第四章《几何图形初步》单元作业整体设计（含解析）2023-2024学年度人教版数学七年级上册
文档属性
| 名称 | 第四章《几何图形初步》单元作业整体设计（含解析）2023-2024学年度人教版数学七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-18 12:06:47 | ||
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文档简介
《几何图形初步》单元作业设计
第一部分 目标分析
1. 单元内容分析 03
2. 单元学情分析
3. 单元学习目标 04
4. 单元作业目标 04
5. 单元作业预设实现的素养目标 60
6. 单元作业设计思路及特色 06
7. 作业试题属性统计表 70
第二部分 作业评价设计表 14
第三部分 作业呈现
课时 01 51
课时 02 91
课时 03 62
课时 04 25
课时 05 63
课时 06 43
课时 07 51
课时 08 58
课时 09 64
课时 10 71
课时 11 78
课时 12 84
课时 13 质量检测 90
结束语 105
2
新人教版 《几何图形初步》单元作业设计
第一部分 目标分析
【单元内容分析】
本单元的教学内容选自人教版《九年义务教育课本 ·数学》七年级上册(以 下统称“教材”) 第四章“几何图形初步”，属于“图形与几何”类的教学内容. 本单元是初中数学平面几何的基础内容， 是初中阶段学生学习图形与几何的起点， 对于后续相关知识的学习影响深远.
本单元的内容主要包括点、线、面、体、立体图形、平面图形、直线、射线、 线段、角等基本概念和关于直线、线段的两个基本事实以及关于补角、余角的两 个性质定理.学生将初步接触推理证明和几何作图.
本单元的学习将培养学生的抽象能力、空间观念、几何直观、推理能力、运 算能力、应用意识等初中数学核心素养.
本单元的教学内容与生活密切相关，具有开放性.内容的特点决定了本单元 的教学方法更多采用了观察、操作、想象、交流等学习方法.
本单元作业设计安排为 13 课时：
4.1 几何图形 4 课时
4.2 直线、射线、线段 3 课时
4.3 角 3 课时
4.4 课题学习 设计制作长方体形状的 包装纸盒 1 课时
小结 1 课时
单元质量检测 1 课时
第 1 课时 4.1.1 认识几何图形
第 2 课时 4.1.2 从不同方向看物体
第 3 课时 4.1.3 展开图
第 4 课时 4.1.4 点线面体
第 5 课时 4.2.1 直线射线线段
第 6 课时 4.2.2 线段的比较
第 7 课时 4.2.3 两点之间线段最短
第 8 课时 4.3.1 角
第 9 课时 4.3.2 角的比较与运算
第 10 课时 4.3.4 补角余角
第 11 课时 4.4课题学习 设计制作长 方体形状的包装纸盒
第 12 课时 单元小结
第 13 课时 单元质量检测
3
【单元学情分析】
“几何图形初步”是初中阶段“图形与几何”领域的第一章， 介绍图形与几 何的一些最基本的概念和图形.一些最基本的概念，如几何图形、立体图形、平 面图形、体、面、线、点等， 要在本章中从现实具体物体中抽象、归纳出来， 直 线、线段、射线、角及有关的概念在木章中得到比较详细的介绍， 并被广泛应用 于后续的教学中， 本章的教学属于初中几何图形知识学习的起始阶段， 对于后续 相关知识的学习影响深远.
学生在小学阶段认识了最简单的几何图形， 为本章的“几何图形初步”的学 习作好了一些铺垫， 本章内容的学习也是后面学习角形、四边形、圆等相关几何 知识的重要基础， 其中直线、射线、线段和角都是重要而最基本的几何图形， 有 关直线、射线、线段和角的概念和性质、表示、画法、计算等都是重要的几何基 础知识， 是学习后续图形与几何知识以及其他数学知识的必备基础， 因此， 本章 重点内容是几何与图形的基本概念和线段、角的基本知识， 概念的抽象性是教学 的主要难点.
【单元学习目标】
1. 了解几何图形、立体图形、平面图形以及几何体、平面和曲面、直线和曲线、 点等概念,培养抽象思维能力.
2. 能画出从不同方向看一些基本几何体得到的平面图形， 了解常见几何体的展 开图，并能从展开图想象相应的几何体，培养空间观念和空间想象力.
3. 进一步认识直线、射线、线段的概念， 会用符号表示它们；掌握基本事实： “两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”；理解两点间距离的意义， 能
度量两点间的距离；了解平面上两条直线的两种位置关系；会比较线段的长 短，理解线段的和差以及线段中点等概念，会画一条线段等于已知线段.
4. 理解角的概念， 并会用符号表示角，会比较角的大小以及度量一个角，会进 行度分秒的转换， 会计算角的和差.了解角的平分线、余角、补角的概念， 理 解补角、余角的性质.
5. 通过课题学习， 学会独立思考， 学会团队合作，培养空间想象能力、逻辑思 维能力、动手操作能力和应用数学的能力.
【单元作业目标】
课时 单元作业目标序号 单元作业目标描述 学
第 1 课时 M001 了解立体图形、平面图形的概念， 能 识别简单几何体(长方体、正方体、 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等)． 能根据实物抽象出平面图形. A 了解
第 2 课时 M002 能画出从不同方向看一些基本几何 体(直棱柱、 圆柱、 圆锥、球) 以及 它们的简单组合体得到的平面图形． A 了解
第 3 课时 M003 了解直棱柱、圆锥等简单立体图形的 侧面展开图． 能根据展开图初步判断 和制作立体模型． 进一步认识立体图 形与平面图形之间的关系． A 了解
4
第 4 课时 M004 认识体、面、线、点的概念． 理解点、线、面、体之间的关系． B 理解
第 5 课时 M005 1．借助具体情境， 理解“两点确定一 条直线”的基本事实． 2．在现实情境中理解直线、射线、线 段等简单的图形，并用字母表示． 3．理解直线、射线、线段的概念及它 们的区别和联系． 4．理解简单的几何语言， 能根据几 何图形说出其几何意义． B 理解
第 6 课时 M006 会用尺规画一条线段等于已知线段， 会比较两条线段的长短． 理解线段等分点的意义， 理解两点间 距离的意义． 会度量两点间距离. C 掌握
第 7 课时 M007 理解“两点之间， 线段最短”的结论， 并能用这一结论解释一些简单的问 题． C 掌握
第 8 课时 M008 1．在现实情境中，认识角是一种基 本的几何图形，理解角的概念， 学会角的表示方法． 2．认识角的度量单位度、分、秒， 会 进行简单的换算和角度计算． B 理解
第 9 课时 M009 1．会比较两个角的大小， 会分析图 中角的和差关系． 2．会借助三角板拼出不同度数的角， 认识角的平分线及角的等分线，会 画角的平分线． C 掌握
第 10 课时 M010 1．掌握角之间的和差倍分关系，并 能进行简单的计算． 2．学会用方程解决几何问题． D 应用
第 11 课时 M011 1．理解两个角互为余角和互为补角 的概念． 2．理解互余与互补的角的性质． 3. 理解方位角的意义，掌握方位角 的判别与应用． D 应用
第 12 课时 M012 利用立体图形的表面展开图制作包 装纸盒． D 应用
第 13 课时 M013 经历相关内容的回顾、归纳、总结， 提高对图形的认识能力， 体会它们在 解决实际问题中的作用， 发展学生运 用几何语言表述问题的能力． 经历观 察、猜想、说理等数学活动培养学生 运用类比的学习方法和数形结合的 D 应用
5
能力．
【单元作业预设实现的素养目标】
学生在达成上述学习目标的过程中要进一步具备“图形变化、转化思想， 模 型思想”，体会问题解决中的数学抽象、一般到特殊、转化、推理论证、类比等 数学思想与方法。如， 本章内容呈现时， 注意让学生观察实物、模型和图形， 抽 象出数学中的基本概念， 通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图 形中的位置关系和数量关系， 从而发现图形的性质， 进而落实初中数学核心素养 “几何直观、抽象能力、推理能力、运算能力”。同时，注意初步培养学生 “推 理”获得数学结论的方法， 培养学生言之有据的习惯和有条理的思考、表达的能 力， 完成由实验几何到论证几何的过渡， 落实数学核心素养的“推理能力”。 再 如， 在涉及到线段长度和角度的计算中， 要培养学生用方程的模型解决问题， 落 实了核心素养中的“模型观念”.
