辽宁省朝阳市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

朝阳市2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列统计量中，能更好地度量样本，，…，的离散程度的有（ ）
A．样本，，…，的众数 B．样本，，…，的中位数
C．样本，，…，的标准差 D．样本，，…，的平均数
3．函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“函数在区间上是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，且对任意，均有，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某工厂为了了解一批产品的质量，从中随机抽取了100件产品测量其长度，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．估计产品长度的样本数据的70%分位数是27
C．估计产品长度的样本数据的众数是22.5
D．估计产品长度的样本数据的平均数是23
10．以下结论中，正确的是（ ）
A．方程组的解集是
B．若，则
C．函数（且）的图象过的定点坐标为
D．函数与函数是相同函数
11．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称 B．函数的图象关于直线轴对称
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．______．
14．不等式组的解集为，则a的取值范围是______．
15．若是幂函数，且在上单调递增，则______．
16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______．
①是上的增函数；②；③．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若函数在上的最小值为1，求实数a的值．
18．（12分）已知函数，且．
（1）求a的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
19．（12分）已知a，b是一元二次方程的两个不等实数根．
（1）求的值（用m表示）；
（2）是否存在实数m，使成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由；
（3）求的取值范围．
20．（12分）为响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21．（12分）已知．
（1）用分段函数表示的解析式，作出其图象；并指出函数的定义域与值域，单调区间；
（2）解不等式；
（3）讨论直线与图象的交点个数，并写出实数a的取值范围（不需要证明）．
22．（12分）已知函数是偶函数．
（1）求a的值；
（2）设，，若，存在，使得，求m的取值范围．
朝阳市2023-2024学年高一上学期12月月考
数学参考答案及评分意见
1．B 【解析】∵集合，∴，故选B．
2．C 【解析】众数、中位数是反映数据的集中趋势的量；平均数是反映数据的平均水平及集中趋势的量；极差是最大值与最小值之差，能在一定程度上刻画数据的离散程度，但可能会忽略一些重要的信息，因此能更好地反映一组数据离散程度的是标准差，故选C．
3．B 【解析】是上的增函数，又，，故，所以的零点一定在区间内．故选B．
4．C 【解析】的对称轴为，且图象开口向上，则要使其在区间上是增函数，需，解得．当时，，即对称轴在区间左侧，图象开口向上，在区间上是增函数．故选C．
5．D 【解析】由数轴可得，，，所以，，则，故选项A错误；，故选项B错误；因为，即，又，所以，又，所以，故选项C错误；因为，，且由图可知，即，所以，又，所以，故选项D正确．故选D．
6．A 【解析】当时，是减函数，且的最小值为．当时，当时，是增函数，不符合题意，又注意到是上的减函数，故只能抛物线的开口向下，即，其对称轴为，则由题意，有解得．故选A．
7．C 【解析】由题意知，，即，，即，，又，即，∴．故选C．
8．D 【解析】因为，，所以．设函数，则函数在上单调递增，且．当时，不等式等价于，即，即，解得．当时，，不满足．因为是定义在上的奇函数，所以为偶函数，且在单调递减，当时，不等式等价于，即，即，解得．综上，不等式的解集为．故选D．
9．ABC 【解析】选项A：，解得，A正确；对选项B：长度在25以下的比例为，长度在30以下的比例为，故70%分位数位于内，设为x，则，解得，B正确；选项C：产品长度的样本数据的众数是，C正确；选项D：平均数为，D错误．故选ABC．
10．AB 【解析】对于A选项，由，可得或，当时，，即；当时，，即，所以原方程组的解集为，A正确；对于B选项，由，得，即，B正确；对于C选项，当时，即，，故的图象恒过点，C选项错误；对于D选项，与函数定义域相同但对应法则不同，故不是相同函数．故D选项错误．故选AB．
11．ABD 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若，，当且仅当时等号成立，A正确；对于B，，∴，B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；对于D，，则有，变形可得，故，当且仅当时取等号，故D正确．故选ABD．
12．AC 【解析】由题意定义域为，且满足，所以函数关于点中心对称，A正确，B错误．又在上递增，故在上递增．若，由，因为，所以，则，所以，故选AC．
13．10 【解析】．故答案为10．
14． 【解析】由得因为不等式组的解集为，所以，即a的取值范围是．故答案为．
15． 【解析】因为是幂函数，所以，解得或2，当时，在上单调递增，满足题意；当时，，不满足题意．故答案为．
16．（答案不唯一，形如均可） 【解析】对函数，因为在上单调递增，所以在上单调递增；，．故答案为（答案不唯一，形如均可）．
17．解：（1）当时，，，即即，解得或，所以的解集是．
（2）的对称轴为，图象开口向上，
①当，即时，
，即，符合题意；
②当，即时，
，即，不符合题意；
③当，即时，
，无解，不符合题意．
综上，可得．
18．（1）解：由，得，解得．
（2）在区间上是减函数，
证明过程如下：
由（1）得，对任意，且，
有．
由，得，，又由，得，
于是，即，
所以在区间上是减函数．
19．解：（1）因为一元二次方程，
所以，解得，且，即．
由韦达定理可得，，．
所以，的值为．
（2）由韦达定理可知．
令，整理得，解得．
由（1）可知，所以不存在实数m，使成立．
（3），
记，在和上单调递减．
由（1）知．所以．
20．解：（1）∵
∴当时，，
当时，，
故
（2）由（1）得
当时，，
∴．
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故．
∵，故当2023年的年产量为10000辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
21．解：（1）当时，，
当时，，
当时，．
所以
作出函数的图象，如下图所示：
函数的定义域为，值域为．
函数的单调递增区间为；
函数的单调递减区间为．
（2）当时，由可得，此时，，
当时，由可得，此时，x无解，
当时，由可得，此时，．
综上所述，不等式的解集为．
（3）由（1）中的图可知，当时，直线与的图象有2个交点；
当时，直线与图象只有1个交点；
当时，直线与图象没有交点．
综上所述，当时，直线与图象交点个数为2；
当时，直线与图象交点个数为1；
当时，直线与图象交点个数为0．
22．解：（1）因为是偶函数，所以．
即，
，
，
．
．
，．
因为，要使上式恒成立，
所以，即．
（2），
因为，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值．
因为在上单调递增，
所以．
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，
所以，解得，
所以m的取值范围为．