2015年中考数学易错题赏析：(七)四边形

（七）四边形
易错题赏析
易错点1：平行四边形的性质与判定.
易错题1：如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是___________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.
错解：①②
正解：①②④
赏析：本题由于不能灵活运用平行四边形与三角形的有关内容而造成错解，添加适当的辅助线是解决本题的关键.www.21-cn-jy.com
正确的解法是：如图1，分别延长EF、CD相交于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，又∵AD＝2AB，F是AD的中点，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，又∵∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCD，∴①正确；∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，又∵CE⊥AB，∴∠FCD＝90°，又∵∠A＝∠FDG，AF＝DF，∠AFE＝∠DFG，∴△AFE≌△DFG（ASA），∴EF＝GF，∴EF＝CF，∴②正确；∵S△BEC＝BE×CE，S△ECG＝CG×CE，又∵E在线段AB上，∴BE＜AB＝CD＜CG，∴S△BEC＜S△ECG，又∵EF＝GF，∴S△EFC＝S△FCG（等底同高的三角形面积相等），∴S△ECG＝2S△EFC，∴S△BEC＜2S△EFC，∴③错误；∵FG＝FC，∴∠G＝∠FCG，∴∠AEF＝∠FCG，∴∠BCD＝2∠AEF，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A＝2∠AEF，又∵∠DFE＝∠A＋∠AEF，∴∠DFE＝3∠AEF，∴④正确.故答案填①②④. 【出处：21教育名师】
易错点2：平行四边形与三角形面积求法的区别；平行四边形与特殊平行四边形的关系.
易错题2：如图，点P为平行四边形ABCD的边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2.若S＝2，则S1＋S2＝_____________.
错解：6
正解：8
赏析：本题若没有掌握平行四边形面积的特殊性，容易造成错解.如图2，过点P作PH⊥CB，交CB的延长线于点H，过点A作AG⊥CB，交CB的延长线于点G.则S△PBC＝CB×PH，S△ABC＝CB×AG，S□ABCD＝CB×AG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形AGHP为矩形，∴PH＝AG，∴S△ABC＝S△PBC＝S□ABCD，又∵S△PDC＋S△PAB＋S△PBC＝S□ABCD，S△PDC＝S1，S△PAB＝S2，∴S1＋S2＝S□ABCD，∵E、F分别为PB、PC的中点，EF∥CB，，∴△PEF∽△PBC，∴，∵△PEF的面积为2，∴S△PBC＝8，∴S□ABCD＝16，∴S1＋S2＝×16＝8.2·1·c·n·j·y
易错点3：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，过对称中心的任意一条直线把它的面积平分；对角线将平行四边形面积四等分.　　21*cnjy*com
易错题3：如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
（1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；
（2）若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ABC为多少度时，四边形ABFE是矩形？请说明理由.
错解：（1）AE＝BF.理由如下：由旋转可得AC＝FC，BC＝EC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，∴∠ACE＝∠FCB，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴AE＝BF.
（2）∵S△ABC＝4，S四边形ABFE＝2 S△ABC，∴S四边形ABFE＝4×2＝8（cm2）.
（3）当∠ABC＝45°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝90°，∴四边形ABFE是矩形.21·世纪*教育网
正解：（1）AE＝BF ，AE∥BF. 理由如下：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，∴由旋转可得AC＝FC，BC＝EC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE＝BF ，AE∥BF.
（2）由旋转可得△ABC≌△FEC，∴S△ABC＝S△FEC，又∵AC＝FC，BC＝EC，∴S△ABC＝S△ACE ＝S△FEC＝S△BFC，S□ABFE＝4 S△ABC＝4×4＝16（cm2）.【来源：21cnj*y.co*m】
（3）当∠ABC＝60°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，又∵AC＝FC，BC＝EC，∴AF＝BE，又∵四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是矩形.
赏析：第（1）小题错在只得出了数量关系，没有判断位置关系；第（2）小题可能是根据一条对角线把平行四边形的面积平分而造成错解，这里△ABC的面积不是四边形ABFE面积的一半，且没有证明四边形ABFE是平行四边形；第（3）小题错在由条件只能得到∠BAC＝90°，而不是∠BAE＝90°，且没有证明四边形ABFE是平行四边形.