【单元作业设计思路及特色】
1. 基于课程标准的标准化原则
本单元的课时作业是 12 篇，对应 12 个学习课时， 单元质量检测试卷是 1 篇. 单元作业设计中的课时目标全部按照课程标准的学习要求细分为小的知识点， 每 个知识点又根据课程标准的不同要求细分为不同的掌握水平.知识点掌握水平分 为 4 个层次：了解、理解、掌握、应用.课时作业的每道试题严格按照掌握水平 的层次进行命制，力争做到难度适中.
2. 基于学情的分层设计原则
单元作业设计按照作业内容分层递进， 按照基本概念、基本知识、基本方法 到重难点知识和方法， 再到综合应用， 最后是思维的发散和引申.作业设计符合 学生的认知规律，同时满足不同层次的学生学习的要求.每篇课时作业都设置了 必做题和选做题.
3. 基于提高数学核心素养的育人性原则
初中数学核心素养包括抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能 力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识九个方面. 单元作业从形式和内 容上进行创新， 努力做成发展型、创新型、多样型的作业,改变传统作业一味强 调解题经验的单调作业内容,提高学生的九个数学核心素养.
4. 多元的评价方法
单元作业设计改变传统的教师作为评价实施主体的评价方法， 采用自评、 师 生评价、生生评价.
5. 多样化的作业形式
单元作业设计改变传统的教师布置书面作业的方式，改为部分作业可以由学 生布置， 作业也可以不再由个人完成， 也可以是小组合作完成.作业形式上可以 是习题练习，也可以是动手操作、论文写作、数学阅读、信息搜集等作业形式.
6. 基于“双减”精神的服务性原则
为了给学生减负和帮助学生培优补缺的目的， 每道作业题的答案后面会附带 详细的解析和解题经验总结.
6
作业试题属性统计表
题号 类型 单元作 业目标 知识点 数学能力 预估时 间 数学核心 素养 目标水平
了解 理解 掌握 应用
zy1001 必做题 M001 立体图形的认识 空间想象能 力，观察能 力，辨析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1002 必做题 M001 平面图形的认识 观察能力， 辨 析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1003 必做题 M001 平面图形的认识 观察能力， 辨 析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1004 必做题 M001 立体图形的认识 空间想象能 力，观察能 力，辨析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1005 必做题 M001 平面图形的认识 观察能力， 辨 析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1006 选做题 M001 立体图形的认识 空间想象能 力，观察能 力，辨析能力 5 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1007 选做题 实践题 M001 平面图形的认识 动手操作能 力，协作能力 10 分钟 抽象能力 空间观念 创新意识 √
zy1008 选做题 实践题 M001 立体图形的认识 平面图形的认识 动手操作能 力，协作能力 10 分钟 空间观念 创新意识 应用意识 √
zy2001 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2002 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2003 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2004 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2005 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 2 分钟 空间观念 √
7
zy2006 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 2 分钟 空间观念 √
zy2007 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 5 分钟 空间观念 运算能力 √
zy2008 选做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力，运算能力 5 分钟 空间观念 运算能力 √
zy3001 必做题 M003 几何体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3002 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3003 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3004 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3005 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 5 分钟 空间观念 √
zy3006 选做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力， 合作探究 能力 10 分钟 空间观念 应用意识 √
zy3007 选做题 实践操 作题 M003 几何体的平面展 开图 空间想象能 力， 合作探究 能力 10 分钟 空间观念 应用意识 √
zy4001 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy4002 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy4003 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力，观察能力 1 分钟 空间观念 √
zy4004 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力，观察能 力 1 分钟 空间观念 √
zy4005 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力，观察能 力 1 分钟 抽象能力 √
zy4006 必做题 M004 点线面体的关系 观察能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
8
zy4007 选做题 实践题 M004 点线面体的关系 观察能力 推理能力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
zy4008 选做题 实践题 M004 应用意识 应用意识 实践能力 10 分钟 应用意识 √
Zy5001 必做题 M005 点与直线的位置 关系 观察能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5002 必做题 M005 点与直线的位置 关系 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5003 必做题 M005 直线、射线、线段 的概念 辨析能力 识图能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5004 必做题 M005 直线的表示方法 辨析能力 识图能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5005 必做题 M005 直线的性质 抽象思维能 力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy5006 必做题 M005 直线、射线、线段 的作图 作图能力 5 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy5007 选做题 实践题 M005 直线、射线、线段 的计数 抽象思维能 力，分析能 力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy6001 必做题 M006 中点的定义 辨析能力 1 分钟 推理能力 √
Zy6002 必做题 M006 线段的计算 计算能力 作图能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy6003 必做题 M006 线段的计算 计算能力 2 分钟 运算能力 模型观念 √
Zy6004 必做题 M006 线段的计算 计算能力 分析能力 2 分钟 运算能力 模型观念 √
Zy6005 必做题 M006 线段的计算 尺规作图 计算能力 分析能力 作图能力 3 分钟 运算能力 模型观念 √
Zy6006 必做题 M006 尺规作图 作图能力 2 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy6007 必做题 M006 线段的计算 计算能力 2 分钟 运算能力 √
Zy6008 必做题 M006 线段的计算 计算能力 分析能力 5 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy6009 选做题 M006 线段的计算 动点问题 计算能力 分析能力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
9
Zy7001 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7002 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7003 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7004 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7005 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7006 必做题 M007 直线、线段的性质 作图能力 辨析能力 3 分钟 抽象能力 几何直观 应用意识 √
Zy7007 必做题 M007 直线、线段的性质 作图能力 辨析能力 5 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy7008 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 2 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy7009 选做题 实践题 M007 直线、线段的性质 作图能力 应用意识 10 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy8001 必做题 M008 角的表示 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy8002 必做题 M008 角的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy8003 必做题 M008 角的度量 理解能力 识图能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy8004 必做题 M008 角的单位转换 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8005 必做题 M008 角的单位转换 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8006 必做题 M008 角的比较 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8007 必做题 M008 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8008 必做题 M008 角的计算 计算能力 作图能力 3 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8009 选做题 探究题 M008 角的计算 观察能力 分析能力 计算能力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
10
