北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（B）
一、单选题
1．（2023高二上·丰台期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·丰台期中）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·丰台期中）已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·丰台期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·丰台期中）圆截轴所得弦的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·丰台期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高二上·丰台期中）如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高二上·丰台期中）已知直线：，：，若 ，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2023高二上·丰台期中）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高二上·丰台期中）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023高二上·丰台期中）以为圆心，半径为2的圆的标准方程为 .
12．（2023高二上·丰台期中）已知点，，，则 .
13．（2023高二上·丰台期中）已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为 .
14．（2023高二上·丰台期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 .
15．（2023高二上·丰台期中）在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：
①；
②；
③若为中点，则点到直线的距离为；
④存在点，使得平面．
其中所有正确结论的序号是 .
三、问答题
16．（2023高二上·丰台期中）在中，，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
17．（2023高二上·丰台期中）已知向量，， .
（1）若，求实数的值；
（2）求；
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
18．（2023高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.
（1）求证：//平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
19．（2023高二上·丰台期中）已知圆：.
（1）求圆的圆心坐标以及半径；
（2）求经过点的圆的切线方程；
（3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.
20．（2023高二上·丰台期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求这座圆拱桥的拱圆的方程；
（2）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
21．（2023高二上·丰台期中）如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】根据斜率与倾斜角的关系得：（为倾斜角），则且
所以
故答案为： B
【分析】由题意知斜率，在根据斜率与倾斜角的关系可得答案，注意倾斜角的范围。
2．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】 即，可解得：
则
故答案选择 ：C
【分析】根据向量平行坐标之间的关系，进行运算即可。
3．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】 是点在坐标平面内的射影
根据空间直角坐标系中点在平面内的射影的定义得点B的坐标为：
故答案：A
【分析】根据空间直角坐标系中点在平面内的射影的定义进行解答即可。
4．【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【解答】根据两直线垂直斜率之积为-1，即，设直线l的斜率为k，
因为直线l与直线垂直，所以：，解得：，
又 直线经过点 ，由点斜式得：即：，
故答案选：D.
【分析】根据两直线垂直斜率之积为-1，即，设直线l的斜率为k，求出直线l的斜率k，再利用点斜式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】方法一：由圆的标准方程： 得圆的半径r=2，设圆心为C，则C的坐标为
设圆与x轴的交点为A、B.联立方程：，解得：，则，
方法二：由圆的标准方程：得圆的半径r=2，设圆心为C，则C的坐标为，
圆心到x轴的距离为OC=1，设圆与x轴的交点为A、B，在中，由勾股定理得：，又由垂径定理得：，
故答案选：B.
【分析】方法一：可以联立圆的方程与直线y=0，解出圆与x轴的交点，再用两点间的距离公式求解即可.
方法二：解决圆与直线相交弦问题，首先求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理及垂径定理求解即可.
6．【答案】D
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】联立直线方程：解得交点坐标：，
因为直线和直线的交点在第二象限，所以
，解不等式得：，
故答案选： D
【分析】联立直线方程，解出交点左边，再根据坐标要求求解即可。
7．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的加减法
【解析】【解答】有向量运算的三角形法则有：，
又由平行六面体的性质得：，所以，
故，，
故答案选：C
【分析】利用向量运算的三角形法则及空间向量的线性运算即可求解.
8．【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】直线：，：
，（此时）
又当两条直线平行时，斜率
则解得或者
当时，，故舍去，且当时，符合题意.
故答案选： A
【分析】根据两直线平行时斜率相等，在y轴上的截距b不相等，解题即可.
9．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】A选项中P为，，则，故A选项排除.
B选项中P为（0，3，1），，则，故B选项符合题意.
采用同样的方法，算得C、D选项不符合题意.
故答案选：B
【分析】根据题意知道点P在平面内满足：，在根据空间向量的运算，进行计算即可解出答案.
