人教版数学八年级上册 周末培优七 （14.2—14.3）（含答案）

人教版数学八年级上册 周末培优七
（范围：14.2—14.3）
一、选择题
1．【2022·株洲】下列运算正确的是( )
A．a2·a3＝a5 B．(a3)2＝a5 C．(ab)2＝ab2 D．＝a3(a≠0)
2．已知m2－n2＝4，那么(m＋n)2(m－n)2的结果是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
3．因式分解a2－4的值是( )
A．(a＋2)(a－2) B．(a－2)2 C．(a＋2)2 D．a(a－2)
4．计算(－4xy2＋3x2y)(4xy2＋3x2y)的最佳方法是( )
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
5．下列计算中，正确的是( )
A．(a＋3)2＝a2＋9 B．a8÷a4＝a2 C．2(a－b)＝2a－b D．a2＋a2＝2a2
6．下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax) B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2 D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
7．已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
8．2 0223－2 022不是下列哪个数的倍数(　　)
A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024
9．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A．被8整除 B．被m整除 C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
10．若x＋y＝2a，x－y＝2b，则xy的值为( )
A．ab B．a2＋b2 C．a2－b2 D．(a2＋b2)
11．对于任意正整数n，能整除(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的整数是( )
A．3 B．6 C．9 D．10
12．若a2＋2b2＋5c2＝4bc－2ab＋2c－1，则a－b＋c的值是( )
A．－3 B．0 C．1 D．2
二、填空题
13．已知2a－3b2＝5，则10－2a＋3b2＝___.
14．(1)因式分解：mn3－4mn＝________；
(2)(x－3)2＝x2＋____＋9.
15．计算：2 0212－2 0202＝____．
16．已知a＝7－3b，则代数式a2＋6ab＋9b2的值为___________．
17．已知a2－6a＋9与互为相反数，则a3b3＋2a2b2＋ab的值为____．
18．已知x，y为实数，＋y2－4y＝－4，若axy－3x＝y，则实数a的值为___.
19．已知(m－53)(m－47)＝24，则(m－53)2＋(m－47)2的值为______.
20．如图，边长为2m＋3的正方形纸片剪出一个边长为m＋3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为________．
21．观察下列各式，探索发现规律：
52－32＝8×2；92－72＝8×4；132－112＝8×6；172－152＝8×8…
请你再写出两个具有上述规律的算式_________________________________________．
三、解答题
22．化简：
(1)(a＋2)(a－2)－a(a＋1)；
(2)(2a＋3b－1)(－1－2a－3b)；
(3)(x＋2y)(x－2y)－(x＋y)2；
(4)9×11×101×10 001.
23．分解因式：
(1)2m(a－b)－3n(b－a)；
(2)(a－2b)2－25b2；
(3)－4a2＋24a－36；
(4)(x2－10)2＋2(x2－10)＋1.
24．已知a－b＝3，ab＝4，求下列式子的值：
(1)a2b－ab2；
(2)a4b2－2a3b3＋a2b4.
25．(1)化简：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2；
(2)利用(1)题的结论且a＝2 018x＋2 019，b＝2 018x＋2 020，c＝2 018x＋2 021，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．
26．先阅读下列材料，再解答下列问题：
因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2，
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：9＋6(x－y)＋(x－y)2＝____________________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－8)＋16；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)·(n＋3)·(n＋4)＋1的值一定是某一个整数的平方．
27．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为神秘数．如：4＝22－02；12＝42－22；20＝62－42；因此，4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是不是神秘数？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k和2k＋2(其中k为非负整数)，则由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由；
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是不是神秘数？请说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．【2022·株洲】下列运算正确的是( A )
A．a2·a3＝a5 B．(a3)2＝a5 C．(ab)2＝ab2 D．＝a3(a≠0)
2．已知m2－n2＝4，那么(m＋n)2(m－n)2的结果是( C )
A．4 B．8 C．16 D．32
3．因式分解a2－4的值是( A )
A．(a＋2)(a－2) B．(a－2)2 C．(a＋2)2 D．a(a－2)
4．计算(－4xy2＋3x2y)(4xy2＋3x2y)的最佳方法是( B )
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
5．下列计算中，正确的是( D )
A．(a＋3)2＝a2＋9 B．a8÷a4＝a2 C．2(a－b)＝2a－b D．a2＋a2＝2a2
6．下列因式分解正确的是( D )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax) B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2 D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
7．已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是( C )
A．2 B．3 C．4 D．6
8．2 0223－2 022不是下列哪个数的倍数(　D　)
A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024
9．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( A )
A．被8整除 B．被m整除 C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
10．若x＋y＝2a，x－y＝2b，则xy的值为( C )
A．ab B．a2＋b2 C．a2－b2 D．(a2＋b2)
11．对于任意正整数n，能整除(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的整数是( D )
A．3 B．6 C．9 D．10
12．若a2＋2b2＋5c2＝4bc－2ab＋2c－1，则a－b＋c的值是( A )
A．－3 B．0 C．1 D．2
二、填空题
13．已知2a－3b2＝5，则10－2a＋3b2＝___.