Zy9001 必做题 M009 角的比较 观察能力 分析能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9002 必做题 M009 角的比较 理解能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy9003 必做题 M009 角的比较 观察能力 分析能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9004 必做题 M009 角平分线的定义 观察能力 分析能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9005 必做题 M009 角的计算 观察能力 分析能力 计算能力 3 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9006 必做题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9007 必做题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9008 选做题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 3 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9009 选做题 实践题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 5 分钟 运算能力 推理能力 模型观念 √
zy10001 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 √
zy10002 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 2 分钟 抽象能力 运算能力 √
zy10003 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 抽象能力 √
zy10004 必做题 M010 方位角的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
zy10005 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 √
zy10006 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
zy10007 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
zy10008 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
11
zy10009 选做题 探究题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 5 分钟 运算能力 推理能力 模型观念 √
zy11001 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy11002 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，理解能 力 1 分钟 空间观念 √
zy11003 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，分析能 力 1 分钟 空间观念 √
zy11004 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，分析能 力 2 分钟 空间观念 推理能力 √
zy11005 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，计算能 力 2 分钟 空间观念 推理能力 √
zy11006 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，计算能 力 2 分钟 空间观念 运算能力 √
zy11007 选做题 探究题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，计算能 力 5 分钟 空间观念 运算能力 √
zy12001 必做题 M012 几何图形的分类 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12002 必做题 M012 点线面体的关系 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12003 必做题 M012 直线、射线、线段 的定义 理解能力 辨析能力 3 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12004 必做题 M012 角的分类 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12005 必做题 M012 角的计算 理解能力 计算能力 2 分钟 运算能力 √
zy12006 必做题 M012 线段的计算 理解能力 计算能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
zy12007 必做题 M012 方位角 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 几何直观 √
zy12008 必做题 M012 线段的计算 理解能力 计算能力 3 分钟 运算能力 模型观念 √
12
zy12009 必做题 M012 线段的计算 理解能力 计算能力 10 分钟 运算能力 模型观念 √
jc001 必做题 M013 棱柱的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
jc002 必做题 M013 平面展开图 理解能力 空间想象能 力 1 分钟 几何直观 √
jc003 必做题 M013 平面展开图 理解能力 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
jc004 必做题 M013 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
jc005 必做题 M013 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
jc006 必做题 M013 线段中点的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
jc007 必做题 M013 方位角的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
jc008 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 √
jc009 必做题 M013 线段的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 √
jc010 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 几何直观 √
jc011 必做题 M013 线段的性质 理解能力 计算能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
jc012 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 √
jc013 必做题 M013 点线面体的关系 理解能力 1 分钟 抽象能力 √
jc014 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 模型观念 √
jc015 必做题 M013 直线、射线、线段 的定义 理解能力 作图能力 1 分钟 抽象能力 √
jc016 必做题 M013 直线、线段的性质 作图能力 1 分钟 模型观念 √
jc017 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 3 分钟 模型观念 运算能力 √
13
jc018 必做题 M013 直线的定义 理解能力 计算能力 5 分钟 模型观念 抽象能力 √
jc019 必做题 M013 线段的计算 理解能力 计算能力 5 分钟 模型观念 运算能力 √
jc020 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 10 分钟 模型观念 运算能力 √
第二部分 作业评价设计表
作业设计评价表 自我总评 老师总评
评 价 指 标 完成比例 正确率 A B C A B C
评 价 人 100% 80% 60% 优 秀 良 好 一 般
自 我 评 价 老师简评：
小 组 长 评 价
说明：各评价指标由各评价人视具体情况选择打"V"，并做积 极、友好，肯定，鼓励期望的简评
纠错本
错题序号 正确解法 错误原因剖析
14
第三部分 作业呈现
【第 1 课时】
数学阅读：
“七巧板”，也叫智慧板，由七块板组成，是一种古老的中国传统智力玩 具，它代表着中国古代劳动人民的聪明智慧，积淀着中华民族的精神追求。你 会组合“七巧板”吗？你想走进“七巧板”的奇妙空间吗？玩“七巧板”，可 以增强孩子的想象力和观察力，在各种人物形象、动物图案、建筑模型等图形 中发现绝妙的创意.
习题巩固
zy1001(必做题). 与图中实物图相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是 ( )
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．棱柱、圆锥、棱柱、长方体
【答案】 B
【分析】与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、 球、正方体、长方体．
故选： B．
【设计意图】本题考查了常见的立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形 圆柱、球、正方体、长方体的特点．
【作业时间】 1 分钟
15
zy1002(必做题). 如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有( )
16
A．圆、长方形
C．球、长方形
B．圆、线段
D．球、线段
【答案】 A
【分析】根据平面图形定义可恨容易找出正确答案．
解:根据图形可得组成这个标志的几何图形有长方形、圆.
所以 A 选项是正确的.
【设计意图】此题主要考查了平面图形，关键是掌握平面图形的定义. 【作业时间】 1 分钟
zy1003(必做题).如图所示是一个自行车的模型，它可以看作是由哪些几何图形组 成的______.
【答案】 圆，三角形，平行四边形，线段.
【分析】 观察自行车模型，找出图中的熟悉平面图形即可.
【设计意图】此题主要考查了平面图形,关键是掌握平面图形的圆、三角形、平 行四边形、线段的特点.
【作业时间】 1 分钟
zy1004. (必做题) 下图是某粮仓的示意图，该粮仓可以看作由常见几何体中的
__________和__________构成的．
【答案】 圆锥，圆柱
【分析】根据常见的几何体的形状可得答案．
解：一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的，
故答案为：圆锥；圆柱．
【设计意图】本题主要考查了认识几何体，关键是认识常见的几何体，如：长 方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．
【作业时间】 1 分钟
zy1005(必做题). 说出下列图形的名称．
【答案】 依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、 六边形．
【分析】
根据平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内可得答案．
根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四 边形、梯形、五边形、六边形．
【设计意图】此题考查认识平面图形，解题关键在于掌握其定义对图形的识别. 【作业时间】 1 分钟
zy1006(选做题). 在日常生活中，我们看到的物体：如①易拉罐； ②饮水机； ③ 金字塔； ④自来水管； ⑤八角亭； ⑥西红柿； ⑦小喇叭； ⑧气球； ⑨课本等。
17
你能指出这些物体和什么几何体类似吗？
【答案】 类似于圆柱体的有： ①易拉罐、 ④自来水管；
类似于圆锥体的有： ⑦小喇叭；
类似于长方体的有： ②饮水机、 ⑨课本；
类似于棱锥体的有： ③金字塔、 ⑤八角亭；
类似于球体的有： ⑥西红柿、 ⑧气球．
【分析】 根据日常生活中经常见到的物体与我们学习的立体图形联系起来更加 深刻的理解这些立体几何图形．可根据这些物体的大致外形进行分类．
类似于圆柱体的有： ①易拉罐、 ④自来水管；
类似于圆锥体的有： ⑦小喇叭；
类似于长方体的有： ②饮水机、 ⑨课本；
类似于棱锥体的有： ③金字塔、 ⑤八角亭；
类似于球体的有： ⑥西红柿、 ⑧气球．
【设计意图】让学生先想象具体实物的样子， 然后抽象出对应的立体图形， 考查 了学生抽象思维能力和空间想象能力．
【作业时间】 5 分钟
zy1007(选做题).请用七巧板设计尽可能多的构思独特且有意义的图形， 并写上一 两句贴切、诙谐的解说词，如图所示就是符合要求的两个图形．
18
【答案】
答案不唯一．
【分析】 学生制作一个七巧板，然后自己动手拼出一个自己喜欢的图形. 【设计意图】培养了学生的动手操作能力和团队协作能力，让学生热爱数学. 【作业时间】 10 分钟
zy1008(选做题).小组合作探究： 用 6 根同样的小木棒首尾相接最多能拼成多少个 三角形？
【答案】 4 个； 如图，用 6 根同样的小木棒摆成立体的正三棱锥.
【分析】 学生团队合作，动手实践，经历讨论的过程，多角度思考问题，从空
间的角度去思考问题.
【设计意图】培养了学生的动手操作能力和团队协作能力， 培养了学生的空间想 象能力和几何直观，让学生热爱数学.
