2023-2024学年沪科版（2012）九年级上册第二十一章二次函数与反比例函数单元测试卷(含解析)

2023-2024学年 沪科版（2012）九年级上册 第二十一章 二次函数与反比例函数 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，反比例函数与正比例函数相交于点和点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，）的图象上，轴，垂足为，连接，的是面积为6，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．已知点和点是双曲线上的两个点，如果，那么与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
5．如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（ ）

A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ）
A． B． C． D．
7．在反比例函数为常数）上有三点，，，，，若，则，，的大小关系为( )
A． B． C． D．
8．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
9．下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长
10．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转．、分别与边、交于E、F两点．下列结论：①；②；③；④AD与EF可能互相平分．其中，正确的结论是 ．（填序号）
12．如图为二次函数的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为．下列说法：①；②；③方程的根为，；④．正确的是
13．若点，都在抛物线上，则a与b的大小关系为：a b．（填“>”“<”或“＝”）
14．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
15．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为3，则的值为
16．已知点在双曲线上，过点向轴作垂线，垂足为．如果，那么 ．
评卷人得分
三、问答题
17．商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：
(1)当每件商品售价定为元时，每天可销售y件商品，商场获得的日盈利是w元，请分别写出y关于x的函数关系式及w关于x的函数关系式；
(2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的售价定为多少元，商场日盈利最大，最大利润为多少？
18．水平方向抛出一个有弹性的小球，小球的运动路线是抛物线，触地后，小球会弹起，每次弹起的高度都是之前下落高度的，且水平方向飞行的距离也是原来的，这样到达最高点后又继续下落，下落的飞行轨迹与刚才弹起的飞行轨迹是对称的，如此下去，小球会划出一道优美的“波浪线”．如图是小球的一部分飞行路线，小球第一次下落的抛物线解析式为，落到水平地面上的处，第一次反弹到最高点处，然后下落到更低的地面上的处（两处地面落差），然后又弹起到最高点处．
(1)求小球第一次下落的水平飞行距离；
(2)求点的坐标；
(3)直接写出与的高度差．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向上的二次函数，离对称轴越远，函数值越大，只需要比较出A、B、C三点离对称轴距离的大小即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，，为二次函数图象上的三点，，
∴．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数图像交点问题，根据反比例函数与正比例函数相交于点，得到反比例函数与正比例函数的解析式，再联立方程组求解，即可得到点坐标．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数相交于点，
∴点在反比例函数与正比例函数图像上，满足函数解析式，
∴将代入到，得到；
同理将代入到，得到，
联立方程组
解得，，．
故选：A
3．D
【分析】本题主要考查了的几何意义，用表示三角形的面积是本题的解题关键．
【详解】解：的面积为，
．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，由于点不一定在同一象限，所以无法判断出的大小．
【详解】∵，
∴双曲线在第二、四象限，
①当时，；
②当时，；
③当时，；
综上，无法判断出的大小，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数综合问题；根据，有，可设点、的坐标为，代入解析式，即可解得答案．
【详解】解：，则是等腰直角三角形
，
可设点、的坐标为，
把代入，得
即，
，
，即．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，根据它们的坐标特征判断即可．
【详解】解：A、抛物线经过点，故符合题意；
B、双曲线不经过点，故不符合题意；
C、抛物线不经过点，故不符合题意；
D、直线不经过点，故不符合题意；
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
【详解】解：，
．
反比例函数为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，随着的增大而减小；在第三象限内，随着的增大而减小．
，
，，即．
故选：A
8．A
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了函数的图象和函数关系式，理解题意是解题的关键．根据每个选项的意义，找出它们之间的函数关系，逐一判断．
【详解】解：A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程是行驶时间的一次函数，图象应该是线段，故A不符合题意；
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，故B不符合题意；
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径成二次函数关系，开口向上，故C不符合题意；
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长成二次函数关系，开口向下，故D符合题意；
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为：，图象与x轴的一个交点坐标是，
∴根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点是，
∴关于x的一元二次方程的两个实数根是：，，
故选：A．
11．①②④
【分析】先由证明，得出，再由勾股定理即可得出，从而判断①；设，，先由三角形的面积公式得出，，再根据二次函数的性质即可判断②；由勾股定理得到的表达式，利用二次函数性质求得最小值为，而，所以，从而③错误；如果四边形为平行四边形，则与互相平分，此时，，又为中点，所以当、分别为、的中点时，与互相平分，从而判断④．
【详解】解：中，，点为中点，
，，
，
，
．
在与中，
，
，
，
在中，．
故①正确；
设，，则．
，
当时，有最大值，
又，
．
故②正确；
，
当时，取得最小值，
（等号当且仅当时成立），
而，
．
故③错误；
当、分别为、的中点时，
∵，点D为的中点，
∴，
∵、分别为、的中点
∴，，
∴
∴四边形为正方形，此时与互相平分．
故④正确．
综上所述，正确的有：①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．
12．①③④
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号；②将代入函数关系式，结合图象判定y的符号；③根据二次函数图象与x轴的交点解答；④利用二次函数图象与x轴的交点可得，再由，可作出判断．
【详解】解：观察函数图象得：抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
根据抛物线的图象得：该抛物线的对称轴是直线，
∴当时，，
即；故②错误；
③∵的图象与x轴的交点坐标分别为，
∴方程的根为，，故③正确；
∵的图象与x轴的交点坐标分别为，
∴，
∴，
观察图象得：，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
13．
【分析】本题考查的是比较二次函数的函数值的大小，选择合适的方法比较函数值的大小是解本题的关键，本题把点的坐标代入函数解析式先计算，再比较即可．
【详解】解：把点，代入，
∴，，
∴，
故答案为：
14．2
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：根据题意得，
三角形面积为：
∴当时，的面积最大为，
故答案为：2．
15．3
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义、与中线有关的三角形的面积，熟记反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．连接，先求出，再根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
是线段的中点，的面积为3，
，
由反比例函数的图象可知，，
在反比例函数的图象，
，
解得，
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数的的几何意义即可直接求解．
【详解】当在第一象限或第三象限时，，
当在第二象限或第四象限时，．
故答案是：．
17．(1)；
(2)每件商品的销售价定为160元，商场日盈利最大，最大利润为1600元
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和掌握二次函数的性质．
（1）根据每天可销售=涨价前每天可销售量-涨价减小的销售量，总利润单件利润销售数量，列出函数解析式即可；
（2）根据日盈利每件利润销售数量列出函数关系式，根据函数的性质求最值．
【详解】（1）解：由题意，得
即，
∴
即
（2）解：∵，
，
当时，有最大值，最大值为1600，
每件商品的销售价定为160元，商场日盈利最大，最大利润为1600元．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据二次函数与轴的交点得出点坐标，即可得到答案．
（2）求出第二次弹起的高度以及水平距离，根据函数图形的性质即可求出答案；
（3）求出的垂直距离即可得到答案．
【详解】（1）解：，
当时，，
解得，
；
（2）解：每次弹起的高度都是之前下落高度的，且水平方向飞行的距离也是原来的，
第一次弹起的高度为，水平距离
故第二次弹起的高度为，水平距离，
故第二次函数图像解析式为
时，
解得或，
故；
（3）解：由题意知第三次下落的高度为，
故第三次弹起的高度为，
故点的垂直距离为，
故与的高度差为．
答案第1页，共2页
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