5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第5章 三角函数
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握的单调性，并能利用单调性比较大小； 1.直观想象素养、数学运算素养.
2.掌握，的最大值和最小值，并会求简单三角函数的值域和最值； 2.直观想象素养、数学运算素养.
3.会求函数及 的单调区间. 3.数学运算素养.
温故知新
－32°
1.函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
f(x+T) = f(x),
那么函数f(x)就叫做周期函数(period function)，T叫做这个函数的周期（period）.
如果在周期函数所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
温故知新
2.正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性和对称性.
函数 y=
图象
定义域
周期
最小正周期
奇偶性
对称中心
对称轴
R
R
奇函数
偶函数
（
（
温故知新
－32°
3.函数和的周期
新知探究
一.正弦函数、余弦函数的单调性
根据正弦函数的周期性，可以现在它的一个周期的区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.









如图可以看到：当由增大到时，曲线逐渐上升, 的值由-1增大到1;当由增大带时，的值由1减小到-1.
x … 0 … … …
sinx
的值的变化情况如表所示.
所以，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
-1
0
1
0
-1
新知探究
一.正弦函数、余弦函数的单调性
由正弦函数的周期性可得
在每一个闭区间上单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上单调递减，其值从1减小到-1.
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx
新知探究
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

根据余弦函数的周期性，可以现在它的一个周期的区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
值的变换情况如下表
x … … 0 … …
cosx
-1
0
1
0
-1
一.正弦函数、余弦函数的单调性
新知探究
由此表可得
一.正弦函数、余弦函数的单调性
函数在区间 上单调递增，其值从-1增大到1；在区间 上单调递减，其值从1减小到-1.
由余弦函数的周期性可得
在每一个闭区间 上单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上单调递减，其值从1减小到-1.
新知探究
二.正弦函数、余弦函数的最大值和最小值
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx
函数当且仅当x= 时取得最大值 ；
当且仅当x= 时取得最小值 .它的值域为 .
1
-1
[-1,1]
新知探究
二.正弦函数、余弦函数的最大值和最小值
函数当且仅当x= 时取得最大值 ；
当且仅当x= 时取得最小值 .它的值域为 .
1
-1
[-1,1]
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

新知探究
二.正弦函数、余弦函数的性质
图象
定义域 R R
值域
单调性 在 (k∈Z)上单调递增，在 (k∈Z)上单调递减 在 (k∈Z)上单调递增，在 (k∈Z)上单调递减
最值 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1；
x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1
[－1,1]
[－1,1]
新知形成
解：
【例1】下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是多少
⑴， ⑵;
⑴使取最大值的的集合，就是使函数
取得最大值的的集合
,且.
使取最小值的的集合，就是使函数,
取得最小值的的集合
,且.
新知形成
解：
【例1】下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并求出最大值、最小值分别是多少
⑴， ⑵;
⑵令，使函数取得最大值的的集合，就是使取得最小值的的集合．
由，得．所以,取得最大值的的集合是
且．
同理，使函数取得最小值的的集合是
且.
新知形成
三角函数最值问题的求解方法:
(1)形如y=asin x(或y=acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a正负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值.
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
初试身手
1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并求出最大值、最小值分别是多少
⑴; ⑵.
解：
⑴令,使函数取得最大值的u的集合，就是使取得最小值的u的集合.
由，得．所以,取得最大值的x的集合是
且.
同理，使取得最小值的x的集合是
且.
初试身手
1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并求出最大值、最小值分别是多少
⑴; ⑵.
解：
⑵令,使函数取得最大值的u的集合，就是使取得最大值的u的集合.
由，得．所以,取得最大值的x的集合是
且.
同理，使取得最小值的x的集合是
且.
新知探求
【例2】不通过求值，比较下列各数的大小：
⑴与； ⑵与;
⑶ 与．
解：
⑴∵,
∴ .
由在区间山单调递增，
分析：可利用三角函数的单调性比较同名三角函数值的大小.首先将函数名称化相同，再把角化到同一个单调区间内，最后利用三角函数的单调性进行比较大小.
新知探求
【例2】不通过求值，比较下列各数的大小：
⑴与； ⑵与;
⑶与．
解：
⑵∵,
∴ ,
又∵,且在区间上单调递减，
,
即 .
新知探求
【例2】不通过求值，比较下列各数的大小：
⑴与； ⑵与;
⑶与．
解：
⑶∵ ,
∴ ,
又∵,且在区间上单调递减，
,
即 .
本题也可以化为两个正弦比较大小，你来试试！
新知探求
利用单调性比较大小
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．
初试身手
2.不通过求值，比较下列各数的大小：
⑴与 ; ⑵与 .
解：
⑴∵
⑵∵,
∴, 即.
∴,
又∵,且在区间上单调递减，
则.
又∵,且在区间上单调递增，
新知探求
【例3】⑴求函数的单调递增区间；
⑵ 求函数 的单调递增区间.
解：
⑴令,则.
得
∵的单调递增区间是，且由
,
分析：令,当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应区间上也单调递增.
∴函数的单调递增区间是.
新知探求
【例3】⑴求函数的单调递增区间；
⑵ 求函数 的单调递增区间.
解：
⑵令,则的单调递增区间就是的单调递减区间，即.且由
得
,
∴函数的单调递增区间是.
你能求出函数的单调递增区间吗？试一试.
新知探求
求单调区间
用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数y＝sinx(或y＝cos x)的相应单调区间；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于x的不等式．
初试身手
3.函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
解：
函数在,即
∴ ,
∴只有在上是单调递减，故选D.
D
初试身手
4.求函数的单调递增区间.
5.函数的值域是 .
解：
4.令,则函数的单调递增区间就是函数的单调递增区间，即.且由
得
则函数的单调递增区间为.
5.∵,∴,则.
∴,即,则值域为[1,3].
[1,3]
课堂小结
1.正弦函数和余弦函数的单调性
2.正弦函数、余弦函数的最大值和最小值
单调递增区间
单调递减区间
求函数的单调区间的方法：
①直接利用相关性质；
②利用复合函数的单调性；
③利用图象寻找单调区间.
最大值 当时， 当时，
最小值 当时， 当时，
作业布置
作业：P213 习题5.4 第4⑵，⑶，⑷,5⑵，⑶，6题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin