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北师版九年级数学下册第三章《圆》达标测试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，是上的三个点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2 .如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（ ）
A．2 B． C． D．1
3 . 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果∠E＝60°，那么∠P等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度．
则截面圆中弦的长为（ ）
A． B．6 C．8 D．
6． 在中，直径弦于点若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7． 如图，内接于，，为的直径，平分交于点，交于点，连接．若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是否会遇到暗礁．
如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的内C表示一个危险临界点，，
轮船P与两个灯塔的夹角为，保证轮船航行不触礁的可以是（ ）
A． B． C． D．
如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
10 .如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，
则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11 . 如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= ．
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，
点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为 .
13 . 如图，中，，，与边，的另一个交点分别为，．
则的大小为 ．
14 . 如图，是的直径，F为上一点，过点C作交的延长线于点D，
是的切线，若，，求半径是 ．
15 . 如图，，以为直径的半圆绕点逆时针旋转，此时点到了点，
则图中阴影部分的面积是 ．
16 . 如图，在平面直角坐标系中，，，
以点为圆心，长为半径作圆，交轴正半轴于点，点D为上一动点，
连接，以为边，在直线的上方作正方形，点从点出发，
按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，
则第2022秒结束时点的坐标为
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17． 如图，C是上一点，点D在直径的延长线上，的半径为6，，．
求证：是的切线．
18 . “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，
例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，
求该门洞的半径．
19 . 如图，在⊙O中，弦、相交于点P，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求．
20． 如图，是的直径，是的弦，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，
连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
22 .定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
图1 图2 图3
如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
在（1）的条件下，若的半径为．
① 则的长是______．
② 如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3) 在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
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北师版九年级数学下册第三章《圆》达标测试卷及解析
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，是上的三个点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理．解题的关键在于熟练掌握，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
2 .如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，
然后根据直角三角形的性质求出AC的长．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=4；
∴AC=AB=2．
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和含30°角的直角三角形的性质，半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
3 .如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴
故选C．
【点睛】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
4．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果∠E＝60°，那么∠P等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案．
【详解】连接OA，OB．
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴∠OAP=∠OBP=90°．
∵∠E=60°，∴∠AOB=120°，∴∠P=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题的关键．
如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度．
则截面圆中弦的长为（ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】B
【分析】由垂径定理和勾股定理分别求出的长，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意得：，，
，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即截面圆中弦的长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
6．在中，直径弦于点若，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先连接OD,然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图连接OD
∵直径AB＝15，
∴DO=BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线并灵活运用垂径定理是解答本题的关键．
7．如图，内接于，，为的直径，平分交于点，交于点，连接．若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，设，根据直角三角形的性质、勾股定理用表示出、，证明，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，
设，
∵，为的直径，
∴，，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴
∵的面积为，则的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，直角三角形的性质，掌握圆周角定理、
相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是否会遇到暗礁．
如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的内C表示一个危险临界点，，
轮船P与两个灯塔的夹角为，保证轮船航行不触礁的可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，要使不触礁则，即可判断；
【详解】解：根据圆的性质
∵
∴
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质并灵活应用是解题的关键．
如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接，根据圆周角定理可将证，通过计算可知．
【详解】
解：如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接，
∵，
∴是的直径，在中，，，
∴，
∴，
由圆周角定理可知，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角函数，勾股定理，能够熟练应用圆周角定理是解决本题的关键．
10 .如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，
则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11 .如图AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= ．
【答案】62°
【详解】试题分析：连接AD，根据AB是直径，可知∠ADB=90°，然后根据同弧所对的圆周角可得∠BAD=∠DCB=28°，然后根据直角三角形的两锐角互补可得∠ABD=62°.
故答案为：62.
点睛：此题主要考查了圆周角定理，解题时先利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解.
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，
点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为 .
【答案】（3，2）．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3，
∴PD=2
∴P(3，2) .
故答案为（3，2）．
13 .如图，中，，，与边，的另一个交点分别为，．
则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是圆内接四边形对角互补、三角形外角的性质，
解题关键是利用圆内接四边形对角互补得到的度数．
先根据圆内接四边形对角互补得到，
再根据是的外角得到，则有．
【详解】解：依图得：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
是的外角，
，
又，
．
故答案为：．
14 .如图，是的直径，F为上一点，过点C作交的延长线于点D，
是的切线，若，，求半径是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，过点作于，证明四边形为矩形，设半径为，由勾股定理列出方程求解即可，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，过点作于，
，
四边形为矩形，
，
设半径为，则，
，
，
，
解得：，
的半径为5，
故答案为：5．
15 . 如图，，以为直径的半圆绕点逆时针旋转，此时点到了点，
则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积的应用，
根据题意得出，，根据图形得出图中阴影部分的面积，求出即可；
掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】
解：
，，
图中阴影部分的面积是：
．
故答案为：．
16 .如图，在平面直角坐标系中，，，
以点为圆心，长为半径作圆，交轴正半轴于点，点D为上一动点，
连接，以为边，在直线的上方作正方形，点从点出发，
按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，
则第2022秒结束时点的坐标为
【答案】
【分析】先根据点的运动速度求出第2022秒结束时点的位置，再画出图形（见解析），
证出，利用全等三角形的性质求出，的长，由此即可得．
【详解】解：∵，，
，
的周长为，
（秒），，
第2022秒结束时和第6秒结束时，点的位置相同，
，
第6秒结束时，点在轴下方的圆弧上，且，
如图，过点作轴于点，连接，则，
设，则，
解得，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即第2022秒结束时点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17．如图，C是上一点，点D在直径的延长线上，的半径为6，，．
求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理的逆定理，连接，
根据边长之间的关系，证明出来为直角三角形，即，
掌握切线的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：连接，如图所示：
，
∵的半径为6，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴是的切线．
18 . “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，
例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，
求该门洞的半径．
【答案】该门洞的半径为．
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，
根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
19 .如图，在⊙O中，弦、相交于点P，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出比例式，再求出答案即可．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：或6，
当时，，
当时，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能正确运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
20．如图，是的直径，是的弦，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质以及勾股定理等知识：
（1）由圆周角定理得，根据直径所对圆周角是直角可知，再由三角形内角和定理可求出的度数；
（2）由角所骊直角边等于斜边的一半知，再由勾股定理可求出的长．
【详解】（1）∵点C在上，是的直径
∴
∵
∴
∵
∴
（2）在中，，
∴
设，则
在中，，由勾股定理得：
∵，，
∴
∵解得：，（舍）
∴的长为4
如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，
连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
（2）解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
22 .定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
图1 图2 图3
(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②证明见解析．
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据圆美四边形的定义，四边形的性质，得到，，由此得到答案．
（2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，，由勾股定理得到的长．
②连接，根据已知条件，得到是等边三角形，延长到，使得，得到，由此得到为等边三角形，．
（3）延长和交于点，在（1）的条件下，，，由已知条件，得到，在中，根据勾股定理得到．
【详解】（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
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