成化高级中学2023-2024学年高一上学期12月阶段检测
（数学）答案版
本试卷共4页，22小题 满分150分 考试用时120分钟
一、单选题
1．若是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（ ）
A．3.14 B．-5 C． D．
【答案】D
【分析】由代表实数集，代表有理数集，对四个数判断是无理数即可.
【详解】由题意知a是实数，但不是有理数，故a应为无理数，
故可以为.
故选：D.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由全称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
3．设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合，结合子集的定义即可判断A：求得，即可判断B，C；结合，，即可判断D．
【详解】解：集合，，
对于A，由子集的定义知：，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，，故不成立，故D错误．
故选：C
4．设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
5．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得，
由，故是的充分不必要条件.
故选：A.
6．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（ ）
A．50 B．
C． D．100
【答案】A
【分析】设矩形的长和宽分别为，则，然后利用基本不等式可求出面积的最大值.
【详解】设矩形的长和宽分别为，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积最大的一个矩形的面积为50.
故选：A
7．已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知等式可得，由，利用基本不等式可求得，根据恒成立的思想可得，解不等式即可求得结果.
【详解】由，，得：，
（当且仅当，时取等号），
恒成立，，解得：，
即实数的取值范围为.
故选：D.
8．关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意，求得一元二次不等式的解集，结合端点的大小列出不等式，即可求解.
【详解】由不等式，可得，
当时，即时，可得，即不等式的解集为，
若满足解集中恰好有2个整数，则，解得；
当时，即时，可得，即不等式的解集为，
若满足解集中恰好有2个整数，则，解得；
当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9．如果，则下列选项不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据特殊值以及不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，如，则，所以A选项不正确.
B选项，若，如，则，所以B选项不正确.
C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确.
D选项，若，如，
此时，所以D选项不正确.
故选：ABD
10．已知集合，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】CD
【分析】首先解不等式求出集合、，再根据集合的运算法则计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
所以，
所以，故A错误；
，故C正确；
又，所以，故B错误；
，所以，故D正确；
故选：CD
11．下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．，且，
B．，使得
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】BD
【分析】对A，当时，不成立；
对B，当时，成立；
对C，将分式化整式，等价转化为证明命题即可；
对D，分离参数转化为求函数最值求解.
【详解】对选项A，当时，，不满足，故A错误；
对选项B，当时，成立，
即，使得成立，故B正确；
对选项C，对于C，显然，而函数在上单调递增，则当，即时，，C是假命题；
对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可.
因为，由得，
设，
则，当且仅当即时，等号成立.
故的最小值为，则，故D正确.
故选：BD.
12．已知集合，，若，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．12
【答案】ABD
【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值.
【详解】因为，所以或.
①当时，，，
所以或，得或4.
当时，不合题设，舍去.
当时，，，此时.
②当时，，，
所以或，解得：或或
当时，不合题设，舍去.
当时，，此时.
当时，，此时.
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合，集合或，则 .
【答案】
【分析】应用集合的交运算求集合即可.
【详解】由题设，又或，
所以.
故答案为：
14．不等式的解是 .
【答案】
【分析】进行移项通分，变形成一元二次不等式求解.
【详解】.解得或.
故答案为：
15．已知，，且，则的最小值为 ，此时 ．
【答案】 8 6
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】∵，，且，∴，
当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为8，此时．
故答案为：；.
16．已知集合中有8个子集，则的一个值为 .
【答案】4或9（写出一个即可）
【分析】由题意可知，集合中有三个元素，则有三个因数，即可求出的值.
【详解】集合中有8个子集，
由知，集合中有三个元素，则有三个因数，
因为，，
除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9.
故答案为：4或9（写出一个即可）
五、解答题
17．成化高中小伟同学在学习完集合后对高中数学非常感兴趣，查阅资料后发现在集合论中“差集”的定义如下：，且 .
(1)若，，求；
(2)若，，求.
【答案】(1)；
(2)；
【分析】先阅读题意，理解“差集”的定义，结合二次不等式的求解与集合的运算即可得解.
【详解】（1）解：由，，
则；………………..3分
（2）解：由，………………..5分
或，………………..7分
则；………………..10分
18．设集合，．
(1)用列举法表示集合；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）集合为方程的实数解组成的集合，解方程即可用列举法表示集合；
（2）使用子集的概念进行求解即可.
