15.2.1.1 分式的乘除 同步练习（含答案）
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| 名称 | 15.2.1.1 分式的乘除 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 991.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-17 17:19:37 | ||
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文档简介
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
【知识重点】
知识点1 分式的乘法
1. 分式的乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
用字母表示为· ＝.
2. 法则的运用方法
(1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则计算后再约分；
(2)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，看能否约分，再进行乘法运算；
(3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参与运算.
特别解读
分式乘法运算的基本步骤：
① 确定积的符号，写在积中分式的前面;
② 运用法则，将分子与分母分别相乘，是多项式的要带括号;
③ 约分，将结果化成最简分式或整式.
知识点2 分式的除法
1. 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
用字母表示为÷＝ · ＝.
2. 法则的运用方法
(1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算；
(2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算.
特别提醒
分式除法运算的基本步骤：
① 将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；
② 将除法转化成乘法；
③ 利用分式的乘法法则计算.
【经典例题】
【例1】计算：(1)·；
(2)·.
【思路分析】(1)可直接利用乘法法则进行；(2)要先把分子、分母分解因式，再运用分式乘法法则．
【规范解答】
【方法归纳】分式的乘法，先用分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，然后再约分；或者先约分再进行分式的乘法计算．
【例2】计算：
(1)÷；
(2)÷.
【思路分析】(1)直接利用分式的除法法则运算；(2)先把除转化为乘，然后把分子、分母分解因式，再进行运算．
【规范解答】
【方法归纳】根据分式的乘除法法则，应先化成一个分式后再进行约分，但在实际计算中，这样的做法有时候就显得繁琐，因此往往在运算过程中，先约分，再相乘.
【同步练习】
一、选择题
1．计算(－a)2·的结果为( )
A．b B．－b C．ab D.
2．计算－·的结果是( )
A．－6a2b2 B．－6b2C．2b2 D．－2b2
3．【2022·河北】若x和y互为倒数，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知÷＝M，则M等于( )
A. B． C. D．
5．计算：①·；②·；③÷；④÷四个算式，其结果为分式的是( )
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
6．使式子÷有意义的x的值是( )
A．x≠3且x≠－2 B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠－3 D．x≠3且x≠－2且x≠4
7．若□÷＝，则□中应填( )
A. B． C． D．
8．【2022·德阳】下列计算正确的是( )
A．(a－b)2＝a2－b2 B.＝1 C．a÷a·＝a D.＝－a3b6
9．计算÷·的结果是( )
A．1 B．x＋y C．－1 D．x－y
10．使分式·的值等于－5的a的值是( )
A．5 B．－5 C． D．－
二、填空题
11．计算：÷＝____·____＝____.
12．一艘船顺流航行的速度为 km/h，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘船逆流航行x h走的路程是_______km.
13．若÷(－)的值为，则x的值为______________.
14．如果m2＋2m－3＝0，那么÷的值为___.
15．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是.
请你写出一个符合上述条件的题目：_____________________________.
三、解答题
16．计算：
(1)·；(2)·.
(3)÷；(4)(a2－4)÷；
(5)÷.(6)【2023·云南师范大学附属中学模拟】÷.
17．已知＝≠0，求代数式·(a－2b)的值．
18．(1)先化简，再求值：÷，其中x＝.
(2)先化简÷·，然后从0，1，2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
19．先化简，再求值：(－)÷，其中x＝.
20．(1)计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)；
(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简代数式÷.
21．为了美化环境，需要在某块空地上种植m棵树，若甲队单独植树，则需要n天(n＞1)才能完成；若乙队单独植树，则乙队完成这项工程的时间比甲队的2倍多1天．问甲队每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由．
22．若分式的值为正，求m的取值范围．
关于这道题，某同学根据分式即除法，利用除法处理符号的原则，同号相除得正，得2m－1＞0，求得m＞.
(1)若＜0，求m的取值范围；
(2)若＞0，求m的取值范围；
(3)若＜0，求m的取值范围．
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：(1)·；
(2)·.
【思路分析】(1)可直接利用乘法法则进行；(2)要先把分子、分母分解因式，再运用分式乘法法则．
【规范解答】(1)原式＝＝＝－；
(2)原式＝·＝＝.
【方法归纳】分式的乘法，先用分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，然后再约分；或者先约分再进行分式的乘法计算．
【例2】计算：
(1)÷；
(2)÷.
