1.3.1勾股定理的应用 课件（21张PPT） 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

(共21张PPT)
1.3.1 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
课前提问：（2分钟）
1、什么是勾股定理？用字母怎么表示？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b、c
分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2
2、勾股定理的逆定理是什么？
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
3、什么是勾股数？有哪些常见的勾股数？
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8,15,17；
7,24,25；9,40,41…
学习目标（1分钟）
1、掌握立体图形中圆柱体和长方体的最短线路问题的解题思路；
2、熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
自学指导1（1分钟）
仔细阅读课本P13 “做一做”之前的内容，思考并回答下列问题：
如图，有一个圆柱体，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm。在圆柱下底面的点Ａ有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点Ａ相对的点Ｂ处的食物，沿圆柱体侧面爬行到Ｂ点。
３、哪条路径最短？最短路程是多少？
１、从A点沿圆柱侧面到Ｂ点有多少条路径？
答：有无数多条。
●
A
A
B
C
●
●
B
C
●
２、如将其侧面展开，Ａ点在矩形左下角，则Ｂ点在哪？
答：Ｂ在上边的中点处。
答：线段AB最短。最短路程是15cm.
自学（3分钟）
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
解：如图所示：
AC = 6 – 1 = 5 m，
BC = 24 × = 12m，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13m
B
A
C
2
1
自学检测1（5分钟）
因此蚂蚁爬行的最短路线长为13m
讨论、更正、点拨（2分钟）
蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点最近？
A
B
A
B
A
B
A
B
（１）
（２）
（３）
（４）
方法点拨：圆柱体（或几何体）表面求最短路径
①展（将路径经过的侧面展开在同一平面上）
②找（在展开平面上找对应点）
③连（用线段将两对应点连接，最短路径为该线段）
④解（利用勾股定理求③ 中线段长即得解）
如图正方体棱长为a，如图一只蚂蚁从Ａ点经正方体表面爬行到Ｇ点。
1、蚂蚁经过哪些正方体表面能从A点爬行到G点？
A
B
C
D
E
F
G
H
2、有最短路径吗？请通过计算说明？
自学指导2（1分钟）
学生自学、教师巡视（3分钟）
1、解：蚂蚁可从侧面
共６种情况从Ａ点爬行到Ｇ点。
前
上
右
下
后
右
左
上
后
如图正方体棱长为a，如图一只蚂蚁从Ａ点经正方体表面爬行到Ｇ点。
1、蚂蚁经过哪些正方体表面能从A点爬行到G点？
2、有最短路径吗？请通过计算说明？
自学指导2（1分钟）
学生自学、教师巡视（3分钟）
a
a
a
前
右
A
B
C
D
E
F
G
H
２、解： ①前侧面+右侧面（或左侧面+后侧面）
点拨（2分钟）正方体爬行路径(分三种情况)
正方体爬行路径三种情况都相等
d2=a2+4a2=5a2
A
B
F
E
H
G
前（后）
上（下）
（3）
d
a
a
a
a
所以，有最短路径，长的平方为5a2
前（后）
右（左）
B
C
A
E
F
G
(1)
d
a
a
a
D
A
E
H
G
F
左（右）
（2）
d
a
a
a
上（下）
A
B
C
D
E
F
G
H
●
●
解：
如把正方体变成如下图的长方体，长方体底面长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有多少种爬行可能？哪种爬行路径的距离最短？是多少？
自学检测2（4分钟）
解：长方体侧面展开图一共有三种情况，如上图，其距离分别是：
第一种：
第二种：
第三种：
D
A
G
H
F
E1
2
4
1
左（右）
上（下）
（1）
B
A
G
F
H
E2
2
4
1
前（后）
上（下）
（2）
A
B
C
F
G
E3
4
1
2
前
（后）
右（左）
（3）
AE12=22+52=29
AE22=12+62=37
AE32=32+42=25
∵AE22 ＞ AE12＞AE32
∴最短路径是AE3，距离是5
点拨：（4分钟）
长方体的最短路径d的计算方法为 d =a +(b+c) ，其中a为最大棱长。
小结:(2分钟)
一、立体图形求最短路径问题的思路：
二、正方体最短路径d计算方法
d2=a2+4a2=5a2
三、长方体最短路径d计算方法
d2=a2+(b+c)2
最大棱长
方法点拨：几何体表面求最短路径
①展（将路径经过的侧面展开在同一平面上）
②找（在展开平面上找对应点）
③连（用线段将两对应点连接，最短路径为该线段）
④解（利用勾股定理求③ 中线段长即得解）
当堂训练（14分钟）
2、如右下图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）
A
1．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的半径为 cm，那么最短路径AB长( )．
D
A.8 B.6 C.平方后为208的数 D.10
12≤a≤13 B.12≤a≤15
C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤13
A
B
O
3.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，最近距离是 。
分析：
25
4、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别是8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？（课本P15 T4）
B2
B1
解：由勾股定理得：
AB12=82+202=464
AB22=162+122=400
∵AB12＞AB22
∴AB2=20cm
∴蚂蚁要爬行的最短行程是20cm
1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长
为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂
蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm
与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的
最短距离为 cm．
15
选做题
2.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC= BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是_________
3、有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是_________
正本作业：P19 T12.
5cm
3米
1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
·
A
·
C
A1
15
9
4
4
4
选做题答案
2.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC= BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是多少？
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC1=3cm，
∵PC1= BC1，
∴PC1= ×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP2=AC12+CP2=32+42=52， ∴AP=5
因此最短距离是5cm
C1
解：侧面展开图如图所示，
3、有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米，有
故，铁棒最长是2.5+0.5=3(米)
因此:这根铁棒的最长3米，最短2米.
故，最短是1.5+0.5=2(米)
当铁棒最短时:
A
C
B
最短是多少米？
解：长方体侧面展开图一共有三种情况，如上图，其距离分别是：
正本作业：P19 T12.
AB12=AD2+B1D2=202+(10+5)2=625=252
AB22=AE2+B2E2=102+(20+5)2=725
AB32=AC2+B3C2=(10+20)2+52=925
∵AB32 ＞ AB22 ＞ AB12
所以蚂蚁需要爬行的最短路程是AB1，距离是25cm.
(1)
(2)
(3)
板 书 设 计：
1.3勾股定理的应用(1)
一、立体图形求最短路径问题的思路：
1. 立体图形展开成平面图形。
2.根据 “两点之间，线段最短”，构建直角三角形利用勾股定理求解。
二、正方体最短路径d计算方法
d2=a2+4a2=5a2
三、长方体最短路径d计算方法
d2=a2+(b+c)2
最大棱长