项公式；选②，根据等比的性质构造等式，再将各项转换为和表达式，化简求出，最后得到通项公式；选③，首先根据等差数列前n项和公式，化简求出，最后得到通项公式.
(2)首先由第一问可知，的通项公式，进一步写出前项和的表达式，再写一项将前项和与相乘，两式进行错位相减，从而求出表达式.
17．（2021高二下·广州期中）已知函数 只能同时满足以下三个条件中的两个．
①函数f（x）的最大值是2；
②函数f（x）的图象可由函数 左右平移得到；
③函数f（x）的对称中心与f（x）的对称轴之间的最短距离是 ．
（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数 的单调递增区间；
（2）已知 的内角A、B、C所对的边分别为 、 、 ，满足 ，点 为 的中点，且 ，求 的值．
【答案】（1）解：函数 只能同时满足①③．
由①知 ，由③知 ，则 ．
故 ．
由 ， ，
解得 ， ．
所以 的单调递增区间为 ，
（2）解： ．
∵ ，∴ ， ．
法一：作线段 的中点 ，因为 ，故 ．
因为 ，即 ．
由正弦定理知 ．
法二：分别在 ， 中对角 运用余弦定理，可得边长 ， 的关系，略．
【知识点】正弦函数的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦函数 的图象与性质逐步求得A，T，，再求出单调递增区间即可；
（2）法一：先由 求得B，再根据正弦定理求解即可；
法二，先由 求得B，再根据余弦定理求解即可
18．（2022·天津市模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，AP⊥平面ABCD，，点M、N分别为线段BC和PD的中点．
（1）求证：AN⊥平面PDM；
（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
（3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：方法一：∵，且，
∴BM∥AD，且BM=AD，
∴四边形ADMB是平行四边形，
∴，
∵，则AD⊥DM，
∵AP⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴AP⊥DM，又，
∴DM⊥平面PAD，又平面PAD，
∴DM⊥AN，
∵，N是PD的中点，
∴PD⊥AN，又，、平面PDM，
∴AN⊥平面PDM；
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，．
则，，．
设平面PDM的法向量为，
则，即，取，则，，则，
∴，则，
∴AN⊥平面PDM；
（2）解：，，设平面PDC的法向量为，
则，则，取，则，，则，
由(1)知平面PDM的一个法向量为，
设平面PDM与平面PDC的夹角为，
则，
∴，
∴平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为；
（3）解：假设存在点E，设，
，，，
则，
设直线BE与平面PDC所成角为，
由(2)知平面PDC的一个法向量为，
则，
化简得，即，
∵，∴，故，
∵，则，
∴，
∴线段PE的长为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)方法一：证明AN⊥PD，再证MD⊥平面APD得MD⊥AN即可证得 AN⊥平面PDM；
方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的相关计算证明题中的结论即可；
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面PDM和平面PDC的法向量，利用向量方法即可求解出平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
(3)利用(2)中空间直角坐标系，利用向量方法即可求解出的值，进而求出线段PE的长 .
19．（2023高三上·南京期中）甲 乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲 乙每次射击击中目标的概率分别为和，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击.
（1）求甲 乙得分相同的概率；
（2）设乙的得分为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）由题意，①甲、乙第一次均未击中，则；
②甲、乙第一次都击中，第二次均未击中，则；
③甲、乙均击中两次，.
所以.
（2）由题意，可得可取.则，
所以的分布列如下：
0 1 2 3 4
的期望.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】(1)首先根据甲乙得分相同，分成三种情况讨论，第一种情况：第一次甲乙都未击中，比赛结束；第二种情况：第一次甲乙都击中，第二次甲乙都未击中；第三种情况：两次甲乙都击中；再依次求出概率，累加得到相同得分的概率.
(2)首先根据题意乙得分情况可能为0，1，2，3，4，再根据独立性依次求出每种情况下的概率，列出分布列，根据分布列最后求出期望值.
20．（2023高三上·南京期中）已知函数(为自然对数的底数).
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）证明：对任意实数，函数有且只有一个零点.
【答案】（1），
则，
设，则，，
1.当，，单调增，，所以；
2.当，令，得，
当时，，当时，，
，则；
综上，.
（2）由题意可知，
1.，，
当时，；当时，，
又，，
所以在时，恰有一个零点；
2.，，恰有一个；
3.，，；
，，，
则，，
所以在时，恰有一个零点.
故综上恰有一个零点.
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先对进行一次求导，导函数分母大于0恒成立，但由于无法判断正负性，进一步设分子为并再求一次导，然后再对a进行分类讨论，并依次求出每种情况下的最小值，从而得到的取值范围.
(2)首先根据题意代入，得到表达式，再对的取值进行分类讨论，当时，根据单调递减，得到恰有一个零点；当时，，恒有一个零点；当时，时，，，时，恰有一个零点.
21．（2023高三上·南京期中）已知椭圆的左 右焦点分别为，，满足，且以线段为直径的圆过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）设
以线段为直径的圆过点，所以.
所以
所以
所以
将代入
解得
所以椭圆的标准方程为
（2）当直线的斜率不存在时，
设直线的方程为，
设则①.
又
所以②.
由①②得所以
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为
设点
联立
得，
所以，
所以
所以③.
又
点到直线的距离，
所以
即
解得，
代入③式，得，
综上可知，当的面积为定值1时，是定值.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质；椭圆的应用；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】(1)首先由圆的直径与圆上其他一点，得到线线垂直，进一步得到两直线的向量积为0，从而求出值，再将点代入椭圆方程，化简得到值，最终得到椭圆方程.
（2）首先根据题意讨论直线方程的斜率是否存在：当斜率不存在时，设得直线的方程为，以及点，点坐标，再结合的面积为定值，从而求得值，最后化简得到为定值；当斜率存在时，联立方程组，根据韦达定理，进一步得到表达式，再利用点到直线距离公式与三角形面积，从而得到与的关系式，代入化简得到为定值.
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