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2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座二
直角坐标下通过几何图形列函数式问题
【知识纵横】
以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。
【典型例题】
【例1】（黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）注意坐标值与线段长度关系；
（2）求得（3）分类讨论。
【例2】（广东东莞）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
(1)填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.
(2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10
的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
图1
【思路点拨】（2）有9对相似三角形. ；（3）用t的变量表示相关线段，利用面积公式计算，注意自变量的取值范围。
【例3】（河北）如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.
（1） 求的长；
（2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时， 的面积最大，最大值是多少？
（3） 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值.
②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.
【思路点拨】（3）若为等腰三角形，分三种情况
讨论，再进行比较，从而求出线段长的最大值。
图
【例4】（（甘肃兰州）如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．
（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；
（2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．
【思路点拨】（1）折痕是四边形的对称轴
（2）四边形为矩形．
（3）为等腰三角形分类讨论。
【学力训练】
1、(诸暨中学)如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的
大小关系？并证明你得到的结论。
（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数
关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。
2、 ( 湖北天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动
点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．
(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？
(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，
试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．
3、 (吉林省长春市) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，以为边作矩形，为的中点．以，为斜边端点作等腰直角三角形，点在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标．
（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式．
（3）若在直线上存在点，
使等于，请直接写出的取值范围．
(4)在值的变化过程中，若为等腰三
角形，请直接写出所有符合条件的值．
4、（湖北荆州）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90 ，直角边
AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.
（1）求折痕EF的长；
（2）是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.
D
C
B
A
E
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图10
2
y
x
B
C
O
A
D
E
图1
y
x
B
C
O
A
D
E
图2
P
M
N
O
M
A
x
N
B
y
图①
O
Maaaaa
A
x
N
B
y
图②
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直角坐标下通过几何图形列函数式问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（黑龙江齐齐哈尔）（1）
， ，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2）求得
（3）；； ( http: / / www.1230.org )；
【例2】（广东东莞）（1），; 等腰；
（2）共有9对相似三角形. ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)
所以，一共有9对相似三角形
（3）由题意知，FP∥AE，
∴ ∠1＝∠PFB，
又∵ ∠1＝∠2＝30°，
∴ ∠PFB＝∠2＝30°,
∴ FP＝BP.
过点P作PK⊥FB于点K，则.
∵ AF＝t，AB＝8，
∴ FB＝8－t，.
在Rt△BPK中， HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.DSMT4
∴ △FBP的面积，
∴ S与t之间的函数关系式为：
，或. t的取值范围为：.
【例3】（河北）（1）∵∥
∴
在中， ,∴，
∴ 而 ∴为等边三角形
∴…（3分）
（2）∵
∴
∴
= （）
即 HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3
∴当时，
（3）①若为等腰三角形，则：
（i）若，
∴∥
∴ 即
解得：
此时
（ii）若，
∴
过点作，垂足为，则有：
即 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3
解得：
此时
（iii）若，
∴∥
此时在上，不满足题意. ②线段长的最大值为
【例4】（（甘肃兰州）（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，．
．．
点坐标为（2，4）．
在中，， 又．
． 解得：．
点坐标为 ( http: / / www.1230.org )
（2）如图①，．
，又知，，
， 又．
而显然四边形为矩形．
，又 当时，有最大值．
（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）
在中，，，为的中点，
．
又，为的中点．
过点作，垂足为，则是的中位线，
，，
当时，，为等腰三角形．
此时点坐标为．
（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）
在中，．
过点作，垂足为．
，．
．
，．
，，
当时，（），此时点坐标为．
综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．
【学力训练】
1、(诸暨中学)（1）t=
（2）OC=CP 过点C作X轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可
（3）① HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 （0≤t≤1）
②当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1.1）, P（1，1－）
2、(湖北天门) (1)N()
(2)①AM=AN
,,,
②MN=AM
(舍去)或
③MN=AN
,
(3)不能
当N()时，△OMN为正三角形
由题意可得：,解得：
点N的速度为：
3、 (吉林省长春市)（1）作于，则．
，．
（2）当时，如图①，．
当时，如图②，
设交于．
．
．
即．
或．
当时，如图③，
设交于．
．
，
或．
当时，如图④，
．
（此问不画图不扣分）
（3）．
（提示：以为直径作圆，当直线
与此圆相切时，．）
（4）的值为，，．
（提示：当时，．当时，（舍），．当时，．）
4、（湖北荆州）
∥BA 交Y轴于P，
K
y
x
B
C
O
A
D
E
图①
P
M
N
F
y
x
B
C
O
A
D
E
图②
P
M
N
F
图②
图①
图③
图④
图⑤
P
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