易错点4：平行四边形中全等三角形与相似三角形的运用.
易错题4：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，P为对角线BD上一点，过点P作EF∥AC，交AB于点E，交BC于点F，AC＝3，BD＝8，设BP＝x，EF＝y，则y与x之间的函数关系图象是…………………………………………………………………（ ）
错解：A
正解：B
赏析：本题错解的主要原因是只考虑了点P在BO上时的情况.虽然图中点P在BO上，但题目中说的是P为对角线BD上一点，所以应分两种情况讨论求解：当P在BO上时，即0≤x≤4，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴BO＝DO＝4，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，△BPF∽△BOC，∴，，∴，又∵AC＝3，BP＝x，EF＝y，∴，∴y＝x；当P在DO上时，即4＜x≤8，如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴BO＝DO＝4，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，△DPF∽△DOC，∴，，∴，又∵AC＝3，DP＝DB－BP＝8－x，EF＝y，∴，∴y＝﹣x＋6.∴y与x的函数是分段函数，其关系图象的两部分都是直线，故选B.www-2-1-cnjy-com
易错点5：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系.
易错题5：如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接FG.下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG.其中正确结论的序号是_______________________.
错解：①③④
正解：①④⑤
赏析：本题的综合性较强，不能很好地利用正方形的特殊性质是造成错解的主要原因.对于①：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠DAC＝∠ABD＝45°，由折叠可得△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠FDE＝∠ADB＝×45°＝22.5°，∴∠AGD＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－45°－22.5°＝112.5°，故①正确；对于②：由折叠可得∠EFB＝90°，又∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF，又EF＝AE，∴BE＝AE，∴AD＝AB＝(＋1)AE.在Rt△ADE中，tan∠AED＝＝＋1，故②错误；对于③：由折叠可得AG＝FG，又∵在Rt△OGF中，GF＞OG，∴AG＞OG，又∵S△AGD＝AG×DO，S△OGD＝GO×DO，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误；对于④：∵∠AGD＝112.5°，∴∠AGE＝180°－∠AGD＝180°－112.5°＝67.5°，又∵在Rt△AED中，∠ADE＝22.5°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝90°－22.5°＝67.5°，∴AE＝AG，又由折叠可得，AE＝FE，AG＝FG，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确；对于⑤：∵四边形AEFG是菱形，∴EF＝GF，AB∥GF，∴∠GFO＝∠ABO＝45°，∴△GFO、△EBF均为等腰直角三角形，∴GF＝GO，∴EF＝GO，又∵BE＝EF，∴BE＝×GO＝2GO，故⑤正确.∴本题答案为①④⑤. 21教育网
易错点6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等操作型问题.
易错题6：已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.21世纪教育网版权所有
错解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠可得△ABO≌△APO，∴AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B，∴∠APO＝90°，∴∠APD＝∠POC，又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，∴.∴PD＝2OC，DA＝2CP,∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，∴由勾股定理得x2＝(8－x)2＋42.解得x＝6，∴AB＝AP＝2OP＝2×6＝12.
（2）如图3，∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.∵∠D＝90°，∴在Rt△DAP中，sin∠DAP＝，∴∠DAP＝45°，∵∠DAB＝90°，∴∠PAB＝90°－45°＝45°，又∵∠PAO＝∠BAO，∴∠OAB＝22.5°.
（3）当点M、N在移动过程中，线段EF的长度发生变化，因为当点M、N在移动时，点E、F也随之移动，所以线段EF的长度发生变化.【版权所有：21教育】
正解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠可得△ABO≌△APO，∴AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B，∴∠APO＝90°，∴∠APD＝180°－∠APO－∠CPO＝180°－90°－∠CPO＝90°－∠CPO，又∵在Rt△PCO中，∠POC＝90°－∠CPO，∴∠APD＝∠POC，又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，且△OCP∽△PDA，∴.∴PD＝2OC，DA＝2CP,∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，∴由勾股定理得x2＝(8－x)2＋42.解得x＝5，∴AB＝AP＝2OP＝2×5＝10.