【思路分析】(1)直接利用分式的除法法则运算；(2)先把除转化为乘，然后把分子、分母分解因式，再进行运算．
【规范解答】(1)原式＝·＝－；
(2)原式＝·＝＝－.
【方法归纳】根据分式的乘除法法则，应先化成一个分式后再进行约分，但在实际计算中，这样的做法有时候就显得繁琐，因此往往在运算过程中，先约分，再相乘.
【同步练习】
一、选择题
1．计算(－a)2·的结果为( A )
A．b B．－b C．ab D.
2．计算－·的结果是( C )
A．－6a2b2 B．－6b2C．2b2 D．－2b2
3．【2022·河北】若x和y互为倒数，则的值是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵x和y互为倒数，∴xy＝1. ∴＝2xy－1＋2－＝2－1＋2－1＝2.
4．已知÷＝M，则M等于( A )
A. B． C. D．
5．计算：①·；②·；③÷；④÷四个算式，其结果为分式的是( B )
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
6．使式子÷有意义的x的值是( D )
A．x≠3且x≠－2 B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠－3 D．x≠3且x≠－2且x≠4
7．若□÷＝，则□中应填( C )
A. B． C． D．
8．【2022·德阳】下列计算正确的是( B )
A．(a－b)2＝a2－b2 B.＝1 C．a÷a·＝a D.＝－a3b6
9．计算÷·的结果是( A )
A．1 B．x＋y C．－1 D．x－y
10．使分式·的值等于－5的a的值是( B )
A．5 B．－5 C． D．－
二、填空题
11．计算：÷＝____·____＝____.
【答案】
12．一艘船顺流航行的速度为 km/h，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘船逆流航行x h走的路程是_______km.
【答案】
13．若÷(－)的值为，则x的值为______________.
【答案】－2
14．如果m2＋2m－3＝0，那么÷的值为___.
【答案】3
15．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是.
请你写出一个符合上述条件的题目：_____________________________.
【答案】(x＋2)·(答案不唯一)
三、解答题
16．计算：
(1)·；
解：原式＝.
(2)·.
解：原式＝.
(3)÷；
解：原式＝.
(4)(a2－4)÷；
解：原式＝a2－2a.
(5)÷.
解：原式＝.
(6)【2023·云南师范大学附属中学模拟】÷.
解：原式＝·
＝＝.
【总结】计算分式除法的一般步骤：
1．如果分式的分子、分母为多项式，先要进行因式分解；
2．利用除法法则，将除法运算转化为乘法运算；
3．运用分式的乘法法则计算；
4．约分化简，结果必须化为最简分式或整式．
17．已知＝≠0，求代数式·(a－2b)的值．
解：原式＝，
由＝≠0得a＝b，
∴原式＝＝.
18．(1)先化简，再求值：÷，其中x＝.
解：(1)原式＝÷
＝·＝.
当x＝时，原式＝＝＝2.
(2)先化简÷·，然后从0，1，2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
原式＝··＝x＋2.
∵当x取0或2时，原式无意义，
∴x只能取1，当x＝1时，原式＝3.
19．先化简，再求值：(－)÷，其中x＝.
解：原式＝·(x＋1)(x－1)
＝·(x＋1)(x－1)－·(x＋1)(x－1)
＝x2＋x－x＋1＝x2＋1.
当x＝时，原式＝x2＋1＝()2＋1＝2＋1＝3.
20．(1)计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)；
(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简代数式÷.
解：(1)(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3.
(2)根据(1)中计算可得m3－n3＝(m－n)(m2＋mn＋n2)，故÷＝·＝m＋n.
21．为了美化环境，需要在某块空地上种植m棵树，若甲队单独植树，则需要n天(n＞1)才能完成；若乙队单独植树，则乙队完成这项工程的时间比甲队的2倍多1天．问甲队每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由．
解：甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍．
理由：由题意可知，甲队每天植树的棵数为，
乙队每天植树的棵数为，则
÷＝·＝.
因为n>1，所以2n＋1<3n，所以＜，
即＜3.
故甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍．
22．若分式的值为正，求m的取值范围．
关于这道题，某同学根据分式即除法，利用除法处理符号的原则，同号相除得正，得2m－1＞0，求得m＞.
(1)若＜0，求m的取值范围；
(2)若＞0，求m的取值范围；
(3)若＜0，求m的取值范围．
解：(1)∵＜0，∴3－m＞0，解得m＜3
(2)∵＞0，m2＋2＞0，∴2m＋3＞0，解得m＞－
(3)∵＜0，∴或解得m＞3或m＜1
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
【知识重点】
知识点1 分式的乘法
1. 分式的乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
用字母表示为· ＝.