【作业时间】 15 分钟
【第 2 课时】
数学阅读：
在法国的肖维岩洞(Grotte Chauvet)，我们能看到一些由红赭石和黑色颜料 雕刻、绘制而成的石洞壁画， 壁画略显粗糙， 但绘画的马、牛等动物形象依旧生 动无比，这是人类最早的绘画作品，也是人类用“图形”来记事的早期记录。
“图形”是信息保存、传播、互通的重要视觉语言， 因其直观、生动而深受人 们喜爱。从古至今， 大部分的画作是基于艺术欣赏、文化品味。但也有另一类“画
19
(
A
．
) (
C
．
) (
B
．
) (
D
．
)家”作图是基于对制造工艺的传承。
我国明代著名科学家宋应星所著的《天工开物》，是世界上第一部关于农业和 手工业生产的综合性著作， 是中国古代一部综合性的科学技术著作。书中记载了 许多的制造工艺及对应的工艺制图， 这些以“图形”为基础的画作能清晰的呈现当 时的制作工艺和流程， 为我国最初的机械制造提供了可靠的依据， 但书中依旧是 绘制 “三维图形”的模样(局部)，我们并不能据此观察或推测出物体的原貌， 因 不够严谨而具有一定的局限性。
1525 年，与 达芬奇 等交好 的德国 人迪 勒 (Durer) ，在 纽约 堡出版了 “Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt”一书,运用互相垂直 的三画面(正交面) 画出了人脚、人头的正投影图和剖面图。这是一个创造性的 发现， 相当于将人(或物体) 放在一个长方体的空间里， 然后从三个方向(从前 往后、从左往右、从上往下) 来观察并做正投影， 这样会得到三个视角的平面图 形，它能清晰的呈现出人(或物体)的结构。
习题巩固：
zy2001. (必做题) 如图所示的几何体，从上面看得到的形状图是( )
20
【答案】 D
【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到 的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
解：从上面看得到的形状图如下
故选： D．
(
B
．
) (
C
．
) (
D
．
)【设计意图】培养了学生的空间想象能力和几何直观，让学生掌握立体图形的
三种视图．
【作业时间】 1 分钟
zy2002. (必做题) 由 4 个相同的小正方体搭建了一个积木，从不同方向看积
木，所得到的图形如图所示，则这个积木可能是( )
21
A ．
【答案】 B
【分析】
从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从 左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层，则选项 D 不合题意； 从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有 3 个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故 只有选项 B 符合题意；
故选： B．
【设计意图】本题主要考查了有三视图判断几何体的组成，关键是熟练把握从 各方面看可以得到的结论．
【作业时间】 1 分钟
zy2003. (必做题) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球
【答案】 B
【分析】此题可采用排除法，从而得出答案．
解：棱柱的三视图中不存在圆，故 A 不对；
圆锥的主视图、左视图是三角形，故 C 不对；
球的三视图都是圆，故 D 不对，
因此应选 B．
故选： B．
【设计意图】本题考查由三视图确定常见几何体的形状，主要考查学生空间想 象能力．
【作业时间】 1 分钟
zy2004. (必做题) 索玛立方体拼搭是有名的数学游戏，它由七块立体图形组 成，如图所示的这 1~7 号图形中，从正面看所得图形相同的有( )块.
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】 B
【分析】先判断各个几何体正面看的几何图形，节日进而即可求解．
从正面看， 1 号， 6 号， 7 号的图形相同，
故选 B．
【设计意图】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分 清物体的上下和左右的层数，进行分析．
【作业时间】 1 分钟
22
zy2005. (必做题) 常见几何体正方体、长方体、圆柱、圆锥、三棱柱、四棱 锥、球中，从三个方向看到的图形都一样的几何体为_______．
【答案】 正方体，球．
【分析】分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到三个图形一致 的几何体即可．
解：正方体从三个方向看到的图形是全等的正方形，符合题意；
长方体从三个方向看到的图形是不一定全等的长方形，不符合题意； 圆柱从三个方向看到的图形分别是长方形，长方形，圆，不符合题意；
圆锥从三个方向看到的图形分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意； 三棱柱从三个方向看到的图形分别是长方形，三角形，中间一条横线的长方 形，不符合题意；
四棱锥从三个方向看到的图形分别是三角形，三角形，有对角线的矩形，不符 合题意；
球从三个方向看到的图形都是相同的圆，符合题意．
故答案为：正方体，球．
【设计意图】本题考查了几何体的三种视图，关键是根据从物体正面、左面和 上面看，所得到的图形解答．
【作业时间】 2 分钟
zy2006. (必做题) 如图，是由 7 块正方体木块堆成的物体，请说出图(1)、图 (2)、图(3)分别是从哪一个方向看得到的．(1) __________ (2)
__________ (3) __________
【答案】 上面看，正面看，左面看
23
【分析】(1)俯视图，从上面看；
(2)正视图，从正面看；
(3)左视图，从左面看．
根据题意可知，该物体的俯视图是后面是两个小正方形，左边是三个小正方体 依次排列；主视图是前排两个小正方体，左列是三个小正方体依次叠放；左视 图是三列，小正方体的个数从左到右依次是 3 个， 2 个， 1 个，
故答案为：上面看；正面看；左面看．
【设计意图】本题考查简单几何体的三视图，是重要知识点，难度较易，掌握 相关知识是解题关键．
【作业时间】 2 分钟
zy2007. (必做题) 棱长为 2 的正方体，摆成如图所示的形状，则该物体的表面 积是___________．
【答案】 144
【分析】根据几何体可以得到上下左右前后露出的都是 6 个小正方形，据此即 可求出物体的表面积．
解：该几何体的上下左右前后六个面露出的都是 6 个小正方形，
所以该物体的表面积是6 × 6 × 22 =144 ．
故答案为： 144．
【设计意图】本题主要考查了求几何体的表面积，根据几何体确定每一个面的 正方形的个数是解题关键．
【作业时间】 5分钟
zy2008. (选做题) 如图，在平整的地面上，若干个棱长都为1cm 的小正方体堆成 一个几何体．
24
(1)在网格中，用实线画出从正面，上面，左面看到的形状图；
(2)求这个几何体的体积和表面积．
【答案】 (1)见解析；(2) 8cm3 ，30cm2
【分析】(1)根据三视图的定义画出图形即可． (2)分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可求出表面积，根据个 数即可得出体积．
解：(1)该几何体从正面、上面、左面看到的形状图如图：
(2)因为该几何体由 8 个棱长都为1cm 的正方体堆成，
每个正方体的体积都为1 × 1 × 1 = 1cm3 ，所以其体积为 8cm3 ；
该几何体前后各有 4 个小正方形，上下各有 6 个小正方形，左右各有 5 个小正 方形，
每个小正方形的面积为1 × 1 = 1cm2 ，所以其表面积为 4 × 2 + 6 × 2 + 5 × 2 = 30cm2 ．
【设计意图】本小题考查几何体、三视图等基础知识，考查空间观念与几何直 观，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【作业时间】 5分钟
25
【第 3 课时】
数学阅读：
莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯(Mobius ，1790~1868)和约翰 · 李斯丁 于 1858 年发现。就是把一根纸条扭转 180°后，两头再粘接起来做成的纸带
圈，具有魔术般的性质。
普通纸带具有两个面(即双侧曲面)，一个正面，一个反面，两个面可以涂 成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整 个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带” (也就是说，它的 曲面从两个减少到只有一个)。
习题巩固：
zy3001. (必做题) 如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几 何体名称分别为( )
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱
C．正方体，圆锥，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
【答案】 D
【分析】根据常见几何体的平面展开图判断即可．
解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：正 方体，圆锥，圆柱，三棱柱．
故选 D．
【设计意图】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图 的特征，是解决此类问题的关键．
【作业时间】 1 分钟
26
zy3002. (必做题) 如图，是一个正方体的平面展开图，那么，在该正方体中， 与“想”字所对的汉字是( )
A．法 B．学 C．数 D．方
【答案】 B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一 特点作答，即可找出与“想”字所对的汉字是“学” .
解：相对的面的中间要相隔一个面，该正方体中与“想”字相对的字是“学”． 故选： B．
【设计意图】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间 图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【作业时间】 1 分钟
zy3003. (必做题) 下面那个图形经过折叠不能得到一个正方体( )
A ． B ． C ．D ．
【答案】 D
【分析】根据正方体展开图的常见形式作答即可．
解：由展开图可知： A 、B 、C 能围成正方体，不符合题意；
D 、围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体，符合题意． 故选： D．
【设计意图】 本题考查了展开图折叠成几何体．熟记能组成正方体的“一，四， 一”“三，三”“二，二， 二”“一，三，二”的基本形态是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
27
(
A
．
) (
C
．
) (
B
．
) (
D
．
)
zy3004. (必做题) 下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是 ( )
28
【答案】 B
【分析】根据图中三角形，圆，正方形所处的位置关系即可直接选出答案． 图中三角形，圆，正方形都互为相邻关系，
A 选项三角形和正方形的图案相对，故 A 错误；
B 选项三角形，圆，正方形图案都相邻，故 B 正确；
C 选项三角形和正方形的图案相对，故 C 错误；
D 选项三角形和圆的图案相对，故 D 错误．
故选： B．
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力， 主要考查了展开图折叠成几何体， 找出三角形，圆，正方形所处的位置关系是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy3005. (必做题) 下列四个正方体的展开图中，能折叠成如图所示的正方体的 是( )
(
A
．
) (
C
．
) (
B
．
) (
D
．
)
29
【答案】 B
【分析】
由正方体的信息可得：面A, 面B, 面C 为相邻面，从相对面与相邻面入手，逐一 分析各选项，从而可得答案．
解：由题意可得：正方体中，面A, 面B, 面C 为相邻面．
由A 选项的展开图可得面A, 面C 为相对面，故选项A 不符合题意；
由B 选项的展开图可得面A, 面B, 面C 为相邻面，故选项B 符合题意； 由C 选项的展开图可得面B, 面C 为相对面，故选项C 不符合题意； 由D 选项的展开图可得面A, 面B 为相对面，故选项D 不符合题意； 故选： B.