10．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图：设矩形BCDE的中心为O，由正八面体的性质有：HI、KG、AF两两垂直，故以O为原点，HI为x轴，KG为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
因为正八面体的边长为2，OC=，
则B（1，-1，0）A，F，D（-1，1，0），由中点坐标公式得：
故，
所以， 直线和夹角的余弦值为
故答案选：D
【分析】异面直线所成的角，有两种解决方案，一是通过平移把异面直线平移到同一平面内在运用余弦定理进行解决，二通过空间向量的坐标运算及几何运算解决：，通过观察本题无法简单地将异面直线平移到同一平面内，故考虑建立空间直角坐标系运用空间向量进行解决.
11．【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】把圆心点A，及半径r=2，代入圆的标准方程：
（为圆心）得：
故答案为：
【分析】把圆心坐标及半径代入圆的标准方程中即可.
12．【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】 ，，
则
故答案为：
【分析】根据空间向量的坐标运算的减法进行计算即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】确定直线位置的几何要素；直线的斜率
【解析】【解答】直线经过点，且斜率为
根据点斜式求得直线l的方程为：
又直线：的方向向量为：
则：直线l的方程为：方向向量为：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】先根据已知条件求出直线的标准方程，在根据直线：的方向向量为：求解即可.
14．【答案】3
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据圆上的点到直线的距离最大值为：（为圆心到直线的距离）
圆 的圆心为A（0，0），则点A到 直线 的距离为：
，则当m=0时，有最大值2，则 点到直线的距离.
d的最大值为：3
故答案为：3
【分析】根据圆上的点到直线的距离最大值为：（为圆心到直线的距离），再利用点到直线的距离公式求出的最大值即可.
15．【答案】②④
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】以D为原点，DA为X轴，为z轴，DC为y轴建立空间直角坐标系.
又，，则D(（0，0，0），A（1，0，0）
对于①项
又所以故①错误。
对②项：设点E的坐标为则，
，所以 故②正确.
对③项：由等体积法有：，又E为CD的中点，在中由
勾股定理得：，设点B到直线的距离为h
所以：得，即
解得：，故③正确.
对④ 项：设点E的坐标为，，设平面的法向量为
，则
，令，解得
，则只要， 可 得平面
显然当时，，故存在点，使得平面．．
【分析】①②利用空间向量坐标的运算可以解决④求出平面的法向量为再根据，只要， 可 得平面解出即可判断，③项再利用等体积法求解即可.
16．【答案】（1）因为，，
所以边所在直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以边所在直线的方程为：，
即．
（2）设边上的中点为，则直线即为边上的中线．
因为，，
所以，又因为
所以直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以直线的方程为：，
即．
【知识点】直线的两点式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【分析】（1）利用直线上的两点A和斜率公式求出直线AB的斜率，在点A点入直线的点斜式即可.
（2）首先利用中点公式：A的中点，求出点M，然后同（1）一样求解即可.
17．【答案】（1）∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，
则与，共面，
故存在唯一的实数对，使得，
即，
，
∴，解得，
∴.
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用在结合向量的坐标运算，即可得出答案.
（2）先利用向量坐标运算计算出向量的坐标，再利用模长公式：则进行计算即可.
（3）因为 ，，不能构成空间向量的一个基底 ，所以与，共面，又共面向量的条件是：存在实数对使得，结合向量的坐标运算进行计算即可.
18．【答案】（1）证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）选①：平面平面．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，，
又底面是正方形，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
选②：．
因为，，又底面是正方形
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）要证明 //平面 ，则根据线面平行的判定定理，只需要在平面内找一条直线与PC平行.又 是棱的中点. 故可以考虑利用中位线定理证明线线平行，且底面 底面是正方形 可考虑连结AC、BD相交于F，连结EF，构成中位线，即可证明.
（2）选①平面平面．再结合已知条件可得平面、平面、平面，三个平面两两垂直。
19．【答案】（1）因为圆：，整理得
所以圆心的坐标为，半径．
（2）①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意；
②当切线斜率存在时，设：，
即.
设圆心到切线的距离为，则．
整理可得：，
解得：
所以切线的方程为，即.
综合①②，切线的方程为或.