（2）如图3，∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.∵∠D＝90°，∴在Rt△DAP中，sin∠DAP＝，∴∠DAP＝30°，∵∠DAB＝90°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°，又∵∠PAO＝∠BAO，∴∠OAB＝30°.
（3）如图4，过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴ ∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP，∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ，又∵ME⊥PQ，∴PE＝EQ＝PQ.∵BN＝PM，MP＝MQ，∴BN＝MQ.又由MQ∥AN得∠QMF＝∠BNF.在△MFQ和△NFB中，∵，∴△MFQ≌△NFB(AAS)，∴QF＝BF，∴QF＝QB.∴EF＝EQ＋QF＝PQ＋QB＝PB.由（1）可得，PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴在Rt△PBC中，由勾股定理得，PB＝，∴EF＝PB＝×＝2.∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2.
赏析：本题（1）①中证明过程不完整，因为对条件∠APD＝∠POC没有写出证明过程，②中在最后解方程时出现了错误；（2）中特殊角的三角函数值弄错了，正弦值为的锐角应是30°，而不是45°；（3）中错在仅由点E、F在移动就得出线段EF的长度发生变化，虽然点E、F在移动，但线段EF的长度仍有可能不变，应通过计算来说明线段EF的长度是否发生变化，通过作辅助线构造全等是解决本小题的关键.21·cn·jy·com
易错练
1.如图，在□ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝，则AB＝____________.【来源：21·世纪·教育·网】
2.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F分别在AD、BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为________________.
3.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列判断：①四边形AEDF是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形.其中正确的有……………………………………………………………………（ ）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
4.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.
5.在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动.
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE和DF的关系，并说明理由；21cnjy.com
（2）如图②，当E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（直接写出答案，不需证明）21教育名师原创作品
（3）如图③，当点E、F分别在边CD、BC的延长线上移动时，连接AE、DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（4）如图④，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD＝2，试求出线段CP的最小值.2-1-c-n-j-y
参考答案
2.3 解析：∵四边形BEDF是菱形，∴BE＝BF＝ED，EO＝FO,EF⊥BD，∠EBO＝∠FBO，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，∴AD－ED＝BC－BF，∴AE＝FC，又∵EF＝AE＋FC，∴AE＝EO＝FO＝FC，∴Rt△ABE≌Rt△OBE（HL），∴∠ABE＝∠OBE，∴∠ABE＝∠OBE＝∠OBF，∴∠ABE＝×90°＝30°.在Rt△ABE中，cos∠ABE＝，AB＝3，∴AE＝＝＝2，∴AE＝BE＝×2＝，∴BC＝BF＋FC＝BE＋AE＝2＋＝3.21*cnjy*com
3.C 解析：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，∴①正确；∵∠BAC＝90°，且四边形AEDF是平行四边形，∴②正确；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又∵DE∥CA，∴∠FAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴③正确；∵AB＝AC且AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∴由③得，四边形AEDF是菱形，∴④错误.∴选C.
（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：如图①，连接MN.∵四边形ABCD是矩形且M、N分别是AD、BC的中点，∴四边形AMNB、DMNC均为矩形，四边形MDNB为平行四边形，∴MN∥DC，∴∠MNB＝90°，MB∥DN，∵P是BM的中点，∴PN＝BM＝MP，又由（1）得BM＝DN，∴MP＝DN，又∵Q为DN的中点，NQ＝DN，∴MP＝NQ，MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形，又∵MP＝NP，∴四边形MPNQ是菱形.
5.解：（1）AE＝DF，AE⊥DF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，又由题意得DE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS）.∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°，∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF；（2）还成立；（3）还成立，理由如下：由（1）同理可证AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，延长FD交AE于点G，如图⑤，∵∠GDA＋∠ADC＋∠CDF＝180°，∠ADC＝90°，则∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠ADG＋∠DAE＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AE⊥DF；（4）如图⑥，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路经是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，由勾股定理得OC＝，∴CP＝OC－OP＝－1.