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力， 本题考查的是正方体的表面展开 图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
【作业时间】 5分钟
zy3006. (选做题)小组合作：写出正方体的所有可能的展开图.
【答案】 正方体的十一种展开方式
1. “141 型”，中间一行 4 个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有 6 种基
本图形.
2 ．“132 型”，中间 3 个作侧面，共 3 种基本图形.
3 ．“222 型”，两行只能有 1 个正方形相连.
4 ．“33 型”，两行只能有 1 个正方形相连.
【分析】 学生分组合作，经历讨论的过程，用分类的方法，找到正方体的所有 展开图．
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力和合作探究的意识，让学生更加热爱 数学．
【作业时间】 10 分钟
zy3007. (选做题)知识拓展：
蚂蚁的难题如图： 一只圆桶的下方有一只蚂蚁，上方有一块甜食，蚂蚁要想尽 快吃到甜食，应该走哪条路径？
30
【答案】
【分析】 学生分组合作，经历讨论的过程，用动手操作的方法，把空间的问题 转化为平面的问题．
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力和合作探究的意识，让学生更加热爱 数学．
【作业时间】 10 分钟
【第 4 课时】
数学阅读：
学习数学一定要细心， 因为差之毫厘， 谬以千里.美国芝加哥有一个靠养老金 生活的老太太， 她在医院动了一次小手术后便回家了.两星期后， 她接到医院寄来 的账单， 费用是 63 445 美元.她看过后不禁大惊失色吓得心脏病猝发， 倒地身亡. 后来， 有人与医院核对账单， 才发现是工作人员把小数点的位置点错了， 实际费 用是 63.445 美元.点错一个小数点，竟要了一个人的命.正如牛顿所说： “在数学 中，最微小的误差也不能忽略.”
习题巩固：
zy4001. (必做题) 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成 面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是( )
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
【答案】 A
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法 求解．
A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；
B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；
C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；
D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；
故选： A．
31
(
B
．
) (
D
．
)【设计意图】 本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的 空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
【作业时间】 1 分钟
zy4002. (必做题) 如图，长方形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是( )
32
A ． C ． 【答案】 A 【分析】根据面动成体进行判断即可．
解：长方形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是圆柱，
因此选项 A 中的形体比较符合题意，
故选： A ． 【设计意图】 本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体 是正确判断的前提． 【作业时间】 1 分钟
zy4003. (必做题) 如图所示的立体图形，是由__个面组成的，面与面相交形成
___条线( )
A ．3 ，6 B ．4 ，5 C ．4 ，6 D ．5 ，7
【答案】 C
【分析】对图进行仔细观察认真分析即解．
解：有上下两个平面，侧面是一个平面，一个曲面，共有 4 个面；面与面相交 的地方形成线．上面是一条曲线，一条直线，侧面是两条直线，下面是一条曲 线一条直线，共有 6 条线．
故选： C．
【设计意图】 本题考查的知识点为：面有平面与曲面之分，线也有直线和曲线 之分．应考虑完全．
【作业时间】 1 分钟
zy4004. (必做题)“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去太原植物园游玩，中途 两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转 硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问
这个几何体是( )
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．圆台
【答案】 C
【分析】根据常见几何体的特征即可得．
当硬币在地面某位置快速旋转时，形成的几何体是球，
故选： C．
【设计意图】 本题考查了常见几何体的特征，熟练掌握常见几何体的特征是解 题关键．
【作业时间】 1 分钟
33
zy4005. (必做题) 冬天环卫工人使用下部是长方形的木锨推雪时，木锨过处， 雪就没了，这种现象说明 ______________．
【答案】 线动成面
【分析】点动成线，线动成面，面动成体，根据定义分析可得答案．
解：冬天环卫工人使用下部是长方形的木锨推雪时，木锨过处，雪就没了，这 种现象说明：线动成面．
故答案为：线动成面．
【设计意图】 本题考查的是点，线，面，体的知识，理解点动成线、线动成面 和面动成体的定义是解题关键，属于基础题．
【作业时间】 1 分钟
zy4006. (必做题)如图所示的是一个棱柱，请问：
(1)这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？
(2)这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？
(3)该棱柱有几个顶点？
【答案】 解： (1)这个棱柱由5 个面围成，各面的交线有 9 条，它们是直的．
(2)棱柱的底面是三角形，侧面是长方形．
(3)有 6 个顶点．
【分析】 首先明确几何体是三棱柱，三棱柱有 6 个顶点， 5 个面，9 条棱.
【设计意图】本题考查的是三棱柱的形状特征，培养学生对常见几何体的熟悉 程度．
【作业时间】 5 分钟
zy4007. (选做题)现年晚会是我们最快乐的时候， 会场上， 悬挂着五彩缤纷的小装 饰品，其中有各种各样的立体图形，如图所示：
34
请你数一下上面图中每一个立体图形具有的顶点数(v)、棱数(e)和面数(f)，并 将结果计入下表中：
多面体 顶点数(V ) 面数(F ) 棱数(E )
四面体 4 4
五面体 5 8
六面体 6 12
伟大的数学家欧拉发现了f、e、v 之间存在着一个奇妙的相等关系， 根据上面 的表格，你能归纳出这个相等关系吗？
【答案】 (1) 6 ，5 ，8；(2) v＋f－e＝2；
解：(1)填表如下：
多面体 顶点数 ( V ) 面数(F ) 棱数(E )
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
(2) V+F-E=2．
故答案为： 2；
【分析】 根据表格中的数找到数字与数字的规律，然后写出猜想，通过几组数 据初步验证猜想.
【设计意图】 通过立体图形的点、面、棱条数的观察猜想数字的规律，体现了 数形结合的思想．
【作业时间】 10 分钟
35
zy4008 (选做) . 莱昂哈德 · 欧拉是一位著名的数学家， 请同学查找有关欧拉的书 籍和资料，了解他的相关事迹.写一篇关于欧拉的介绍.
【答案】 答案不唯一
【分析】 可以查阅相关书籍的介绍，也可以上网查阅资料．
【设计意图】 通过对数学家资料的查找，让学生热爱上数学．
【作业时间】 10 分钟
【第 5 课时】
数学阅读：
枪械射击
同学们，你知道吗？两点确定一条直线.
射击时要想射中目标需要三点一线， 所谓三点一线就是枪管后瞄准星、枪管 前的准星再有就是目标形成一条直线，这样才能保证可以射到目标(狙击步枪把 枪管上的准星合并了， 有两点一线).就是说枪的前、后准星两点已经确定了一条 直线，要想子弹击中目标，就需要让这条直线经过目标.
