福建省漳州市华安县2023-2024学年高二上学期12月第二次月考数学试题（含答案）

华安县2023-2024学年高二上学期12月第二次月考
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
3.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
4. 在等差数列中，，则的值为（ ）
A. B. 33 C. 22 D. 11
5. 若双曲线经过点，且一渐近线方程是，则这条双曲线的虚轴长（ ）
A. 2 B.4 C. 6 D.8
6. 已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，且是正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
7．过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A． B． C． D．
8. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点p的轨迹为,是圆：上的动点．则的最小值为（ ）
A. B. C. 27 D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为10
10. 已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知点P为圆上的动点，直线l过点，过l上一点Q作圆O的切线QC，QD，切点分别为C，D，则下列说法正确的有( )
A. 当∠PAB最大时，
B. 点P到l的距离的最大值为
C. 四边形CQDO的面积的最小值为9
D. 四边形CQDO的面积最小时，直线OQ的方程为
12. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，B，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 若，则
C. 若，则的斜率为
D. 过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正项等比数列满足，，其公比q=
14.过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程为 .(结果化成一般式)
15. 若是双曲线的两个焦点,P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则
16.已知双曲线a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分
别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形是等
边三角形，则双曲线离心率为 ，若△AOB的面积为，则p＝　　 ．
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题10分)已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．
（1）求抛物线方程；
（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．
18.(本题12分)已知直线l：与圆C：相切.
(1)求实数a的值；
(2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程.
19.(本题12分)记为数列的前项和，为数列的前项和，若，
且
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若成立，求的最小值.
20.(本题12分)已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标.
21.(本题12分)已知圆，圆，动圆P与圆内切，
与圆外切，动圆圆心P的运动轨迹记为C；
(1)求C方程；
(2)若，直线过圆的圆心且与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．
22.(本题12分)已知椭圆经过点，且离心率为，过椭圆右焦点为，的直线与E交于两点，点的坐标为.
(1)求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，证明：
华安县2023-2024学年高二上学期12月第二次月考
数学参考答案
1-5CBADC 6-8 BAD 9.BD 10. BCD 11.BC 12.BCD
13.2. 14. 15.32 16.2
17.解：（1）∵焦点坐标为∴，，
∴抛物线的方程为．...................5分
（2）设直线方程为，设，，
联立消元得，∴，，，∴．
∴线段的值为．...................10分
（1）将圆C：化为标准方程，
得，故圆心，半径为.
因为直线l：与圆C相切，所以，
解得，所以圆C的标准方程为....................5分
设圆心C到直线m的距离为d.
则，所以，解得.
故，解得或...................11分
所以直线m的方程为或..................12分
（1）由，即，而
所以是以3为首项，3为公比的等比数列.................5分
(2)由（1）知，即
，
由可得，整理可得，解得，
因为，所以的最小值为5．.................12分
20（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，
可得，解得，则抛物线方程为．................4分
因为直线与抛物线相交于不同的、两点，
所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，
设，，∴，．
由
，解得，
∴过定点．.................12分
（1）设动圆P的半径为，
∵动圆P与圆内切，与圆外切，
∴，且.
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．
(2)设，，
联立方程组整理得，
则，，．
因为过点，所以
．令，，，在上单调递增，则当时，，则的最大值为3．
故面积的最大值为3．........12分
22.解：（1）由题意知，
又因为解得．所以椭圆方程为．.......4分
当与轴重合时，.
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，则，直线、的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以，
则.
从而，故、的倾斜角互补，所以.
综上，.......12分