2. 法则的运用方法
(1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则计算后再约分；
(2)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，看能否约分，再进行乘法运算；
(3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参与运算.
特别解读
分式乘法运算的基本步骤：
① 确定积的符号，写在积中分式的前面;
② 运用法则，将分子与分母分别相乘，是多项式的要带括号;
③ 约分，将结果化成最简分式或整式.
知识点2 分式的除法
1. 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
用字母表示为÷＝ · ＝.
2. 法则的运用方法
(1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算；
(2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算.
特别提醒
分式除法运算的基本步骤：
① 将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；
② 将除法转化成乘法；
③ 利用分式的乘法法则计算.
【经典例题】
【例1】计算：(1)·；
(2)·.
【思路分析】(1)可直接利用乘法法则进行；(2)要先把分子、分母分解因式，再运用分式乘法法则．
【规范解答】
【方法归纳】分式的乘法，先用分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，然后再约分；或者先约分再进行分式的乘法计算．
【例2】计算：
(1)÷；
(2)÷.
【思路分析】(1)直接利用分式的除法法则运算；(2)先把除转化为乘，然后把分子、分母分解因式，再进行运算．
【规范解答】
【方法归纳】根据分式的乘除法法则，应先化成一个分式后再进行约分，但在实际计算中，这样的做法有时候就显得繁琐，因此往往在运算过程中，先约分，再相乘.
【同步练习】
一、选择题
1．计算(－a)2·的结果为( )
A．b B．－b C．ab D.
2．计算－·的结果是( )
A．－6a2b2 B．－6b2C．2b2 D．－2b2
3．【2022·河北】若x和y互为倒数，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知÷＝M，则M等于( )
A. B． C. D．
5．计算：①·；②·；③÷；④÷四个算式，其结果为分式的是( )
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
6．使式子÷有意义的x的值是( )
A．x≠3且x≠－2 B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠－3 D．x≠3且x≠－2且x≠4
7．若□÷＝，则□中应填( )
A. B． C． D．
8．【2022·德阳】下列计算正确的是( )
A．(a－b)2＝a2－b2 B.＝1 C．a÷a·＝a D.＝－a3b6
9．计算÷·的结果是( )
A．1 B．x＋y C．－1 D．x－y
10．使分式·的值等于－5的a的值是( )
A．5 B．－5 C． D．－
二、填空题
11．计算：÷＝____·____＝____.
12．一艘船顺流航行的速度为 km/h，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘船逆流航行x h走的路程是_______km.
13．若÷(－)的值为，则x的值为______________.
14．如果m2＋2m－3＝0，那么÷的值为___.
15．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是.
请你写出一个符合上述条件的题目：_____________________________.
三、解答题
16．计算：
(1)·；(2)·.
(3)÷；(4)(a2－4)÷；
(5)÷.(6)【2023·云南师范大学附属中学模拟】÷.
17．已知＝≠0，求代数式·(a－2b)的值．
18．(1)先化简，再求值：÷，其中x＝.
(2)先化简÷·，然后从0，1，2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
19．先化简，再求值：(－)÷，其中x＝.
20．(1)计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)；
(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简代数式÷.
21．为了美化环境，需要在某块空地上种植m棵树，若甲队单独植树，则需要n天(n＞1)才能完成；若乙队单独植树，则乙队完成这项工程的时间比甲队的2倍多1天．问甲队每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由．
22．若分式的值为正，求m的取值范围．
关于这道题，某同学根据分式即除法，利用除法处理符号的原则，同号相除得正，得2m－1＞0，求得m＞.
(1)若＜0，求m的取值范围；
(2)若＞0，求m的取值范围；
(3)若＜0，求m的取值范围．
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：(1)·；
(2)·.
【思路分析】(1)可直接利用乘法法则进行；(2)要先把分子、分母分解因式，再运用分式乘法法则．
【规范解答】(1)原式＝＝＝－；
(2)原式＝·＝＝.
【方法归纳】分式的乘法，先用分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，然后再约分；或者先约分再进行分式的乘法计算．
【例2】计算：
(1)÷；
(2)÷.
【思路分析】(1)直接利用分式的除法法则运算；(2)先把除转化为乘，然后把分子、分母分解因式，再进行运算．
【规范解答】(1)原式＝·＝－；
(2)原式＝·＝＝－.