习题巩固：
zy5001. (必做题) 如图，在直线l 上的点是( )
A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D
【答案】 B
【分析】根据图形中点与线的关系可直接得出答案．
解：由图像可知点 A 、C、D 在直线l 外，点 B 在直线l 上，
故选 B．
【设计意图】 本题考查了点线关系的表示方法和图形特点．
【作业时间】 1 分钟
zy5002. (必做题) 下列写法正确的是( )
A．直线 AB 、CD 交于点 m B．直线 a 、b 交于点 m
C．直线 a 、b 交于点 M D．直线 ab 、cd 交于点 M
36
(
B
．
) (
D
．
)【答案】 C
【分析】根据直线和点的表示法即可判断．
A. 点只能用一个大写字母表示，不能用小写字母表示，故错误；
B. 点只能用一个大写字母表示，不能用小写字母表示，故错误； C.正确；
D. 直线能用两个大写字母表示或用一个小写字母表示，不能用两个小写字母表 示，故错误；
故选： C．
【设计意图】 本题考查了直线和点的表示法，直线能用两个大写字母表示，用 一个小写字母表示，点只能用一个大写字母表示．
【作业时间】 1 分钟
zy5003. (必做题) 根据直线、射线、线段的性质，图中的各组直线、射线、线
37
段一定能相交的是( )
A ．
C ．
【答案】 C
【分析】根据射线，线段，直线的性质逐项分析即可，射线只可以向一端无限 延伸，直线可以向两端延伸，线段不可以延伸．
A. AB, CD 是以A, C 为端点的射线，故不相交；
B. AB 为线段CD 是以C 为端点的射线，故不相交；
C. AB, CD 为直线，故一定能相交；
D. AB 是直线， CD 是以C 为端点的射线，故不相交，
故选 C．
【设计意图】 本题考查了直线、射线、线段的性质，理解直线、射线、线段的 性质是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy5004. (必做题) 下列各图中直线的表示法正确的是( )．
A ． B ．
C ． D ．
【答案】 C
【分析】运用直线的表示方法判定即可．
解：根据直线的表示方法可得 C 正确．
故选： C．
【设计意图】 本题主要考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线表示 法：用一个小写字母表示，或用两个大写字母(直线上的)表示．
【作业时间】 1 分钟
zy5005. (必做题) 装电线杆时只要确定两根电线杆，就能确定同一行的电线杆 所在的直线，理由是________．
【答案】 两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质，可得答案．
解：工人师傅在新建的路边植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行
树所在的直线；其理由是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
【设计意图】 本题考查了直线的性质，利用直线的性质是解题关键． 【作业时间】 1 分钟
38
zy5006. (必做题) 画图．如图在平面内有四个点 A，B ，C，D 按下面的要求作图 (要求，利用尺规，不写画法，保留作图痕迹．不写结论)
①作直线 AB；
②作线段 AC；
③作射线 AD 、DC、CB；
【答案】 ①画图见解析；②画图见解析； ③画图见解析
【分析】根据直线，射线，线段的定义进行作图即可．
解： ①如图所示，直线 AB 即为所求；
②如图所示，线段 AC 即为所求；
③如图所示，射线 AD 、DC、CB 即为所求；
39
【设计意图】 本题主要考查了，画直线，射线和线段，解题的关键在于能够熟 练掌握三者的定义：直线没有端点，两端可以无限延伸，长度不可度量；射线 有一个端点，可以向没有端点的方向无限延伸，长度不可度量；线段有两个端 点，两端不可延伸，长度可以度量．
【作业时间】 5 分钟
zy5007. (选做题) (1) 在一条直线上取 1 个点、 2 个点、 3 个点、 … 、n 个点，
分别可以得到多少条线段？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答：
直线上点的个数 1 2 3 4 5 … n
共有线段条数 …
(2)平面内有两个点、 3 个点、 4 个点、 5 个点、 … 、n 个点，过任意两点作一
条直线，最多可以作几条直线？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答：
平面内点的个数 2 3 4 5 … n
最多可作直线条 数 …
【答案】 (1)图见解析，0 ，1 ，3 ，6 ，10 ， ；(2)图见解析， 1 ，3 ，6，
(
1
0
，
)n(n 1)
2
【分析】(1)根据题意画出示意图即可求出直线上取 1 个点、 2 个点、 3 个点、 4 个点、 5 个点时的线段条数，找到点的个数和线段条数之间的关系即可求出 n
40
个点时线段的条数．
(2)根据题意画出示意图即可求出平面内有两个点、 3 个点、 4 个点、 5 个点 时最多可作直线条数，找到点的个数和直线条数条数之间的关系即可求出 n 个 点时线段的条数．
解：(1)根据题意可得，
在一条直线上取 1 个点时，如图所示，
共有 0 条线段；
在一条直线上取 2 个点时，如图所示，
共有 1 条线段；
在一条直线上取 3 个点时，如图所示，
共有 3 条线段；
在一条直线上取 4 个点时，如图所示，
共有 6 条线段；
在一条直线上取 5 个点时，如图所示，
共有 10 条线段；
…
在一条直线上取 n 个点时，共有 1)条线段；
(
故答案为：
0
，
1
，
3
，
6
，
10
， ；
．
)n(n 1)
2
41
(2)当平面内有两个点时，如图所示，
最多可作 1 条直线；
当平面内有 3 个点时，如图所示，
最多可作 3 条直线；
当平面内有 4 个点时，如图所示，
最多可作 6 条直线；
当平面内有 5 个点时，如图所示，
42
最多可作 10 条直线；
…
当平面内有 n 个点时，最多可作 1)条直线；
(
故
答案为：
1
，
3
，
6
，
10
， ．
)n(n 1)
2
【设计意图】 培养了学生分析、归纳、猜想的思维习惯，培养了学生数学运 算、数学抽象的数学核心素养． 此题考查了直线，线段的概念和两点确定一条 线段，解题的关键是熟练掌握直线，线段的概念和两点确定一条线段．
【作业时间】 10 分钟
【第 6 课时】
数学小故事：
华罗庚出生于中国的江苏省，从小喜欢数学，而且非常聪明.1931年，华罗 庚被熊庆来教授请到清华大学.在熊庆来教授的指导下，他刻苦学习，一连发表 了十几篇论文，后来又被派到英国留学.他对数论有很深的研究，得出了著名的 “华氏定理” .他特别注重理论联系实际，走遍了 20 多个省、市、自治区，动员 群众把优选法用于农业生产.有记者在采访时问他： “你最大的愿望是什么？ ”
他不假思索地回答： “工作到最后一天.”他的确为科学辛勤工作到了最后一天.
