西藏自治区拉萨市2024届高三上学期12月第一次模拟考试文科数学试题（含解析）

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拉萨市2024届高三上学期12月第一次模拟考试
数学文科
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.双曲线的焦点坐标为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4.的值为（ ）
A.0 B. C. D.
5.将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A. B. C.4 D.5
8.四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面相交的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆雉的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子 离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如左图，矩的较长边为，较短边为，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形的顶点都在圆周上，如右图，若，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，向量，.若，则______.
14.已知正数，满足，则的最小值为______.
15.如果两个球的表面积之比为4:9，那么两个球的体积之比为______.
16.函数是奇函数，则实数______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）已知等比数列的公比，且.
（1）求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，，求的前项利.
18.（12分）如图，正方体的棱长为2.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
19.（12分）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.
（1）统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差；
（2）统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图.
（ⅰ）估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数；
（ⅱ）估计这600名中国果切消费者年龄的中位数（结果保留整数）.
20.（12分）设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.
21.（12分）已知函数.
（1）证明：，有；
（2）设（），讨论的单调性.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；
（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值.
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）证明：，，使得.
拉萨市2024届高三上学期12月第一次模拟考试
数学文科参考答案及评分细则
1.【答案】A
【解析】因为，，所以，因为，所以，故选A.
2.【答案】B
【解析】，则在复平頁内对应的点为，位于第二象限，故选B.
3.[答案]C
【解析】因为，，所以，得，所以焦点坐标为和，故选C.
4.【答案】D
【解析】，故选D.
5.【答案】A
【解析】将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
因为为偶函数，且，所以，得，故选A.
6.【答案】A
【解析】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B，故选A.
7.【答案】B
【解析】设，由得，又，得，所以，，故选B.
8.【答案】D
【解析】设各棱中点依次为，，，，，确定的直线有15条：，，，，，，，，，，，，，，，其中在3条与平面平行，3条在平面内，所以与平面相交的有9条，故所求概率.故选D.
9.【答案】C
【解析】根据约束条件画出如图所示的可行区域，再利用几何意义知表示点与点连线的斜率，易知直线的斜率最小，由得，所以，故选C.
10.【答案】B
【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，所以圆锥的母线长，底面圆半径，所以该圆锥的侧面积为，故选B.
11.【答案】B
【解析】依题意可得在区间上单调递减，则在区间上恒成立.
因为，所以在区间上恒成立，而在区间上单调递减，
∴，的取值范围是，故选B.
12.【答案】A
【解析】因为，所以为圆的直径，由题意得，因为在以为直径的圆上，所以，故选A.
13.【答案】
【解析】因为，所以，即.
14.【答案】2
【解析】依题意，，
当且仅当时取等号.
15.【答案】8:27（填也可以）
【解析】因为球的表面积公式为，体积公式为，所以由两个球的表面积之比为4:9可得它们的半径之比为2:3，所以它们的体积之比为8:27.
16.【答案】-2
【解析】因为是奇函数，所以，所以.
17.解：（1）因为等比数列的公比，
所以，，
所以.
（2）由（1）得，，（8分）
所以的公差，（9分）
所以，（10分）
所以.
【评分细则】
如用其他解法，若正确，也给满分.
18.（1）证明：∵，平面，平面，
∴平面.（4分）
（2）解：设点到平面的距离为，
因为
所以
.即，解得.
所以点到平面的距离为.
【评分细则】
如果第一问使用其他方法证明且步骤无误，不扣分.
19.解：（1），
.
（2）（ⅰ）600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为
.
（ⅱ）由，，可得，
所以，解得，
所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24.（12分）
【评分细则】
1.第（2）小题第（ⅱ）问，结果不保留整数，扣1分；
2.如用其他解法，若正确，也给满分.
20.解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
所以，，，
因此的标准方程为.
（2）当直线3的斜率不存在时，：，联立解得或
故，，不满足，即不是的中点.不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线：，，.
联立可得，
即.
所以.
由于为的中点，所以，即，解得.
管上，直线的方程为，即.
【评分细则】
第（2）题中也可以通过其他方法得出斜率的值，步骤结果无误，可给满分.
21.（1）证明：因为，，所以，
当时，，单调递減，
当时，，单调递增，
所以.
（2）解：因为，
所以，
因为，令，得或，
若，则，时，，单调递减，和时，，单调递增；
若，则，，在上单调递增；
若，则，时，，单调递减，和时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单堿递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.
【评分细则】
如有其他解法若正确，也给满分.
22.解：（1）依题意，由，消去，得直线的直角坐标方程为；
因为，故，
即曲线的普通方程为.
（2）由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆.
所以，要使得最小，只需最小，
又，
所以的最小值为.
【评分细则】
如用其他解法，结果正确步聚无误给满分.
23.（1）解：因为，所以.
当时，原式化为，解得，则；
当时，原式化为，解得；
当时，原式化为，解得，则，
综述，原不等式的解集为.
（2）证明：依題意，，
当且仅当时取等号，
又，
当且仅当时取等号，
故，，使得.
【评分细则】
第（1）问写成集合形式和区间形式都给分，写成不等式形式扣1分.