【高考专辑】【专题2】2015年高三数学（理）【押题精练】函数与导数

课件77张PPT。专题二
函数与导数天津南开市2015届高三 函数与导数要 点 回 扣易 错 警 示查 缺 补 漏3要点回扣1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同.[问题1]　函数y＝ 的定义域是________.2.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.[问题2]　已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝_______________.1－x2(x∈[－1,1])3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数.
答案　奇5.弄清函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件.解析　由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，
解得a＝－1，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，
故f(x)＝y1－y2是增函数.选D.
答案　D6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.(－∞，0)，(0，＋∞)7.求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数.
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数.
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数.
(4)导数法：适合于可导函数.
(5)换元法(特别注意新元的范围).(6)分离常数法：适合于一次分式.
(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.8.函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.[问题8]　函数y＝|log2|x－1||的递增区间是______
____________.作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞).[0,1)，[2，＋∞)10.二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.[问题10]　若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个
正根，则a的范围为__________.(2)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0).[问题11]　函数y＝loga|x|的增区间为_____________.答案　当a>1时，(0，＋∞)；
当0形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数.
(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线.
②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线.
③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的.④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的.
(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数.B13.函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根.反之不成立.[问题13]　已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析　f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，
∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f(2)＝2×3－4＝2>0.
又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，
∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点.
因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根.
答案　B15.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.
注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此.[问题15]　函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________.解析　f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点.x＝1易错点1　函数概念不清致误易错点2　忽视函数的定义域致误易错点3　混淆“切点”致误易错警示易错点4　极值的概念不清致误易错点5　错误利用定积分求面积易错点1　函数概念不清致误∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}.找准失分点设x2－3＝t，则x2＝t＋3，∴f(x)的定义域为{x|x>1}.易错点2　忽视函数的定义域致误找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x).即函数的定义域是{x|－1∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，
∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.找准失分点错把(1，－1)当切点.正解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.易错点4　极值的概念不清致误例4　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.错解　－7或0找准失分点x＝1是f(x)的极值点?f′(1)＝0；
忽视了“f′(1)＝0 x＝1是f(x)的极值点”的情况.正解　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得当a＝4，b＝－11时，
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)
在x＝1两侧的符号相反，符合题意.
当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去.
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
答案　－7易错点5　错误利用定积分求面积例5　求曲线y＝sin x与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S.找准失分点面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数.所以，不应该将两部分直接相加.答案　4查缺补漏123456789101112查缺补漏B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误.答案　A123456789101112查缺补漏123456789101112查缺补漏答案　C123456789101112查缺补漏3.下列各式中错误的是(　　)
A.0.83>0.73 B.log0.50.4>log0.50.6
C.0.75－0.1<0.750.1 D.lg 1.6>lg 1.4解析　构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数y＝x3，为增函数，故A对；
对于B、D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lg x为增函数，B、D都正确；
对于C，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故C错.C123456789101112查缺补漏4.函数f(x)＝－ ＋log2x的一个零点落在下列哪个区间(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析　根据函数的零点的存在性定理得f(1)f(2)<0.B123456789101112查缺补漏5.(2014·天津)函数f(x)＝ (x2－4)的单调递增区间是(　　)
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)123456789101112查缺补漏解析　因为y＝ t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，
即求函数t＝x2－4的单调递减区间，
结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).
答案　D123456789101112查缺补漏123456789101112查缺补漏由图象知只有D正确.
答案　D123456789101112查缺补漏123456789101112查缺补漏123456789101112查缺补漏解析　由函数f(x)的导函数的图象可得，函数f(x)是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f(x)图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f(x)的草图如图所示，123456789101112查缺补漏由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.答案　D123456789101112查缺补漏8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.解析　因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
因为f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以|x|<2，所以－2y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图
所示，作出两个函数图象，显然当a≤1时，两个函数图象有两个交点，
当a>1时，两个函数图象的交点只有一个.
所以实数a的取值范围是(1，＋∞).
答案　(1，＋∞)123456789101112查缺补漏10.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________.123456789101112查缺补漏11.f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________.解析　f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
f′(2)＝0?c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，123456789101112查缺补漏∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，
同样验证可知c＝6符合题意.
答案　6123456789101112查缺补漏123456789101112查缺补漏因为x>0且x≠1，所以φ′(x)>0.
故函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞).123456789101112查缺补漏(2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立，求实数a的取值范围.123456789101112查缺补漏因为x≥1，故h′(x)≤0.
所以h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
由ln a≥h(x)max＝h(1)＝0，解得a≥1.
故实数a的取值范围为[1，＋∞).123456789101112