2023-2024学年沪科版（2012）八年级上册第十四章轴对称图形和等腰三角形单元测试卷(含解析)

2023-2024学年 沪科版（2012）八年级上册 第十四章 轴对称图形和等腰三角形 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．下列图中，是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，在中，，为的角平分线，与相交点，若，，则的面积是（ ）.
A．32 B．30 C．60 D．45
4．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F，在上截取，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
7．如图，是等边三角形，，且，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，点在内部，且，点在边上，且，，连接并延长交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在中，的垂直平分线交于点，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知点关于轴的对称点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ．
12．如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值 ．
13．如图，是等腰三角形，，延长至点D，使得，在上取一点E，使得，连接，此时，则的度数为 ．
14．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则 .
15．如图，在第一个中，，，在AB上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则第2024个三角形中，以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为 ．
16．如图，在中，，，于点D，若点P是高上一动点，点E是边上一动点，连接，则的最小值是 ．
评卷人得分
三、证明题
17．如图，已知点到的两边、的距离相等，且．
(1)如图①，若点在上，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在内部，求证：；
18．如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，且，求的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键．
【详解】解：如图，

∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
以此类推：．
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，三角形的面积的计算，如图，过作于，利用角平分线的性质求解，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过作于，如图所示：
，为的角平分线，
∴．
故选：B．
4．B
【分析】证明，得到，从而证明是等边三角形，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质及等腰三角形性质，熟练掌握外角和定理及全等三角形的判定是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了垂直平分线，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据作图可得是的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线，
，
，
，
，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识．由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三角形的性质可得，由垂线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理结合等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的判定定理判断①；根据邻补角的定义求出，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解判断②③；在上截取，连接，根据等边三角形的性质推出，根据角的和差求出，证明，根据全等三角形的性质及线段和差求解即可判断④；熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理是解此题的关键．
【详解】解：，
∴点在的垂直平分线上，
，
∴点在的垂直平分线上，
垂直平分，
的延长线交于点，
，故①符合题意；
，
，
，
，
，
，故②符合题意；
，故③符合题意；
如图，在上截取，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故④符合题意；
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质；根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角性质，即可求解．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，那
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称；
根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质；根据等边对等角得出，则可得出的度数，并且和度数相等，同理依次求得为顶点的角的度数，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
∴
故答案为：．
12．8
【分析】此题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点B，故的长为的最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点D是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点B，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：8．
13．/72度
【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质及角的和差推出，即，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．/度
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用；根据题意可得平分，平分，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】，，，且，
平分，平分
∴，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，本题根据题意得出，的度数，再总结规律是解答本题的关键．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴；
同理可得，
∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为，
∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为．
故答案为：．
16．4
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积公式．根据等腰三角形的性质，得到点B与点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接,
∵，于点D，
∴点B，点C关于直线对称，
∴
∴当点C、P、E三点共线时，最小
当时，最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；熟练的判定三角形是等腰三角形是解本题的关键.
（1）先利用斜边直角边定理证明和全等，根据全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边的性质即可得到；
（2）先证明和全等，得到，又因为，得到，利用等式的性质得到，即可得到．
【详解】（1）证明：如图所示，过点作垂足分别为；
依题意，，
在和中
，
)，
，
，
是等腰三角形；
（2）如图所示，过点作垂足分别为；
依题意，，
在和中，
，
)，
，
又，
，
，即，
．
18．(1)
(2)见解析
(3)的面积为15
【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键．
（1）利用平角的定义，直角三角形的锐角互余，计算即可．
（2）利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可．
（3）设，利用，求出，从而求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
∵平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如上图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴的面积为．
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