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人教版九年级数学上册第二十四章《圆》单元复习与检测试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直径为的中，弦，于点C，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，分别与相切于点，为上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C，D在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．
当餐盘正立且紧靠支架于点，时，恰好与边相切，则此餐盘的半径是（ ）
A． B． C． D．
如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，
则∠OBC的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，四边形内接于，分别过两点作的切线交于点，
连接，，则下列两个角之间的等量关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，
贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
如图，是上的三个点，若，则的度数为________
12．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为________
如图，中弦相交于点P，已知，则__________
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在的外接圆上，
则等于________
如图，，以为直径的半圆绕点逆时针旋转，此时点到了点，
则图中阴影部分的面积是 ．
坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，
已知，，连接，，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17．在中，弦，求证．
18．如图，C是上一点，点D在直径的延长线上，的半径为6，，．
求证：是的切线．
如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：(1)桥拱的半径；
(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
20． 如图，点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相交于点D，AD平分∠BAC．
（1）求证，BC是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD＝4，CA＝6，
①求CB的长；
②求DF的长．
22．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB；
（2）求证：；
（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，
且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？
如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
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人教版九年级数学上册第二十四章《圆》单元复习与检测试卷解析版
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断出，再利用圆周角定理求解．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
2．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理推出，，
由直角三角形的性质即可求出．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：D．
3．如图，在直径为的中，弦，于点C，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：∵的直径为，
∴，
∵，
∴
∴，
故选：B
【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分弦．熟记相关结论即可．
4．如图，是上的四个点，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，根据是的直径，可得，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
在中，，
∵与所对弧相同，
∴，
故选：．
5．如图，分别与相切于点，为上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，根据切线的性质得到，
再根据四边形的内角和为，求出的度数，然后根据圆周角定理，即可得解．
【详解】解：∵分别与相切于点，
∴，
∴，
∴；
故选A．
6．如图，点A，B，C，D在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，利用圆内接四边形对角互补的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．
当餐盘正立且紧靠支架于点，时，恰好与边相切，则此餐盘的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，则，得，，，设餐盘的半径为，则，，然后由勾股定理列出方程即可求解．
【详解】
连接，过点作，交于点，交于点，
则，
餐盘与边相切，
点为切点，
四边形是矩形，
，，
，
，，，
设餐盘的半径为，则，，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
餐盘的半径是．
故选：A．
如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，
则∠OBC的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角，可得CD是直径；
由同弧所对的圆周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的长可求出sin∠ODC．
【详解】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD为直径，
∵直径为10，
∴CD=10，
∵点C（0，5）和点O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cos∠OBC=cos30°= ．
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理、锐角三角函数的知识．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
9.如图，四边形内接于，分别过两点作的切线交于点，
连接，，则下列两个角之间的等量关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，
根据题意，，则，即可求解．
【详解】解：∵，
∵是的切线
∴
∴
即故C正确，
，不一定成立，故A选项错误，
，故B选项错误，
，不一定成立，故D选项错误；
故选：C．
如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，
贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2
【答案】B
【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE的面积，由此即可解答．
【详解】∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸= =175π×2=350cm2，
故选B．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式．
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，是上的三个点，若，则的度数为________
【答案】
【分析】由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理．解题的关键在于熟练掌握，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
12．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为________
【答案】8