习题巩固：
Zy6001. (必做题)如图，小莹利用圆规在线段CE 上截取线段CD ，使CD = AB ．若
点D 恰好为CE 的中点，则下列结论中正确的是( )
43
A ．CE = CD B ．CE = 2DE C ．AB = CE D ．AB = DE
【答案】 B
【分析】由点 D 为CE 的中点，可得CD= DE = CE, 再结合AB = CD, 再逐一分
析各选项即可得到答案．
解： 点D 为CE 的中点，
：CE = 2CD = 2DE, 故 A 不符合题意； B 符合题意；
点D 为CE 的中点，
∴ CD = DE,
CD = AB,
：AB = CD = DE, 故 C ，D 不符合题意；
故选： B．
【设计意图】 本题考查的是作一条线段等于已知线段，线段中点的含义，掌握 “线段中点的含义”是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
Zy6002. (必做题)同一条直线上三点A, B, C ，AB = 4cm, BC = 2cm ，则 AC 的长度为 ( )
A ．6cm B ．4cm 或6cm C ．2cm 或6cm D ．2cm 或4cm
【答案】 C
【分析】由题意可分当点 C 在线段 AB 上和当点 C 在线段 AB 外，然后根据线 段的和差关系可求解．
解： ①当点 C 在线段 AB 上时，则有：
∵ AB = 4cm, BC = 2cm ，
∴ AC = AB BC = 2cm ；
44
②当点 C 在线段 AB 外时，则有：
∵ AB = 4cm, BC = 2cm ，
∴ AC = AB + BC = 6cm ；
故选 C．
【设计意图】 培养了学生分类讨论的数学思想，同时考查了学生对线段和差关 系的掌握．
【作业时间】 1 分钟
Zy6003. (必做题)如图，已知 AB 和CD 的公共部分BD = AB = CD ，线段 AB, CD
的中点E, F 之间的距离是10cm ，则 AB 的长是( ) cm ．
A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
【答案】 D
【分析】设 BD＝x，则 AB＝3x ，CD＝4x，由中点的定义可得 EF＝ (3x＋ 4x)＝10，即可求解 x 值，进而可求得 AB 的长．
解：设 BD＝x，
∵BD＝ AB＝ CD，
∴AB＝3x ，CD＝4x，
∵线段 AB ，CD 的中点 E，F 之间的距离是 10cm，
∴EF＝BE＋BF＝ AB＋ CD BD＝ (AB＋CD) BD＝ (3x＋4x) x＝
10cm，
解得 x＝4，
∴AB＝3x＝12 (cm )．
故选： D．
【设计意图】 培养了学生数学建模的核心素养，运用方程的模型解决几何问题. 另外主要考查两点间的距离，利用中点的定义求解线段的长是解题的关键．
【作业时间】 2 分钟
45
Zy6004. (必做题)已知A 、E、C 三点在同一直线上，线段AC = 8 ，线段CE = 6， 点 B 、D 分别是AC 、CE 的中点，则线段BD 的长度为_____．
【答案】 7 或 1
【分析】分为两种情况： ①E 在线段 AC 延长线上时，根据线段中点定义求出 BC，CD 的长，由 BD=BC+CD 求出答案； ②E 在线段 AC 上时，由 BD=BC- CD 求出答案．
解：分为两种情况： ①如图 1 ，E 在线段 AC 延长线上时，
∵AC=8 ，CE=6，点 B 、D 分别是线段 AC、CE 的中点，
∴BC= AC=4 ，CD= CE=3，
∴BD=BC+CD=4+3=7；
②如图 2 ，E 在线段 AC 上时，
∵AC=8 ，CE=6，点 B 、D 分别是线段 AC、CE 的中点，
∴BC= AC=4 ，CD= CE=3，
∴BD=BC-CD=4-3=1；
故答案为： 7 或 1．
．
【设计意图】 培养了学生分类讨论的数学思想，注重对数学运算核心素养的培 养．此题考查线段的和差计算，线段中点的定义，熟记线段之间的数量关系求 解是解题的关键．
【作业时间】 2 分钟
Zy6005. (必做题) (1)如图，已知线段 a ，b ，c ，用圆规和直尺作线段，使它等于 a + 2b c ．
46
(2)点 A ，B ，C 在同一直线上， AB=3cm ，BC=1cm．求 AC 的长．
【答案】 (1)见分析；(2)2cm 或 4cm
【分析】(1)如图，图中线段 AE 即为所求，
(2)当点 C 在线段 AB 上时，
AC＝AB－BC＝2cm；
当点 C 在线段 AB 的延长线上时，
AC＝AB＋BC＝4cm，
∴AC 的长为 2cm 或 4cm．
【设计意图】 培养了学生分类讨论的思维习惯， 本题主要考查线段的和与差， 找准线段之间的关系是解题的关键．
【作业时间】 3 分钟
Zy6006. (必做题)作图：已知线段 a 、b，画一条线段使它等于 2a ﹣ b．
(要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】 见分析
47
【分析】可先画出一条线段等于 2a，然后再在这条线段上截去 b，剩余线段即 为所求线段．
解：如图所示 AC=2a ﹣ b，
【设计意图】 本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出 另一条线段，相减在较长的线段上截去．
【作业时间】 2 分钟
Zy6007. (必做题)如图，延长线段 AB 到 C，使 BC=3AB，点 D 是线段 BC 的中 点，如果 CD=3cm，
(1)求 AC 的长度；
(2)若点 E 是线段 AC 的中点，求 ED 的长度．
【答案】 (1) AC 的长度为 8cm；(2) ED 的长度是 1cm．
【分析】(1)根据中点的性质求出 BC 的长度，再根据 BC=3AB 求出 AB，即可 得到答案；
(2)由中点定义求出 EC，根据线段的和差关系求出 ED 即可．
解：(1)因为点 D 为线段 BC 的中点， CD=3cm，
所以 BC=2CD=6cm，
因为 BC=3AB=6cm，所以 AB=2cm，
所以 AC=AB+BC=8cm ， 即 AC 的长度为 8cm．
(2)因为 E 是 AC 中点，所以 EC= AC=4，
所以 ED=EC-DC=4-3=1cm ，即 ED 的长度是 1cm．
48
【设计意图】 培养了数学运算的核心素养， 考查了线段中点的定义，线段的和 差计算，正确理解图中各线段之间的位置关系是解题的关键．
【作业时间】 2 分钟
Zy6008. (必做题)如图线段 AB=6cm，在线段 AB 上有一点 C，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点，
(1)当 AC=4cm 时，求线段 MN的长．
(2)当 C 在 AB 延长线上时，其他条件不变，是否能求出线段 MN的长，若 能，求线段 MN的长；若不能，请说明理由．
【答案】 (1) 3cm ；(2)能， 3cm
【分析】
(1)求得线段CM 、CN 的长度，即可求解；
(2)设BC 为xcm ，求得线段CM 、CN 的长度，即可求解． 解：(1)当 AC=4cm 时， BC = 2cm
因为点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点
∴ CM = AC = 2cm ，CN = BC = 1cm
MN = CM + CN = 3cm ；
(2)能，理由如下：
如下图，当 C 在 AB 延长线上时，
设BC 为xcm ，则 AC = (6 + x)cm
因为点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点
∴ CM = 1 AC = 1 (x + 6)cm ， CN = 1 BC = x cm
2 2 2 2
∴ MN = CM CN = 3cm .
【设计意图】 此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的
49
含义，利用数形结合的思想求解问题．
【作业时间】 5 分钟
Zy6009. (选做题)如图，已知线段AB = 24 ，动点P 从A 出发，以每秒 2 个单位的速 度沿射线AB 方向运动，运动时间为t 秒(t >0 )， 点M 为AP 的中点．
(1)当t = 3 时，求线段MB 的长度；
(2)当 t 为何值时，点P 恰好是MB 的中点？
(3)当 t 为何值时， AM = 2PB ？
【答案】 (1)当t = 3 时， MB = 21；(2)当t = 8 ；点 P 恰好是 MB 的中点；(3)
t = 或t = 16 ，AM = 2PB ．
【分析】(1)如图：当 t=3 时，先求出 AP,然后再求出 AM,最后根据 MB=AB- AM 求解即可；
(2)先求出 AM=MP=t，再说明 MP = PB = t ，然后由 AB = 3AM = 3t = 24 即可求 得 t；
(3)分 P 在线段AB 上和 P 在线段AB 延长线上两种情况解答即可． 解：(1)当t = 3 时， AP = 3 × 2 = 6 .
∵点M 为AP 的中点，
(
∴
AM
=
AP
=
×
6
=
3
，
)1 1
2 2
∴ MB = AB AM = 24 3 = 21 .
(2) ∵点M 为AP 的中点，
50
(
1
1
)∴ AM = MP = AP = × 2t = t .
2 2
∵点P 是MB 的中点，
∴ MP = PB = t ，
∴ AB = 3AM = 3t = 24 ，
∴ t = 8 ；
(3)当点P 在线段AB 上时， AM = t ，
PB = AB AP = 24 2t ，
∴t = 2 (24 2t)，
解得t = .
当P 在线段AB 的延长线上时， AM = t ，
PB = AP AB = 2t 24 ，
∴t = 2 (2t 24)，
解得t = 16 .
∴ t = 或t = 16 ．
【设计意图】 本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和 差等知识点，正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为 解答本题的关键．
【作业时间】 10 分钟
【第 7 课时】
数学阅读：
两岸直航好处多
曾经要想从大陆去台湾，需要经过“中转站”才可的以实现，近年大陆台湾
实现了直航，从数学的原理看“两点之间线段最短”，航程缩短了，自然也就带 来了经济上的节约，下面一组数字最说明问题：据台湾媒体报道，两岸航线创
51
建截弯取直的新航路，桃园至上海的航程缩短了 62 分钟，约可节省40%至 45%的燃油，航空公司及旅客节省的工本每年约达新台币30 亿元.若以台北对上 海、北京、广州和厦门四航线货物直航合并计算，节省运费工本近 1/3.每年节 省约新台币 13 亿元.
