绝密★启用前
吉林市重点中学2023-2024学年高一上学期12月期中考试
数学试卷
考试范围：必修一；考试时间：120分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，给出如下四个结论：
；
；
；
当且仅当“”整数，属于同一“类”．
其中，正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知集合，则( )
A. B. C. D.
5.“”是“函数在内单调递增”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
6.若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，是一元二次方程的两根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数满足，且对，，都有，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了即糖水中含糖浓度变大，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有( )
A. B.
C. D.
12.下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 是的充分不必要条件
C. ，
D. 设，为两个集合，若不包含于，则，使得
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知，若，求实数的取值范围______ ．
14.给出下列结论：若，则；若，，则；若，，则；若且，则其中恒成立的是______ ．
15.设为实数，若“”是假命题，则的取值范围是______ ．
16.已知命题：“对任意的恒成立”；命题：“有一正根和一负根”若为真，为真，求的取值范围______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知全集，集合，集合求
18.本小题分
设，，，．
分别求，；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
平面四边形中，，，，．
求
若，求的面积．
21.本小题分
设，，．
当时，，求．
若展开式中的系数是，当，变化时，求系数的最小值．
22.本小题分
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．
例如：设，，则，又因为，所以即
同样地，同学们可以由根据所学知识推导如下的对数运算性质，或者发散自己的思维尝试利用其它的方法推导如下的运算性质：如果，且，，那么；
请你运用中的对数运算性质计算的值．吉林市重点中学2023-2024学年高一上学期12月期中考试
数学答案和解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11. 12.
13. ，
14.
15.
16.
17. 解：全集，集合，
；
又集合，
，；
，
．
18. 解：由，得，解得，
所以，
由，得，解得，所以，
所以，
所以或，所以或．
由知，，
因为是的必要不充分条件，所以，
当时，所以，解得，
当时，，得 ，显然不成立，
所以实数的取值范围为．
19. 解：解不等式，得，即．
当时，，所以，
又或，所以或．
由知，，由，得．
当，即时，，满足，因此；
当，即时，，
则，解得，因此．
则或，所以实数的取值范围
20. 解：如图，在中，，，，
由余弦定理，得，所以，
由正弦定理，得，
所以．
因为，所以，
所以，所以．
因为，所以．
所以
．
所以，
所以，所以，
所以 ．
21. 解：当时，．
令，得
，．
两式相加，得；
有题设知，
的系数为：
所以，当或时，展开式中的系数最小，为．
22. 解：因为，且，，设，所以，
所以，
所以，
即；
．