（3）圆与圆的圆心距为，
设圆的半径为，圆的半径为，
若圆与圆：有公共点，
则，即，
解得，
故．
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】（1）将圆的一般方程，化为圆的标准方程：，其中圆心坐标为，半径为r，即可得出答案；
（2）因为不知道切线的斜率，故分斜率存在与不存在两种情况，进行讨论，、当斜率不存在时，结合（1）知圆的圆心为（-1.0），半径r=3，可得切线的方程为：x=2；当斜率存在时，运用点斜式写出直线的方程：在把方程化为一般方程：，根据圆心到直线的距离等于半径，建立方程即可求解；
（3）根据两个圆有公共点，两圆的关系有两种：内切、相交、或者外切，故可得出圆心距与半径之间的关系：，把半径，和圆心距代入求解即可.
20．【答案】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，
因为该拱圆过，，，
所以，解得．
所以拱圆的一般方程为，
即．
（2）当时，，
得
所以该景区游船可以从桥下通过．
【知识点】圆的标准方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意知道：，，三点在圆上，根据待定系数法设出圆的标准方程：，然后把A、B、C三点的坐标代入求解即可；
（2）根绝题意知道：船从圆心对称通过需要时，船两侧的坐标为（5，3）和（5，-3），通过计算横坐标为5时，圆的纵坐标是否大于3，如果大于3就能通过，否则不行
21．【答案】（1）解：在直三棱柱中，
底面，所以，
又因为，
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，．于是．
所以．
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（2）在侧面中，连接交于点，可知为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
又因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
（3）线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面，证明如下：
设，
因为，，所以，所以
．
由（1）知平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，
解得：，
所以线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面．
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）因为在 直三棱柱中， 故可以考虑建立空间直角坐标系，通过空间向量解决 直线与平面所成角的正弦值，先求出平面的法向量，在根据求出与的夹角余弦值，根据与的夹角与直线与平面所成角互余可得出 直线与平面所成角的正弦值；
（2）利用中位线定理，证明平面，把线到面的距离转化为点到面的距离，接下来利用空间向量的距离公式：进行求解即可；
（3）利用直线与平面平行时，该直线所在方向向量与平面的法向量垂直得到即：则，又Q在线段上，则，表示出Q的坐标，在带入中求解即可.
1 / 1北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（B）
一、单选题
1．（2023高二上·丰台期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】根据斜率与倾斜角的关系得：（为倾斜角），则且
所以
故答案为： B
【分析】由题意知斜率，在根据斜率与倾斜角的关系可得答案，注意倾斜角的范围。
2．（2023高二上·丰台期中）已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】 即，可解得：
则
故答案选择 ：C
【分析】根据向量平行坐标之间的关系，进行运算即可。
3．（2023高二上·丰台期中）已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】 是点在坐标平面内的射影
根据空间直角坐标系中点在平面内的射影的定义得点B的坐标为：
故答案：A
【分析】根据空间直角坐标系中点在平面内的射影的定义进行解答即可。
4．（2023高二上·丰台期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【解答】根据两直线垂直斜率之积为-1，即，设直线l的斜率为k，
因为直线l与直线垂直，所以：，解得：，
又 直线经过点 ，由点斜式得：即：，
故答案选：D.
【分析】根据两直线垂直斜率之积为-1，即，设直线l的斜率为k，求出直线l的斜率k，再利用点斜式求解即可.
5．（2023高二上·丰台期中）圆截轴所得弦的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】方法一：由圆的标准方程： 得圆的半径r=2，设圆心为C，则C的坐标为
设圆与x轴的交点为A、B.联立方程：，解得：，则，
方法二：由圆的标准方程：得圆的半径r=2，设圆心为C，则C的坐标为，
圆心到x轴的距离为OC=1，设圆与x轴的交点为A、B，在中，由勾股定理得：，又由垂径定理得：，
故答案选：B.
【分析】方法一：可以联立圆的方程与直线y=0，解出圆与x轴的交点，再用两点间的距离公式求解即可.
方法二：解决圆与直线相交弦问题，首先求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理及垂径定理求解即可.
6．（2023高二上·丰台期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】联立直线方程：解得交点坐标：，
因为直线和直线的交点在第二象限，所以
，解不等式得：，
故答案选： D
【分析】联立直线方程，解出交点左边，再根据坐标要求求解即可。
7．（2023高二上·丰台期中）如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的加减法
【解析】【解答】有向量运算的三角形法则有：，
又由平行六面体的性质得：，所以，
故，，
故答案选：C
【分析】利用向量运算的三角形法则及空间向量的线性运算即可求解.
8．（2023高二上·丰台期中）已知直线：，：，若 ，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】直线：，：
，（此时）
又当两条直线平行时，斜率
则解得或者
当时，，故舍去，且当时，符合题意.
故答案选： A
【分析】根据两直线平行时斜率相等，在y轴上的截距b不相等，解题即可.
9．（2023高二上·丰台期中）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】A选项中P为，，则，故A选项排除.
B选项中P为（0，3，1），，则，故B选项符合题意.
采用同样的方法，算得C、D选项不符合题意.
故答案选：B
【分析】根据题意知道点P在平面内满足：，在根据空间向量的运算，进行计算即可解出答案.
10．（2023高二上·丰台期中）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图：设矩形BCDE的中心为O，由正八面体的性质有：HI、KG、AF两两垂直，故以O为原点，HI为x轴，KG为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
因为正八面体的边长为2，OC=，
则B（1，-1，0）A，F，D（-1，1，0），由中点坐标公式得：
故，
所以， 直线和夹角的余弦值为
故答案选：D
【分析】异面直线所成的角，有两种解决方案，一是通过平移把异面直线平移到同一平面内在运用余弦定理进行解决，二通过空间向量的坐标运算及几何运算解决：，通过观察本题无法简单地将异面直线平移到同一平面内，故考虑建立空间直角坐标系运用空间向量进行解决.
二、填空题
11．（2023高二上·丰台期中）以为圆心，半径为2的圆的标准方程为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】把圆心点A，及半径r=2，代入圆的标准方程：
（为圆心）得：
故答案为：
【分析】把圆心坐标及半径代入圆的标准方程中即可.
12．（2023高二上·丰台期中）已知点，，，则 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】 ，，
则
故答案为：
【分析】根据空间向量的坐标运算的减法进行计算即可.
13．（2023高二上·丰台期中）已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】确定直线位置的几何要素；直线的斜率
【解析】【解答】直线经过点，且斜率为
根据点斜式求得直线l的方程为：
又直线：的方向向量为：
则：直线l的方程为：方向向量为：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】先根据已知条件求出直线的标准方程，在根据直线：的方向向量为：求解即可.
14．（2023高二上·丰台期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 .
【答案】3
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据圆上的点到直线的距离最大值为：（为圆心到直线的距离）
圆 的圆心为A（0，0），则点A到 直线 的距离为：
，则当m=0时，有最大值2，则 点到直线的距离.
d的最大值为：3
故答案为：3
【分析】根据圆上的点到直线的距离最大值为：（为圆心到直线的距离），再利用点到直线的距离公式求出的最大值即可.
15．（2023高二上·丰台期中）在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：
①；
②；
③若为中点，则点到直线的距离为；
④存在点，使得平面．
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②④
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】以D为原点，DA为X轴，为z轴，DC为y轴建立空间直角坐标系.
又，，则D(（0，0，0），A（1，0，0）
对于①项
又所以故①错误。
对②项：设点E的坐标为则，
，所以 故②正确.
对③项：由等体积法有：，又E为CD的中点，在中由
勾股定理得：，设点B到直线的距离为h
所以：得，即
解得：，故③正确.
对④ 项：设点E的坐标为，，设平面的法向量为
，则
，令，解得
，则只要， 可 得平面
显然当时，，故存在点，使得平面．．
【分析】①②利用空间向量坐标的运算可以解决④求出平面的法向量为再根据，只要， 可 得平面解出即可判断，③项再利用等体积法求解即可.
三、问答题
16．（2023高二上·丰台期中）在中，，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）因为，，
所以边所在直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以边所在直线的方程为：，
即．
（2）设边上的中点为，则直线即为边上的中线．
因为，，
所以，又因为
所以直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以直线的方程为：，
即．
【知识点】直线的两点式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【分析】（1）利用直线上的两点A和斜率公式求出直线AB的斜率，在点A点入直线的点斜式即可.