习题巩固：
zy7001. (必做题)下列两个生活、生产中现象： ①用两个钉子就可以把木条固定 在墙； ②植树时，只要定出两棵树的位置就能确定同一行树所在直线； ③从 A 地到 B 地架设电线总是尽可能沿着线段 AB 架设； ④把弯曲的公路修直就能缩 短路程．其中可以用“两点之间线段最短”来解释现象为( )
A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④
【答案】 D
【分析】
①②根据“两点确定一条直线”解释， ③④根据两点之间线段最短解释．
解： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上， ②植树时，只要定出两棵树的位 置，就能确定同一行树所在的直线的依据是“两点确定一条直线”；
③从 A 地到 B 地架设电线总是尽可能沿着线段 AB 架设； ④把弯曲的公路修直 就能缩短路程的依据是“两点之间线段最短”．
故选： D．
【设计意图】 此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线以及 两点之间线段最短．
【作业时间】 1 分钟
zy7002. (必做题) 把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短路程，其道理用几
52
何知识解释为( )
A．两点之间，线段最短
段最短
C．两点确定一条直线
直线垂直
【答案】 A
【分析】
B．点到直线上所有点的连线中，垂线
D．平面内过一有且只有一条直与已知
根据题意一条弯曲的高速路改为直道，缩短路程，即可得所用到的几何知识是 两点之间，线段最短，据此即可求解.把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短 路程，其道理用几何知识解释为两点之间，线段最短.
故选 A.
【设计意图】 本题考查了两点之间，线段最短，理解题意是解题的关键． 【作业时间】 1 分钟
zy7003. (必做题)下列三种现象中，可用“两点之间线段最短”来解释的现象是 ( ) (1)用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；(2)过 马路时，行人选择横穿马路而不走人行天桥；(3)工人砌砖前需要固定两点， 牵上线，才开始砌砖．
A．(1) B．(2) C．(2)(3) D．都不可以
【答案】 B
【分析】根据两点之间线段最短的内容，寻找两个固定点，及固定点间线段， 进行判断即可．
解：(1)用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，没 有固定两个点，故(1)不可用； (2)过马路时，行人选择横穿马路而不走人行天桥，因为到从起始点到出发 点，走天桥是曲线，不是两点间的线段，路线会更长，故(2)可用； (3)工人砌砖前需要固定两点， 牵上线，才开始砌砖，是利用了两点之间确定 一条直线，以保证砖砌平，而不是两点之间线段最短，故(3)不可用．
故选 B．
【设计意图】 本题考查了学生对“两点之间线段最短”这一知识点的理解与实际 应用，正确理解，从现实中抽象出这一模型是解决本题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy7004. (必做题)把一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是
53
________．
【答案】 两点之间，线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短即可求解．
解：本题是应用线段的性质解释生活中的现象，由于这是两点之间连线长度的 比较，符合“两点之间，线段最短”．
故答案为：两点之间，线段最短．
【设计意图】 此题主要考查线段的性质，解题的关键是熟知“两点之间，线段最 短”．
【作业时间】 1 分钟
zy7005. (必做题)如图， 点A 、B 在直线l 上，点C 是直线l 外一点，可知 CA + CB > AB ，其依据是______．
【答案】 两点之间线段最短
【分析】依据线段的性质，即可得出结论．
点 A 、B 在直线 l 上，点C 是直线 l 外一点，因为 CA+CB>AB，所以依据是：两 点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【设计意图】
本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折 线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
【作业时间】 1 分钟
zy7006. (必做题)如图， 已知直线 l 和直线外三点A ，B ，C，按下列要求画图：
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(1)画射线 AB；
(2)连接 BC，延长 BC 至点 D，使得 CD=BC ；
(3)在直线 l 上确定点 E，使得点 E 到点 A，点 C 的距离之和最短．
【答案】 (1)见分析；(2)见分析；(3)见分析
【分析】
(1)射线 AB 即为起点为 A，方向是从 A 向 B，由此作图即可；
(2)先连接线段 BC，然后沿 BC 方延长，最后在延长线上截取 CD=BC 即可；
(3)连接 AC，与直线 l 的交点即为所求． 解：(1)如图所示：射线 AB 即为所求；
(2)如图所示：连接 BC 并延长线段 ，然后截取 CD=BC，点 D 即为所 求；
(3)如图所示：连接 AC 交直线 于点 E，点 E 即为所求．
【设计意图】
本题考查基本作图，涉及线段，射线等，理解射线的定义，掌握两点之间线段 最短是解题关键．
【作业时间】 3 分钟
zy7007. (必做题)如图所示一只虫子在 A 处，想到 C 处的最短路线，请画出简 图，并说明理由．
55
【答案】 见分析
【分析】先将立体图形展开为平面图形，然后结合平面中两点之间，线段最短 构图即可．
解：将圆柱体展开为平面图形如图所示：
∴虫子在 A 处，想到 C 处的最短路线如图所示，
理由是：两点之间，线段最短．
【设计意图】 本题考查立体图形上的最短路径问题，具有良好的空间想象能 力，熟悉平面内两点间，线段最短是解题关键．
【作业时间】 5 分钟
zy7008. (必做题)如图， 公园里修建了曲折迂回的桥，这与修一座直的桥相比， 对游人观赏湖面风光能起什么作用？用你所学数学知识说明其中的道理．
56
【答案】 增加了游人行走的路程，便于游人从不同的角度欣赏湖面风光，利用 了两点之间线段最短的数学知识
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
解：这样做增加了游人行走的路程，便于游人从不同的角度欣赏湖面风光， 理由：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的九曲桥增加了游人在桥上行 走的路程．
【设计意图】 培养了学生的数学应用意识， 考查了两点之间线段最短，正确将 实际问题转化为数学知识是解题关键．
【作业时间】 2 分钟
zy7009. (选做题)如图， 在四边形ABCD 内找一点 O、使它到四边形四个顶点的距 离的和OA+ OB + OC + OD 最小，并说出你的理由．由本题你得到什么数学结论？
举例说明它在实际中的应用．
【答案】 当点 O 是四边形对角线的交点时，数学结论：四边形对角线交点到四 个顶点的距离之和最小.
57
【分析】根据“两点的所有连线中，线段最短”的性质分析即可．
OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD ，
根据“两点的所有连线中，线段最短”的性质，
当A, O, C 和B, O, D 共线时，即当点 O 是四边形对角线的交点时，它到四个顶点的 距离之和最小．
数学结论：四边形对角线交点到四个顶点的距离之和最小．
应用举例, A, B, C, D 分别为四个村庄，在村庄附近修建一个车站，要求所选地点 到每个村庄的距离和最小，则修建地点应该选在四边形对角线的交点位置．
【设计意图】 本题考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的 关键．
【作业时间】 10 分钟
【第 8 课时】
数学阅读：
在生活中，角无处不在，只要你认真观察，就会处处看到它们．我们学习 用的书本就有四个直角，我们画的简笔画上也有各种各样的角度．还有我们大 家都见过钟表，在三点的时候，钟表的时针和分针形成了直角；六点时，钟表 的时针和分针形成了平角；两点时，钟表的时针和分针形成了 60°角等等……
我们在用量角器量角时，一定要注意把量角器放在角的上面，使量角器的 中心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角 器上的刻度就是这个角的度数．
角度的相加减，在列式计算时，必须使得度与度对应、分与分对应、秒与 秒对应才能正确地相加减．
学完了角及角的度量之后，我感到非常快乐，因为我学会了量角、画角、 找角、算角、转移角、平分角等等……我知道，角还有许多许多的奥秘，等着
我们去发现去探索呢！
习题巩固：
zy8001. (必做题)下面四个图形中，能用∠1 ， ∠AOB ， ∠O 三种方法表示同一个 角的图形是( )
58
(
A
．
) (
B
．
) (
C
．
) (
D
．
)
59
【答案】 B
【分析】利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果．
解： A、图中角只能表示为： ∠1 ， ∠AOB，故错误；
B 、图中角可表示为： ