【高考专辑】【专题34】2015年高三数学（理）【押题精练】解答题的八个答题模板

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解答题的八个答题模板天津南开市2015届高三解答题的八个答题模板主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题题型特点概述 　解答题的八个答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板4　利用空间向量求角问题模板1　三角变换与三角函数的性质问题模板2　解三角形问题模板3　数列的通项、求和问题模板5　圆锥曲线中的范围问题模板6　解析几何中的探索性问题模板7　离散型随机变量的均值与方差模板8　函数的单调性、极值、最值问题目
录
页7模板1　三角变换与三角函数的性质问题不同角化同角审 题 路 线 图降幂扩角化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h结合性质求解．规 范 解 答 示 例f(x)取得最大值3；f(x)取得最小值－1.构 建 答 题 模 板第一步　化简：三角函数式的化简，一般化成y＝
Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、
一函数”的形式．第二步　整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用
y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件．第三步　求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果．
第四步　反思：反思回顾，查看关键点，易错点，
对结果进行估算，检查规范性.模板2　解三角形问题(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)求角B的取值范围．审 题 路 线 图规 范 解 答 示 例所以a＋c＋(acos C＋ccos A)＝3b，整理，得a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列．构 建 答 题 模 板第一步　定条件：即确定三角形中的已知和所求，
在图形中标注出来，然后确定转化的方向．
第二步　定工具：即根据条件和所求，合理选择转
化的工具，实施边角之间的互化．
第三步　求结果．第四步　再反思：在实施边角互化的时候应注意转
化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边
之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然
后进行恒等变形.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.因为a>c，所以a＝3，c＝2.解　(2)在△ABC中，因为a＝b>c，所以C为锐角，于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C模板3　数列的通项、求和问题变式训练1　(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.审 题 路 线 图(1)anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0→→cn＋1－cn＝2→cn＝2n－1规 范 解 答 示 例解　(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)，所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，
故cn＝2n－1.解　(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.构 建 答 题 模 板第一步　找递推：根据已知条件确定数列相邻两项
之间的关系，即找数列的递推公式．
第二步　求通项：根据数列递推公式转化为等差或
等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求
通项公式．第三步　定方法：根据数列表达式的结构特征确定
求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、
分组法等)．
第四步　写步骤：规范写出求和步骤．
第五步　再反思：反思回顾，查看关键点、易错点
及解题规范.又数列{an}是等比数列，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．
∴bn＝2n－1 (n∈N*)．模板4　利用空间向量求角问题例4　(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD
－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，
∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线
段AB的中点．
(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝ ，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．审 题 路 线 图(1)M是AB中点，四边形ABCD是等腰梯形CD∥AM CD＝AM??AMC1D1→C1M∥平面A1ADD1规 范 解 答 示 例(1)证明　因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC.又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA.连接AD1，如图(1)．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，
可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，
因为C1M∥D1A.
又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1，
所以C1M∥平面A1ADD1.(2)解　方法一　如图(2)，连接AC，MC.由(1)知CD∥AM且CD＝AM，
所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC＝AD＝MC，
由题意得∠ABC＝∠DAB＝60°，
所以△MBC为正三角形，因此CA⊥CB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的
空间直角坐标系C－xyz，设平面C1D1M的一个法向量为n＝(x，y，z)，方法二　由(1)知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N，如图(3)．由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，因此∠D1NC为二面角C1－AB－C的平面角．在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，所以Rt△D1CN中，构 建 答 题 模 板第一步　找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三
条两两垂直的直线．
第二步　写坐标：建立空间直角坐标系，写出特
征点坐标．
第三步　求向量：求直线的方向向量或平面的法
向量．第四步　求夹角：计算向量的夹角．
第五步　得结论：得到所求两个平面所成的角或直
线和平面所成的角.变式训练4　如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)．设平面ADC1的法向量为m＝(x，y，z)，取z＝1，得y＝－2，x＝2，
所以平面ADC1的一个法向量为m＝(2，－2,1)．设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ，模板5　圆锥曲线中的范围问题(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围．审 题 路 线 图(1)设方程→解系数→得结论规 范 解 答 示 例设c>0，c2＝a2－b2，解　(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.由(*)式，得k2>2m2－2，构 建 答 题 模 板第一步　提关系：从题设条件中提取不等关系式．
第二步　找函数：用一个变量表示目标变量，代入
不等关系式．
第三步　得范围：通过求解含目标变量的不等式，
得所求参数的范围．
第四步　再回顾：注意目标变量的范围所受题中其
他因素的制约.由点到直线的距离公式，且a>1，模板6　解析几何中的探索性问题审 题 路 线 图规 范 解 答 示 例解　(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，构 建 答 题 模 板第一步　先假定：假设结论成立．
第二步　再推理：以假设结论成立为条件，进行推理
求解．
第三步　下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯
定假设；若推出矛盾则否定假设．
第四步　再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐
含条件等)，审视解题规范性.(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交
直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、
四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：
是否存在总与直线l有且只有一个公共点的
双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有
一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，若存在满足条件的双曲线E，以下证明：当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，记A(x1，y1)，B(x2，y2)．即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)．所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，
即4m2a2＋t2－a2＝0，
即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，
即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，方法三　当直线l不与x轴垂直时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意，得k>2或k<－2.得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0.又因为△OAB的面积为8，化简，得x1x2＝4.得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，模板7　离散型随机变量的均值与方差审 题 路 线 图(1)标记事件→对事件分解→计算概率规 范 解 答 示 例解　(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是解　(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.则ξ的分布列为构 建 答 题 模 板第一步　定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值．
第二步　定性：明确每个随机变量取值所对应的事件．
第三步　定型：确定事件的概率模型和计算公式．
第四步　计算：计算随机变量取每一个值的概率．
第五步　列表：列出分布列．
第六步　求解：根据均值、方差公式求解其值.变式训练7　(2014·江西)随机将1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2，B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；
(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；解　(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有 ＝20(种)，所以ξ的分布列为解　(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n－1，n，n＋1，…，2n－2.
又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1,2，…，n－2)(n≥3)时，不同的分组方法有2 种；用数学归纳法来证明：2°假设n＝m(m≥3)时①式成立，即当n＝m＋1时①式也成立．模板8　函数的单调性、极值、最值问题(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．审 题 路 线 图规 范 解 答 示 例所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为由于a≠0，以下分两种情况讨论．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x1＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.构 建 答 题 模 板第一步　求导数：求f(x)的导数f′(x)．注意f(x)的
定义域.
第二步　解方程：解f′(x)＝0，得方程的根.
第三步　列表格：利用f′(x)＝0的根将f(x)定义域
分成若干个小开区间，并列出表格.第四步　得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、
最值等.
第五步　再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注
意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性.变式训练8　(2014·重庆)已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；
(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解　(1)对f(x)求导，得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，
由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)恒成立，
即2(a－b)·(e2x－e－2x)＝0恒成立，所以a＝b.
又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
解　(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，故f(x)在R上为增函数．解　(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；当x1又当x>x2时,f′(x)>0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．