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理解答即可．
【详解】解：连接OA，
在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝8，
故答案为：8
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
13.如图，中弦相交于点P，已知，则__________
【答案】6
【分析】连接，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】如图，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质．掌握同弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理是解题关键．
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在的外接圆上，
则等于________
【答案】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用勾股定理证明是等腰直角三角形，即可求解得出答案．
【详解】解：，
，
，
，即是等腰直角三角形，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理逆运用以及解直角三角形，熟练掌握这些知识点的性质是解题的关键．
如图，，以为直径的半圆绕点逆时针旋转，此时点到了点，
则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积的应用，
根据题意得出，，根据图形得出图中阴影部分的面积，求出即可；
掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】
解：
，，
图中阴影部分的面积是：
．
故答案为：．
如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，
已知，，连接，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，两点间的距离．连接，设，可求出，从而得到，再由当点P位于与圆的交点上时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当点P位于与圆的交点上时，取得最小值，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17．在中，弦，求证．
【答案】见解析
【分析】在中，由弦，可得，根据等式的性质可得，即，进而得出．
【详解】解∶在中，
即
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是正确解答的关键．
18．如图，C是上一点，点D在直径的延长线上，的半径为6，，．
求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理的逆定理，连接，
根据边长之间的关系，证明出来为直角三角形，即，
掌握切线的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：连接，如图所示：
，
∵的半径为6，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴是的切线．
19.如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．
求：(1)桥拱的半径；
(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．
【答案】(1)桥拱的半径为50米；
(2)水面上涨的高度为10米．
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用．
（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可．
【详解】（1）解：如图1，
设圆的半径是r，
则由垂径定理知，于F，点F是的中点，
∴，，
由勾股定理知，，
则：，
解得：；
即桥拱的半径为50米；
（2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示，
则米，
∴（米），
∵（米），
∴（米）；
答：水面上涨的高度为10米．
20．如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相交于点D，AD平分∠BAC．
（1）求证，BC是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【分析】（1）先连接OD，再由OD∥AC和AC⊥BC可知OD⊥BC从而得证；
（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵OA=OD
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3；
∴OD∥AC，
又∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵BC与圆相切于点D．
∴BD2=BE BA，
∵BE=2，BD=4，
∴BA=8，
∴AE=AB﹣BE=6，
∴⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查切线的判定, 相似三角形的判定与性质．
解题关键是熟练掌握、恰当选择切线的判定方法.
21．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD＝4，CA＝6，
①求CB的长；
②求DF的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) ①BC=9；②DF=2.
【分析】(1) 连结AD, 根据圆周角定理,由E是BD的中点得到∠EAB=∠EAD, 由于∠ACB=2∠EAB, 则∠ACB=∠DAB, 再利用圆周角定理得到∠ADB=, 则∠DAC+∠ACB=90, 所以∠DAC+∠DAB=, 于是根据切线的判定定理得到AC是OO的切线;
(2)①在Rt△ABC中, 根据cosC===，AC=6可得AC=6;
②作FH⊥AB于H, 由BD=BC-CD=5, ∠EAB=∠EAD, FD⊥AD,FH⊥AB, 推出FD=FH, 设FB=x, 则DF=FH=5-x， 根据cos∠BFH=cos∠C==，构建方程即可解决问题.
【详解】(1)连结AD，如图，
∵E是的中点，
∴==，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
(2)①在Rt△ACB中，
∵cosC===，AC=6，
∴BC=9．
②作FH⊥AB于H，
∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，
∵cos∠BFH=cos∠C==，
∴=，
解得x=3，即BF的长为3，
∴DF=2
【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论、切线的判定与性质、余弦函数的性质等，灵活运用所学知识能顺利求出答案.
22．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB；
（2）求证：；
（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）利用三角形外角的性质可以得到∠DCF＝∠CBD＋∠CDB，再根据∠CBD＝∠DAC，∠CDB＝∠CAB即可得到结论；
（2）连接AO并延长交⊙O与点G，连接GB，利用三角形中位线的性质即可得到 ．
（3）结论仍然成立，证明方法同（2）．
【详解】（1）证明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB．
（2）解：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∵AG过O点，为圆O直径，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴．
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°．
∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，
∴∠DAP=∠BAG．
∴CD=BG．
∴．
（3）解：（2）的结论成立．
证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴．
由（2）证明可知，∠PDA=∠G，
∴∠PAD=∠BAG．
∴CD=BG．
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理、垂径定理等知识，是一道难度较大的综合题目．
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