福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考联考高二试卷理科数学
文档属性
| 名称 | 福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考联考高二试卷理科数学 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 276.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-05-13 21:14:48 | ||
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文档简介
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宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试
高二理科数学试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
命题人：金新雄 张沪博 黄传杰 刘荣坤
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷 （非选择题）
第I卷（选择题 共60分）
一．选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复平面上表示复数 (为虚数单位)的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.
A． B． 0 C． D．1
3．已知函数,则其在点处的切线的斜率是
A． 1 B． 2 C． D．
4．一个物体的运动方程为，则它在时的速度为
A． B． C． D．
5. 用反证法证明命题：“若则”时，反设正确的是
A． B． C． D．
6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A． B． C． D．
7. 若在上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.下面使用类比推理正确的是
A．若直线,则．类比推出：若向量，则
B．．类比推出：
C．已知，若方程有实数根，则．类比推出：已知，若方程有实数根，则
D．长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．
9.已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中, 的图象可能是
A ． B． C． D．
10. 设点在直线上,点在曲线上,则最小值为
A． B． C． D．
11. 已知，现有下列不等式：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
12. 已知定义在上的函数,在处的切线斜率均为.有以下命题:①是奇函数;②若在内递减,则的最大值为4；③若方程有三个根，则的取值范围是；④若对恒成立,则k的最大值为. 其中正确命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷 （非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13.已知复数 (为虚数单位)为纯虚数，则实数= .
14. 已知函数，则= .
15. .
16.已知. 有个同学用以下方法求，
令,得；由，令,得，
由，令,得，
依此类推，我们可得 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知复数，若.
（I）求；
（II）求实数的值.
18．（本小题满分12分）
已知数列，，，．
（I）求，，的值；
（II）猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
19.（本小题满分12分）
已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）求的极值.
20. （本小题满分12分）
函数的图象在点处的切线方程为.
（I）求，的值；
（II），若时，，且存在使得，求复数在复平面上对应的点构成的区域面积.
21. （本小题满分12分）
宁德至福州铁路里程约为，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度（米/分钟）关于时间（分钟）满足函数关系：，且，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶至终点（福州站）.
（I）求：前2分钟速度的函数关系式；
（II）求动车运行过程中速度的最大值.
22. （本小题满分14分）
设，
（I）
（i）求的表达式；
（ii）令,证明：函数恰有一个零点；
（II）求证：
宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试
高二理科数学试卷参考答案
一．选择题
1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.D 9.B 10.A 11.C 12.B
二．填空题
13. 14. 0 15. 16.
三．解答题
17.解：（I）. ………………………4分
所以 ……………………………6分
（II）把代入，
即，
得. ……………………………9分
所以，解得. ……………………………11分
所以实数的值分别为，. ……………………………12分
18. 解：（I），且
， ，
； ………………………………6分
（II）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明.
①当时，，满足要求，猜想成立； …………………8分
②假设时，猜想成立，即, ………………8分
那么当时，
，
这就表明当时，猜想成立， ………………………………11分
根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即.………12分
19.解（I）当时，，定义域为， …………………………1分
由，可解得， …………………………3分
，可解得 …………………………4分
所以函数的单调递减区间为；单调递增区间； ……………………5分
（II）由可得，， ……………………6分
当时，当时恒成立；
此时，函数在上单调递增，所以无极值. ……………………8分
当时，令可得； ……………………9分
当时，，当时， ……………………10分
所以是函数的极小值点，极小值为； ……………………11分
综上所述，当时函数无极值. 当时函数有极小值，无极大值. ……………………12分
（注:要指明函数无极大值，否则扣1分）
20.解（I），，
依题意，， ……………4分
（II）由（I）可得，，令解得，（舍去）， ……………6分
当变化时，，的变化如下表：
1
+
↘ 极小值 ↗ 3
由上表可得，， ……………8分
所以.所以在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，为半径的圆的外部，为半径的圆的内部（包括圆周），所以所求的区域面积为 ……………………12分
21.解:（I） ……………………1分
又,
, ……………3分
前2分钟运行的路程为. ……………5分
依题意得:
即,解得
……………8分
（II）
在上为增函数, 当时,.
动车在行使过程中的最大速度为. ……………12分
22.解：（I）（i）
， 解得. …………3分
……………4分
（ii）由（i）知
所以 …………5分
设，则令可得.
当时，当时，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以时，有极小值，也就是最小值为0，
所以
所以，故是上的增函数.
又，所以有一个零点. ……………7分
假设不只一个零点，不妨设有两个零点，分别为且.