【详解】（1）∵，
∴集合为方程的实数解组成的集合，
由，解得，，
∴，
∴用列举法表示集合为.………………..3分
（2）∵，
∴集合为方程的实数解组成的集合，
由，，
∴方程有解，，………………..5分（不说空集，直接因式分解也可以）
①当时，方程
方程有两个相等的实数根，
此时，满足；………………..8分
②当时，方程，
解得，，
若要使，则需使，即，………………..11分
综上所述，若，则或.………………..12分
19．已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意可得，且和时关于的方程的两个实数根，从而可求出的值；
（2）由题意得或，从而可求出的取值范围
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以，且和时关于的方程的两个实数根，
则，解得.………………..4分
（2）因为关于的不等式恒成立，
所以①………………..6分
②， ，………………..10分
则实数的取值范围为.………………..12分（不讨论的总共扣4分）
20．已知全集，集合．
(1)是否存在实数使得为真命题，若存在，求的取值范围，若不存在说明理由；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再根据补集和并集得定义即可得解；
（2）由题意知，再分和两种情况讨论即可.
【详解】（1）由，可得，
因为为真命题，所以………………..2分
当时，，解得，………………..4分
当时，则 解得．
综上或………………..6分
（2）由题意知，………………..8分
当时，，解得，………………..10分
当时，则解得．
综上，的取值范围为．………………..12分
21．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．
(1) 设AD长为x米，用分别表示出、花坛面积、花岗岩地坪面积以及草坪面积；
（2）在（1）的条件下，设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式，并求出的范围；
(2)问：当x为何值时总造价S最小，并求出这个S最小值.
【答案】
（1），，，
(2)
(3)，118000元
【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；
（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，，，
……………………………………………………….4分（一个式子的一分）
（2）则
，………………………………………7分（如果没化简在第三问中看有没有？若没有化简此处给2分）
且，则……………………………8分（没有范围扣一分）
（3）由（2）可知，
……………………………10分
当且仅当时，即时，等号成立，……………………………11分
所以，当米时，元. ……………………………12分（没有答题本次不扣分）
22．已知关于的不等式的解集为，其中
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值；
（3）当变化时，求不等式的解集
【分析】（1）由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围；
（2）由题意得出是方程的根，且，由此可解出实数的值；
（3）分、、三种情况讨论，并比较与的大小关系，可得出集合.
【详解】（1），则，得，即，
解得，因此，实数的取值范围是；……………………………3分
（2），则是方程的根，且，则，
解得或；……………………………6分（漏解只得1分）
（3）当时，方程的根为和.……………………………7分
①当时，，解不等式，得，此时；……………………………8分
②当时，原不等式为，即，解得，此时；……………………9分
③当时，，当且仅当时，等号成立. ………………10分
（i）当时，原不等式为，解得，此时；………………11分
（ii）当或时，，解不等式，
得或，此时.………………12分成化高级中学2023-2024学年高一上学期12月阶段检测
（数学）
本试卷共4页，22小题 满分150分 考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若是中的元素，但不是中的元素，则可以是（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ▲ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．设集合，，若，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．已知，则是的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．关于的不等式的解集中，恰有个整数，则的取值范围是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如果，则下列选项不正确的是（ ▲ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知集合，，则下列判断正确的是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
11．下列四个命题中，是真命题的是（ ▲ ）
A．，且，
B．，使得
C．若，则函数的最小值为
D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
12．已知集合，，若，则的值可能为（ ▲ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，集合，则 ▲ .
14．不等式的解集是 ▲ .
15．已知，，且，则的最小值为 ▲ ，此时 ▲ ．
16．已知集合有个子集，则的一个值
为 ▲ .（写出一个值即可）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
成化高中小伟同学在学习完第一章集合后对高中数学非常感兴趣，他在图书馆查阅资料后发现在集合论中有“差集”的定义如下： .
(1)若，，求；
(2)若，，求.
18．（本题满分12分）
设集合，．
(1)用列举法表示集合；
(2)若，求实数的值．
19．（本题满分12分）
已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若对不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．（本题满分12分）
已知全集，集合．
(1)是否存在实数使得为真命题，若存在，求的取值范围，若不存在说明理由；
(2)若，求的取值范围．
21．（本题满分12分）
某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形、、、与小正方形面积之和为平方米．计划把正方形建成花坛，造价为每平方米元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米元，再在四个等腰直角三角形区域上铺设草坪，造价为每平方米元．
(1)设长为米,用分别表示的长、小正方形面积、四个小矩形面积及四个等腰直角三角形的面积；
(2)在（1）的基础上，设总造价为元，试建立关于的函数关系式，并求出的范围；
(2)当为何值时总造价最小，并求出的最小值.
22．（本题满分12分）
已知关于的不等式的解集为集合，其中
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值；
（3）当变化时，求不等式的解集.
