2023-2024学年沪科版（2012）八年级下册第十八章勾股定理单元测试卷(含解析)

2023-2024学年 沪科版（2012）八年级下册 第十八章 勾股定理 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接，若正方形的面积为10，，则小正方形的面积为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2．如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（ ）
A．2 B． C． D．1
4．如图，露在水面上的鱼线长为.钓鱼者想看看鱼钧上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，试问的鱼竿有多长 设长，则下所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．有一题目：“在中，，，，求．”嘉嘉的解答为：画，截取，，过点作于，如图，由于，易得，在中，，由勾股定理可得，得，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）

A．淇淇说的不对，就得
B．嘉嘉的结果不对，不是
C．淇淇说的对，的另一个值是
D．两人都不对，应有个不同值
6．如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，b，c为的三边，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，的平分线与邻补角的平分线相交于点，平分于点，，，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，过点A作交于点D，过点D作交于点E，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．已知、、是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
评卷人得分
二、填空题
11．已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，在坐标轴上有一个点C（不与原点O重合），使得是直角三角形，那么点C的坐标为 ．
12．在平面直角坐标系标中，已知一次函数和直线的图象与y轴分别相交于点A和点B，两条直线相交于点P，当是以为腰的等腰三角形时，k的值为 ．
13．如图，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则 ．
14．如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
15．如图，在四边形中，，垂足为O，若，，则 ．
16．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交边于点，连接．若，，则的长为 ．
评卷人得分
三、证明题
17．如图，在中，过点B作交的延长线于点D，过点C作交的延长线于点E，延长相交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
评卷人得分
四、问答题
18．如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的处，折痕为．已知，．
(1)判断的形状，并说明你的结论；
(2)若，，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据，，得到，利用勾股定理求出，即可．
【详解】解：∵正方形的面积为10，
∴，
∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴小正方形的面积为；
故选：A．
2．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键．
【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线，
展开后由勾股定理得：，
∴，即有：，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，设，则，由折叠性质可知，， ，求出，，在中，，即，即可求解．
【详解】解：设，则，
由折叠性质可知，， ，
在中，，，
，
，
在中，，
即，
解得．
故选：C．
4．A
【分析】题目主要考查勾股定理的应用，是解题关键．利用钓鱼竿长度不变列出方程即可．
【详解】解：设长，则，
在中，，
在中，，
，
，
即．
故选A．
5．C
【分析】本题考查角的直角三角形，勾股定理，等边对等角，按①当为钝角和②当为锐角两种情况进行讨论即可．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
①当为钝角时，按嘉嘉的解答即可；
②当为锐角时，
如图，过点作，交的延长线于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或，
∴淇淇说的对，的另一个值是．
故选：C．

6．D
【分析】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．先过作，连结，根据，，求出的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可求出的值．
【详解】如图，过作，连结，
，，
．
，
根据勾股定理得：．
由垂径定理得：．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、C选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、D选项．
【详解】解：A、，且，
，故为直角三角形，本选项不符合题意；
B、，
故为直角三角形，本选项不符合题意；
C、，
，故不能判定是直角三角形，本选项符合题意；
D、，
，故为直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】延长交于F，过点E作于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用""证明得到设，则，，在和中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到的长．
【详解】解：延长交于F，过点E作于H，如图：
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴，
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∵ BD平分
∴
∵，
∴
∴
设，则，
∴
解得：
∴
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
9．B
【分析】作于H，由，得到，求出，得到，因此，求出的长，即可得到的长，从而求出的长．
本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
故选：B．
10．B
【分析】根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得，，，从而可得，，，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
11．或或
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理．根据题意正确的分情况讨论是解题的关键．
当时，，即，当时，，即，由题意知，是直角三角形分，，三种情况，利用勾股定理计算求解即可．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
∴，
由题意知，是直角三角形分，，三种情况求解；
①当时，与重合，如图，即；
②当时，如图，设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴；
③当时，如图，设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴；
综上所述，点C的坐标为或或，
故答案为：或或．
12．或或0
【分析】先求出、，从而求得长度，根据两条直线相交于点P，设，把代入，从而求得，即可求得，，然后分两种种情况：①当时，②当时，分别求出k值即可．
【详解】解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∵两条直线相交于点P，
∴设，
把代入，得，(，否则两直线平行)
∴，
∴，
∴，，
分三种情况：①当时，
∴，
解得：，；
②当时，
∴，
解得：，
综上，k的值为或或0．
故答案为：或或0．
【点睛】本题考查两直线的交点问题，一次函数图象性质，等腰三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理．对于动点问题，应该进行分类讨论，以防漏解或错解．
13．
【分析】本题考查了勾股定理，由作法可得：，由勾股定理计算出，则，再计算出，即可得到答案，熟练掌握勾股定理，计算出是解此题的关键．
【详解】解：由作法得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点的运动路线，并确定最小时点所在位置，再求出的长度即可．确定点的运动路线是解题的关键．
【详解】解：∵沿折叠，得到，
∴，
∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，
设以B为圆心6为半径的圆与交于点，
则，的最小值为的长；
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
15．3
【分析】本题主要考查了勾股定理．由可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】，
，
，，，，
．
，
，
，
故答案为：3．
16．
【分析】根据是的垂直平分线，可以得到，，利用余角性质可以得到，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长；
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即：
在中，，
故答案为：
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，余角的性质，勾股定理，掌握垂直平分线的尺规作图的方法及垂直平分线的性质，利用余角性质得到相等的角进而得到等腰三角形是解决本题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理列方程解决问题．
（1）由，证明，根据即可证明；
（2）由，得，利用勾股定理求出的长，然后利用列方程即可解得答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
解得．
∴的长为．
18．(1)是直角三角形，理由见解析；
(2)．
【分析】()是直角三角形．由易得，再根据等腰三角形的性质以及折叠的性质可得，得到，即可求证；
()设，则，由折叠的性质可得，，结合()，在中，利用勾股定理求解即可获得答案；
本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）是直角三角形．
证明：∵，
∴，
由折叠可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）∵，，
∴
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
解得，
即．
答案第1页，共2页
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