则，从而，
又是上的增函数，且，所以
这与相矛盾，所以假设不成立，
所以只有一个零点. ……………9分
（II）证明：由（I）得，当时，有，
当且仅当时取等号，
因此，，，，。
……………10分
……………12分
，
故 ……………14分
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宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试
高二理科数学试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
命题人：金新雄 张沪博 黄传杰 刘荣坤
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷 （非选择题）
第I卷（选择题 共60分）
一．选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复平面上表示复数 (为虚数单位)的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.
A． B． 0 C． D．1
3．已知函数,则其在点处的切线的斜率是
A． 1 B． 2 C． D．
4．一个物体的运动方程为，则它在时的速度为
A． B． C． D．
5. 用反证法证明命题：“若则”时，反设正确的是
A． B． C． D．
6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A． B． C． D．
7. 若在上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.下面使用类比推理正确的是
A．若直线,则．类比推出：若向量，则
B．．类比推出：
C．已知，若方程有实数根，则．类比推出：已知，若方程有实数根，则
D．长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．
9.已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中, 的图象可能是
A ． B． C． D．
10. 设点在直线上,点在曲线上,则最小值为
A． B． C． D．
11. 已知，现有下列不等式：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
12. 已知定义在上的函数,在处的切线斜率均为.有以下命题:①是奇函数;②若在内递减,则的最大值为4；③若方程有三个根，则的取值范围是；④若对恒成立,则k的最大值为. 其中正确命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷 （非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13.已知复数 (为虚数单位)为纯虚数，则实数= .
14. 已知函数，则= .
15. .
16.已知. 有个同学用以下方法求，
令,得；由，令,得，
由，令,得，
依此类推，我们可得 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知复数，若.
（I）求；
（II）求实数的值.
18．（本小题满分12分）
已知数列，，，．
（I）求，，的值；
（II）猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
19.（本小题满分12分）
已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）求的极值.
20. （本小题满分12分）
函数的图象在点处的切线方程为.
（I）求，的值；
（II），若时，，且存在使得，求复数在复平面上对应的点构成的区域面积.
21. （本小题满分12分）
宁德至福州铁路里程约为，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度（米/分钟）关于时间（分钟）满足函数关系：，且，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶至终点（福州站）.
（I）求：前2分钟速度的函数关系式；
（II）求动车运行过程中速度的最大值.
22. （本小题满分14分）
设，
（I）
（i）求的表达式；
（ii）令,证明：函数恰有一个零点；
（II）求证：
宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试
高二理科数学试卷参考答案
一．选择题
1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.D 9.B 10.A 11.C 12.B
二．填空题
13. 14. 0 15. 16.
三．解答题
17.解：（I）. ………………………4分
所以 ……………………………6分
（II）把代入，
即，
得. ……………………………9分
所以，解得. ……………………………11分
所以实数的值分别为，. ……………………………12分
18. 解：（I），且
， ，
； ………………………………6分
（II）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明.
①当时，，满足要求，猜想成立； …………………8分
②假设时，猜想成立，即, ………………8分
那么当时，
，
这就表明当时，猜想成立， ………………………………11分
根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即.………12分
19.解（I）当时，，定义域为， …………………………1分
由，可解得， …………………………3分
，可解得 …………………………4分
所以函数的单调递减区间为；单调递增区间； ……………………5分
（II）由可得，， ……………………6分
当时，当时恒成立；
此时，函数在上单调递增，所以无极值. ……………………8分
当时，令可得； ……………………9分
当时，，当时， ……………………10分
所以是函数的极小值点，极小值为； ……………………11分
综上所述，当时函数无极值. 当时函数有极小值，无极大值. ……………………12分
（注:要指明函数无极大值，否则扣1分）
20.解（I），，
依题意，， ……………4分
（II）由（I）可得，，令解得，（舍去）， ……………6分
当变化时，，的变化如下表：
1
+
↘ 极小值 ↗ 3
由上表可得，， ……………8分
所以.所以在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，为半径的圆的外部，为半径的圆的内部（包括圆周），所以所求的区域面积为 ……………………12分
21.解:（I） ……………………1分
又,
, ……………3分
前2分钟运行的路程为. ……………5分
依题意得:
即,解得
……………8分
（II）
在上为增函数, 当时,.
动车在行使过程中的最大速度为. ……………12分
22.解：（I）（i）
， 解得. …………3分
……………4分
（ii）由（i）知
所以 …………5分
设，则令可得.
当时，当时，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以时，有极小值，也就是最小值为0，
所以
所以，故是上的增函数.
又，所以有一个零点. ……………7分
假设不只一个零点，不妨设有两个零点，分别为且.
则，从而，
又是上的增函数，且，所以
这与相矛盾，所以假设不成立，
所以只有一个零点. ……………9分
（II）证明：由（I）得，当时，有，
当且仅当时取等号，
因此，，，，。
……………10分
……………12分
，
故 ……………14分
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