建平县2023-2024学年高二上学期12月月考数学
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 复数,则( )
A. B. C. D.
2. 如图,在四棱锥中,四边形是平行四边形,是棱的中点,且,则( )
A. B.
C. D.
3. 平面直角坐标系中点满足,则点的轨迹为( )
A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 不存在
4. 若抛物线的准线经过椭圆的右焦点,则的值为( )
A. B. C. D.
5. 若直线与相离,则点与圆的位置关系为( )
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定
6. 若直线与直线平行,则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 已知双曲线(,)的一条渐近线与直线垂直,以的右焦点为圆心的圆与它的渐近线相切,则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
8. 已知,是圆上的点,点在双曲线的右支上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 已知椭圆的左焦点为,点是上任意一点,则的值可能是( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线,则( )
A. 的焦距为 B. 的虚轴长为
C. 上任意一点到的两条渐近线的距离之积为定值 D. 过点与有且只有一个公共点的直线共有条
11. 已知椭圆的左 右焦点分别为,为椭圆上不同于左右顶点的任意一点,则下列说法正确的是( )
A. 的周长为 B. 面积的最大值为
C. 取值范围为 D. 的取值范围为
12. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和,其定义如下:在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离,则下列结论正确的是( )
A. 若点,则
B. 若点,则在轴上存在点,使得
C. 若点,点在直线上,则的最小值是
D. 若点在圆上,点在直线上,则的值可能是
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 已知,则__________.
14. 已知是抛物线:的焦点,是上的一点,若,则的纵坐标为__________.
15. 双曲线的弦被点平分,则直线的方程为__________.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别是,,过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,若满足,则椭圆的离心率为__________.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 已知的内角,,所对的边分别为,,,且满足.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
18. 在直角中,是直角,顶点,的坐标分别为,,圆是的外接圆.
(1)求圆的方程;
(2)求过点且与圆相切的直线的方程.
19. 如图,三棱柱中,侧面为矩形,且为的中点,.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
20. 已知拋物线的顶点在原点,对称轴为轴,且经过点.
(1)求抛物线方程;
(2)若直线与抛物线交于两点,且满足,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.
21. 已知双曲线的离心率为,双曲线的左 右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过点的直线交双曲线于两点,且以为直径的圆过原点,求弦长.
22. 已知焦距为的椭圆,,分别为其左右焦点,过点的直线与椭圆交于两点,的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆交于两点且满足,求四边形面积的最小值.建平县2023-2024学年高二上学期12月月考数学答案和解析
1-8：CAAAA BDC 9.BC 10.AC 11.BCD 12.ACD
第13题： 【答案】
【解析】因为, 所以,
故答案为:
第14题： 【答案】
【解析】由题意可知:,准线为,设的纵坐标为,
由题意可知:,解得,所以的纵坐标为.故答案为:.
第15题： 【答案】
【解析】当直线斜率不存在时,方程为,根据双曲线的对称性,不能平分弦,故不满足题意;
当直线斜率存在时,设方程为,,,
所以,联立方程得,
所以,,,
因为弦被点平分,所以, 所以,解得,
此时联立后的方程为,满足,
所以,直线的方程为,即,
故答案为:.
第16题： 【答案】
【解析】根据题意,设直线方程为,,,
由,消得到,
易知,由韦达定理得,,
又因为,所以,得到,
将代入,得到,
将代入,得到,
又,所以,得到,故答案为:.
第17题： 【答案】见解析
【解析】(1)由正弦定理得,
整理得,∴,
由,∴;
(2)①,又②,由①②得,,
∴.
第18题：
【答案】见解析
【解析】(1)∵在直角中,是直角,
顶点,的坐标分别为,,
∴是直径,则的中点,即圆心,
半径,
则圆的方程为.
(2)∵,∴点在圆外,
当切线斜率不存在时,此时切线方程为,
到圆心的距离.此时满足直线和圆相切,
当直线斜率存在时,设为,则切线方程为,
即,
则圆心到直线的距离,
即,平方得,即,
则,此时切线方程为,
综上求过点且与圆相切的直线的方程为或.
第19题：
【答案】见解析
【解析】(1)连接与交于点,连接,
为三棱柱,为平行四边形,点为的中点,
又为的中点,则,
又平面平面,平面.
(2)解法1:
,面,
面,,
,
,,即,
以为坐标原点,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
为的中点
,
,
面,则平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,则,即,
令,
设平面与平面的夹角为,
,
平面与平面的夹角的余弦值是.
解法2:设点为的中点,点为的中点,
连接交于点,连接,
设点为的中点,连接,
点为的中点,点为的中点,
且,点为的中点,
为矩形,,
又平面,,
在中,,可得,
为等腰直角三角形,其中,
而点为的中点,且,
点为的中点,点为的中点,
且,,
又在中,,点为的中点,,
在中,,且点为的中点,
且,
即为平面与平面的夹角,
在中,,
.
平面与平面的夹角的余弦值是.
第20题：
【答案】见解析
【解析】(1)由题可知,拋物线的开口向右,
设拋物线方程为,
因为经过点,
所以,解得
所以,抛物线的标准方程为:.
(2)如图,
设直线的方程为:,
联立方程
消有:
由于交于两点,设,
则,即,
,
由.
则.
解得:,验证满足条件.
所以直线的方程为,
即证直线恒过定点.
第21题：
【答案】见解析;
【解析】(1)由双曲线的定义可得,解得:.
因为双曲线的离心率为,所以,解得.
因为,所以.
故双曲线的标准方程为.
(2)当直线的斜率为时,此时两点为双曲线的顶点,故以为直径的圆不过原点,不合题意,舍去;直线的斜率不为,则设直线,
联立,整理得,
则,
故.
因为以为直径的圆过原点,所以,所以
所以,即,
化简整理得,即,
则,
故.
第22题：
【答案】见解析
【解析】(1)设
因为过点的直线与椭圆交于两点,的周长为
所以则有,所以
所以
所以的方程为
(2)
斜率不存在时.方程为,方程为则有
所以
斜率为时.方程为,此时无法构成,不符合题意;
斜率存在且不为时.设方程为
则方程为
所以
由
得
所以
所以
同理,设
代入并化简可得.
所以
即...
令则
即
所以此时当时,面积最小
