黑龙江省哈尔滨市宾县重点中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题（含解析）

宾县重点中学2023-2024学年度上学期第三次月考
高一数学试卷
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案规范填写在答题卡上。
一、选择题：（本大题共8道小题，每题5分共40分。）
1．已知全集为实数集R，集合，的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件
4．三个数，，的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的最小值为（ ）
A． B．4
C． D．
7．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本大题共4道小题，每题5分共20分。多选零分，少选得2分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．任意两个等边三角形都相似 B．所有的素数都是奇数
C．， D．，
10．下列各组中的函数与是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，设， ，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若幂函数过点，则此函数的解析式为 .
14．设函数则的值为 ．
15．若函数只有一个零点，则实数的值是 ．
16．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17．已知集合
(1)当时，求；
(2)若，求实数的值．
18．求值．
(1)；
(2)．
19．已知函数图象过点，
(1)求实数m的值，并证明函数是奇函数
(2)证明在区间上为单调递增函数
20．已知函数
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若，使得，求实数的取值范围。
21．中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间．
(1)求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式；
(2)若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？
22．已知函数.
(1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点.
高一数学试卷参考答案
1．B
【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由，得或，
韦恩图中阴影部分表示的集合为，而，
所以，阴影部分表示的集合的元数个数为3.
故选：B
2．D
【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出函数定义域.
【详解】因为，所以且，
所以函数定义域为，
故选：D.
3．A
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为 ，所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】利用指数函数的单调性判断与的大小，再利用中间值判断与的大小，即可得到三个数的大小关系.
【详解】因为在上递增，所以，
又因为在上递减，所以，
所以.
故选A.
【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数幂的大小，难度一般.同底数幂的大小比较可直接通过指数函数的单调性得到，非同底数幂的大小比较有时可借助中间值“”进行比较.
5．B
【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】函数,是单调递增函数，
当 时，，
，
故
故函数的零点所在的区间为，
故选：B
6．D
【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.
【详解】因为，则，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
7．A
【分析】由是幂函数且在上单调递增，求出的值，代入中，结合指数函数图象所过的定点，求图象过的定点.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或．
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故，此时，当时，，即的图象过定点．
故选：A
8．A
【分析】根据偶函数的性质可得函数在上单调递减，且.由此将不等式转化为来求解得不等式的解集.
【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且在上递减，故函数在上单调递增，且.所以原不等式转化为，即，或，解得或故选A.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性以及单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题.
9．AC
【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.
【详解】对于A，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，A正确；
对于B，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B错误；
对于C，因为，，即，C正确；
对于D，因为，，D错误.
故选：AC
10．BD
【分析】判断两函数的定义域与解析式是否一致即可.
【详解】对于A：的定义域为，函数的定义域为，
定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：定义域为，定义域为且，
定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故B正确；
对于C：定义域为，函数的定义域为，
定义域不相同，故不是同一函数，故C错误；
对于D：定义域为，定义域为且，
定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故D正确；
故选：BD
11．ABC
【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为不等式的解集是，
可得，且，所以，所以，
所以A、C正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，
所以当时，，所以B正确．
故选：ABC．
12．ABD
【分析】作出函数的图象，时，由于，可得到，化简可判断A，结合基本不等式可判断B;数形结合，结合函数的单调性，可判断C,D.
【详解】作出函数的图象，如图示：
当时，由于，可知，
则，则 ，即，A正确；
由于，则，即 ，B正确；
当时，单调递增，当时，有 ，
即，不符合C,D选项；
当时，，由于，则，即，
当时，递增，若，则即，
当时，递减，
若，则，即 ；
若，则由 ，令，
由于此时，则，
由，可得，即 ，故C错误，D正确，
故选：ABD
13．/
【分析】设，代入所过点即可求得结果.
【详解】设幂函数，则，解得：，.
故答案为：.
14．
【详解】.
15．或
【分析】分和讨论，当时，利用求解可得.
【详解】当时，由得，满足题意；
当时，因为只有一个零点，
所以，解得.
综上，实数的值为或.
故答案为：或
16．
【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式.
【详解】由得，
因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，然后求交集；
（2）根据集合的包含关系列不等式即可.
【详解】（1）由题意得，
所以.
（2）因为，所以，则，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）；
（2）
19．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）代入坐标计算出的值，先分析定义域，然后根据的关系作出判断；
（2）根据定义，任取，然后判断的正负，由此证明出的单调性.
【详解】（1）因为过点，所以，所以，
因为的定义域为，且定义域关于原点对称，
又，
所以为奇函数；
（2）任取，且，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以在区间上为单调递增函数.
20．(1)
(2)
【分析】（1）应用换元法，结合二次函数的最值即可求解；
（2）应用换元法，即二次函数在有图像在轴下方，即可求解.
【详解】（1）当时，，
令，，则，
开口向上，对称轴为，离对称轴较远，
则，，
即在区间上的值域为
（2）函数，
令，
则开口向上，对称轴为，
若，使得，又，
即，使得，
当时，则需,即，
当时，需，解得
则实数的取值范围.
21．(1)且；
(2)每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得解析式；
（2）利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.
【详解】（1）由题意，且.
（2）由（1），，
所以，当时，元，
故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
22．(1)恒过定点，坐标
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，可得函数的解析式，再由对数函数过定点，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得函数的解析式，再由零点存在定理判断即可.
【详解】（1）由题意知函数，故，
令，
即函数恒过定点，该点坐标为；
（2）证明：由题意，
当时，，
即，
则，又，
故函数在区间上有零点.