【答案】5
14．(1)因式分解：mn3－4mn＝________；
(2)(x－3)2＝x2＋____＋9.
【答案】mn(n＋2)(n－2) (－6x)
15．计算：2 0212－2 0202＝____．
【答案】4041
16．已知a＝7－3b，则代数式a2＋6ab＋9b2的值为___________．
【答案】49
17．已知a2－6a＋9与互为相反数，则a3b3＋2a2b2＋ab的值为____．
【答案】48
18．已知x，y为实数，＋y2－4y＝－4，若axy－3x＝y，则实数a的值为___.
【答案】
19．已知(m－53)(m－47)＝24，则(m－53)2＋(m－47)2的值为______.
【答案】84
20．如图，边长为2m＋3的正方形纸片剪出一个边长为m＋3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为________．
【答案】(8m＋12)
21．观察下列各式，探索发现规律：
52－32＝8×2；92－72＝8×4；132－112＝8×6；172－152＝8×8…
请你再写出两个具有上述规律的算式_________________________________________．
【答案】72－52＝8×3，112－92＝8×5(答案不唯一)
三、解答题
22．化简：
(1)(a＋2)(a－2)－a(a＋1)；
解：原式＝a2－4－a2－a＝－4－a
(2)(2a＋3b－1)(－1－2a－3b)；
解：原式＝(－1)2－(2a＋3b)2
＝－4a2－12ab－9b2＋1
(3)(x＋2y)(x－2y)－(x＋y)2；
解：原式＝x2－4y2－(x2＋2xy＋y2)
＝－5y2－2xy
(4)9×11×101×10 001.
解：原式＝108－1
23．分解因式：
(1)2m(a－b)－3n(b－a)；
解：原式＝(a－b)(2m＋3n)
(2)(a－2b)2－25b2；
解：原式＝(a－2b＋5b)(a－2b－5b)
＝(a＋3b)(a－7b)
(3)－4a2＋24a－36；
解：原式＝－4(a2－6a＋9)＝－4(a－3)2
(4)(x2－10)2＋2(x2－10)＋1.
解：原式＝(x2－10＋1)2＝(x2－9)2＝(x＋3)2(x－3)2
24．已知a－b＝3，ab＝4，求下列式子的值：
(1)a2b－ab2；
(2)a4b2－2a3b3＋a2b4.
解：(1)∵a－b＝3，ab＝4，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝4×3＝12
(2)∵a－b＝3，ab＝4，
∴a4b2－2a3b3＋a2b4＝a2b2(a2－2ab＋b2)＝(ab)2(a－b)2＝42×32＝144
25．(1)化简：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2；
(2)利用(1)题的结论且a＝2 018x＋2 019，b＝2 018x＋2 020，c＝2 018x＋2 021，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＝2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc
(2)原式＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，
∴a＝2 018x＋2 019，b＝2 018x＋2 020，c＝2 018x＋2 021，
∴a－b＝－1，b－c＝－1，c－a＝2，
∴原式＝×[(－1)2＋(－1)2＋22]＝3
26．先阅读下列材料，再解答下列问题：
因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2，
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：9＋6(x－y)＋(x－y)2＝____________________；
【答案】(x－y＋3)2
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－8)＋16；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)·(n＋3)·(n＋4)＋1的值一定是某一个整数的平方．
解：(2)将“a＋b”看成整体，令a＋b＝A，则
原式＝A(A－8)＋16＝A2－8A＋16＝(A－4)2，再将“A”还原，得原式＝(a＋b－4)2
(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＋1
＝[(n＋1)(n＋4)]·[(n＋3)(n＋2)]＋1
＝(n2＋5n＋4)(n2＋5n＋6)＋1.
令n2＋5n＝A，则
原式＝(A＋4)(A＋6)＋1＝A2＋10A＋25
＝(A＋5)2＝(n2＋5n＋5)2.
∵n为正整数，∴n2＋5n＋5是整数，
∴式子(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＋1的值是某一个整数的平方
27．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为神秘数．如：4＝22－02；12＝42－22；20＝62－42；因此，4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是不是神秘数？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k和2k＋2(其中k为非负整数)，则由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由；
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是不是神秘数？请说明理由．
解：(1)28和2012都是神秘数，理由如下：设28是x和x－2两数的平方差得到，则x2－(x－2)2＝28，解得x＝8，∴x－2＝6，即28＝82－62，设2012是y和y－2两数的平方差得到，则y2－(y－2)2＝2012，解得y＝504，y－2＝502，即2012＝5042－5022，∴28，2012都是神秘数　
(2)∵(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，∴由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍　
(3)不是．理由如下：设两个连续奇数为2k＋1和2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k＝4×2k，即两个连续奇数的平方差是4的倍数，且是偶数倍，不满足两个连续偶数构造的神秘数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是神秘数