【方法归纳】根据分式的乘除法法则，应先化成一个分式后再进行约分，但在实际计算中，这样的做法有时候就显得繁琐，因此往往在运算过程中，先约分，再相乘.
【同步练习】
一、选择题
1．计算(－a)2·的结果为( A )
A．b B．－b C．ab D.
2．计算－·的结果是( C )
A．－6a2b2 B．－6b2C．2b2 D．－2b2
3．【2022·河北】若x和y互为倒数，则的值是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵x和y互为倒数，∴xy＝1. ∴＝2xy－1＋2－＝2－1＋2－1＝2.
4．已知÷＝M，则M等于( A )
A. B． C. D．
5．计算：①·；②·；③÷；④÷四个算式，其结果为分式的是( B )
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
6．使式子÷有意义的x的值是( D )
A．x≠3且x≠－2 B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠－3 D．x≠3且x≠－2且x≠4
7．若□÷＝，则□中应填( C )
A. B． C． D．
8．【2022·德阳】下列计算正确的是( B )
A．(a－b)2＝a2－b2 B.＝1 C．a÷a·＝a D.＝－a3b6
9．计算÷·的结果是( A )
A．1 B．x＋y C．－1 D．x－y
10．使分式·的值等于－5的a的值是( B )
A．5 B．－5 C． D．－
二、填空题
11．计算：÷＝____·____＝____.
【答案】
12．一艘船顺流航行的速度为 km/h，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘船逆流航行x h走的路程是_______km.
【答案】
13．若÷(－)的值为，则x的值为______________.
【答案】－2
14．如果m2＋2m－3＝0，那么÷的值为___.
【答案】3
15．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与分式相乘．
乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解．
丙：计算结果是.
请你写出一个符合上述条件的题目：_____________________________.
【答案】(x＋2)·(答案不唯一)
三、解答题
16．计算：
(1)·；
解：原式＝.
(2)·.
解：原式＝.
(3)÷；
解：原式＝.
(4)(a2－4)÷；
解：原式＝a2－2a.
(5)÷.
解：原式＝.
(6)【2023·云南师范大学附属中学模拟】÷.
解：原式＝·
＝＝.
【总结】计算分式除法的一般步骤：
1．如果分式的分子、分母为多项式，先要进行因式分解；
2．利用除法法则，将除法运算转化为乘法运算；
3．运用分式的乘法法则计算；
4．约分化简，结果必须化为最简分式或整式．
17．已知＝≠0，求代数式·(a－2b)的值．
解：原式＝，
由＝≠0得a＝b，
∴原式＝＝.
18．(1)先化简，再求值：÷，其中x＝.
解：(1)原式＝÷
＝·＝.
当x＝时，原式＝＝＝2.
(2)先化简÷·，然后从0，1，2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
原式＝··＝x＋2.
∵当x取0或2时，原式无意义，
∴x只能取1，当x＝1时，原式＝3.
19．先化简，再求值：(－)÷，其中x＝.
解：原式＝·(x＋1)(x－1)
＝·(x＋1)(x－1)－·(x＋1)(x－1)
＝x2＋x－x＋1＝x2＋1.
当x＝时，原式＝x2＋1＝()2＋1＝2＋1＝3.
20．(1)计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)；
(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简代数式÷.
解：(1)(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3.
(2)根据(1)中计算可得m3－n3＝(m－n)(m2＋mn＋n2)，故÷＝·＝m＋n.
21．为了美化环境，需要在某块空地上种植m棵树，若甲队单独植树，则需要n天(n＞1)才能完成；若乙队单独植树，则乙队完成这项工程的时间比甲队的2倍多1天．问甲队每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由．
解：甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍．
理由：由题意可知，甲队每天植树的棵数为，
乙队每天植树的棵数为，则
÷＝·＝.
因为n>1，所以2n＋1<3n，所以＜，
即＜3.
故甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍．
22．若分式的值为正，求m的取值范围．
关于这道题，某同学根据分式即除法，利用除法处理符号的原则，同号相除得正，得2m－1＞0，求得m＞.
(1)若＜0，求m的取值范围；
(2)若＞0，求m的取值范围；
(3)若＜0，求m的取值范围．
解：(1)∵＜0，∴3－m＞0，解得m＜3
(2)∵＞0，m2＋2＞0，∴2m＋3＞0，解得m＞－
(3)∵＜0，∴或解得m＞3或m＜1