（2）首先利用中点公式：A的中点，求出点M，然后同（1）一样求解即可.
17．（2023高二上·丰台期中）已知向量，， .
（1）若，求实数的值；
（2）求；
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
【答案】（1）∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，
则与，共面，
故存在唯一的实数对，使得，
即，
，
∴，解得，
∴.
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用在结合向量的坐标运算，即可得出答案.
（2）先利用向量坐标运算计算出向量的坐标，再利用模长公式：则进行计算即可.
（3）因为 ，，不能构成空间向量的一个基底 ，所以与，共面，又共面向量的条件是：存在实数对使得，结合向量的坐标运算进行计算即可.
18．（2023高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.
（1）求证：//平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）选①：平面平面．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，，
又底面是正方形，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
选②：．
因为，，又底面是正方形
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）要证明 //平面 ，则根据线面平行的判定定理，只需要在平面内找一条直线与PC平行.又 是棱的中点. 故可以考虑利用中位线定理证明线线平行，且底面 底面是正方形 可考虑连结AC、BD相交于F，连结EF，构成中位线，即可证明.
（2）选①平面平面．再结合已知条件可得平面、平面、平面，三个平面两两垂直。
19．（2023高二上·丰台期中）已知圆：.
（1）求圆的圆心坐标以及半径；
（2）求经过点的圆的切线方程；
（3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）因为圆：，整理得
所以圆心的坐标为，半径．
（2）①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意；
②当切线斜率存在时，设：，
即.
设圆心到切线的距离为，则．
整理可得：，
解得：
所以切线的方程为，即.
综合①②，切线的方程为或.
（3）圆与圆的圆心距为，
设圆的半径为，圆的半径为，
若圆与圆：有公共点，
则，即，
解得，
故．
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】（1）将圆的一般方程，化为圆的标准方程：，其中圆心坐标为，半径为r，即可得出答案；
（2）因为不知道切线的斜率，故分斜率存在与不存在两种情况，进行讨论，、当斜率不存在时，结合（1）知圆的圆心为（-1.0），半径r=3，可得切线的方程为：x=2；当斜率存在时，运用点斜式写出直线的方程：在把方程化为一般方程：，根据圆心到直线的距离等于半径，建立方程即可求解；
（3）根据两个圆有公共点，两圆的关系有两种：内切、相交、或者外切，故可得出圆心距与半径之间的关系：，把半径，和圆心距代入求解即可.
20．（2023高二上·丰台期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求这座圆拱桥的拱圆的方程；
（2）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
【答案】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，
因为该拱圆过，，，
所以，解得．
所以拱圆的一般方程为，
即．
（2）当时，，
得
所以该景区游船可以从桥下通过．
【知识点】圆的标准方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意知道：，，三点在圆上，根据待定系数法设出圆的标准方程：，然后把A、B、C三点的坐标代入求解即可；
（2）根绝题意知道：船从圆心对称通过需要时，船两侧的坐标为（5，3）和（5，-3），通过计算横坐标为5时，圆的纵坐标是否大于3，如果大于3就能通过，否则不行
21．（2023高二上·丰台期中）如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：在直三棱柱中，
底面，所以，
又因为，
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，．于是．
所以．
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（2）在侧面中，连接交于点，可知为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
又因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
（3）线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面，证明如下：
设，
因为，，所以，所以
．
由（1）知平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，
解得：，
所以线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面．
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）因为在 直三棱柱中， 故可以考虑建立空间直角坐标系，通过空间向量解决 直线与平面所成角的正弦值，先求出平面的法向量，在根据求出与的夹角余弦值，根据与的夹角与直线与平面所成角互余可得出 直线与平面所成角的正弦值；
（2）利用中位线定理，证明平面，把线到面的距离转化为点到面的距离，接下来利用空间向量的距离公式：进行求解即可；
（3）利用直线与平面平行时，该直线所在方向向量与平面的法向量垂直得到即：则，又Q在线段上，则，表示出Q的坐标，在带入中求解即可.
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