石家庄市名校2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
（时长120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本题包括8个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共40分）
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，或，
所以，“”“”，但“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2. 下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，
对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数，对应关系不同，即C错误.
故选：B
3. 下列函数中的奇函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，
且，所以函数奇函数，符合题意；
对于B中，函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，不符合题意；
对于B中，函数，所以函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.
故选：B.
4. 函数，，且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指数型函数的性质，令，代入即可得.
【详解】令，即，有，故其过定点.
故选：D.
5. 是定义在上的递减函数，，则x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，把不等式转化为等价不等式组，即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的递减函数，
则，等价于不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
6. 若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数的值域化简集合，由二次函数的值域化简集合，对选项中的集合关系逐一判断即可.
【详解】集合，
，，故选A.
【点睛】集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．
7. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于为偶函数，所以，然后由在上是增函数比较大小即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
因为在上是增函数，且，
所以，所以，
故选：D
8. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.
二、多项选择题（本题包括4个小题，每小题有多个选项符合题意，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案.
【详解】由，，解得，所以；
由，解得，所以.
对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，由选项C可知，，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】通过举反例判断AD，由基本不等式（当且仅当时取等号）时取等号，判断并证明BC.
【详解】对于A.当时, 故A错误.
对于B.由题意, 所以 ,所以
当且仅当即时取等号，所以B正确.
对于C.因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确
对于D.当，则，故D选项错误.
故选：BC
11. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 若，则的值是
D. 的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A、 B的正误，再分段求C、D中对应的方程的解和不等式的解后可判断C、D的正误．
【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是
当时，的取值范围是，
因此的值域为，故B正确；
当时，，解得（舍去)，
当时，，解得或（舍去），故C正确；
当时，，解得，当时，，解得-，
因此解集为，故D错误.
故选：BC．
【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．
12. 已知函数，．记，则下列关于函数说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 函数的最小值为
C. 函数在上单调递减
D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或
【答案】ABD
【解析】
【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.
【详解】由题意得：，其图象如图所示：
由图象知：当时，，故A正确；
函数的最小值为，故正确；
函数在上单调递增，故错误；
方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13. 函数在上的最大值为_______
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的图象与性质，得出函数的单调性，进而求得其最大值.
【详解】由指数函数的图象与性质，可得函数在上为单调递增函数，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为.
故答案为：.
14. 已知幂函数的图象过点，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，利用待定系数法求解即可.
【详解】设，因为幂函数的图象过点，
所以，所以，
所以，所以.
故答案为：.
15. 若函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法求出的解析式，代入数字即可求解.
【详解】，
令，则，
，
即，
.
故答案为：.
16. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用指数幂的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误.
【详解】
．
故答案为：
【点睛】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序，属于较易题目．
四、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17. 已知集合，或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据列不等式组，解不等式组即可求解；
（2）由已知可得，再根据集合的包含关系列不等式，解不等式组即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，解得：，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
因为，所以，所以或，解得：或，
所以的取值范围是或．
18. 若不等式的解集是
（1）求的值；
（2）求不等式．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程与不等式关系，可知的两个根分别为和2，结合韦达定理即可求得的值；
（2）代入的值，可得．通过移项，通分、合并同类项，即可解不等式．
【详解】（1）依题意知，且的两个实数根为和2
由韦达定理可得，
解得
（2）将代入不等式得
即，整理得
即，
解得，
故不等式的解集为
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次不等式的关系，分式不等式的解法，特别注意解分式不等式不能够去分母，属于基础题．
19. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，．
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图象，并写出函数的单调增区间．
【答案】（1）
（2）图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质与已知的解析式，即可得出，的解析式，再写成分段函数的形式即可；
（2）根据（1）求得的解析式结合二次函数的图象画出图象，由图象得出其单调区间.
【小问1详解】
函数是定义域为的奇函数，
，且
当时，，
当时，，则，即，
综上：.
【小问2详解】
函数图象如下：
由图象得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
20. 已知命题p: x∈R，x2-2x+a≥0，命题q: x∈R，x2+x+2a-1=0，若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】由p为真命题，则，求得a范围，再由q为假命题，则，求得a的范围，最后取交集即可得出答案.
【详解】解：命题p: x∈R，x2-2x+a≥0，
若p是真命题，则，即.
命题q: x∈R，x2+x+2a-1=0，
若q为假命题，则，解得,
因为若p为真命题，q为假命题，
所以.
21. 已知指数函数的图象经过点, 且函数的图象与的图象关于轴对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的定义利用待定系数法结合指数函数的对称性即可得出答案；
（2）根据指数函数的单调性即可得出答案.
【小问1详解】
解：设，
过，得，
关于轴对称的函数；
【小问2详解】
解：因为在上是单调递减函数，
由，
可得，
解得，
故实数的取值范围是.
22. 已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由定义证明即可；
（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围．
【小问1详解】
任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增．
【小问2详解】
任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数取值范围是.石家庄市名校2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
（时长120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本题包括8个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共40分）
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中的奇函数是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数，，且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 是定义在上的递减函数，，则x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则
A. B. C. D.
7. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题包括4个小题，每小题有多个选项符合题意，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，关于函数结论正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 若，则的值是
D. 解集为
12. 已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 函数最小值为
C. 函数在上单调递减
D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13. 函数在上的最大值为_______
14. 已知幂函数的图象过点，则____________．
15. 若函数，则__________．
16. ___________.
四、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17. 已知集合，或．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
18. 若不等式的解集是
（1）求值；
（2）求不等式．
19. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，．
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图象，并写出函数的单调增区间．
20. 已知命题p: x∈R，x2-2x+a≥0，命题q: x∈R，x2+x+2a-1=0，若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围.
21. 已知指数函数的图象经过点, 且函数的图象与的图象关于轴对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
22. 已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数取值范围．
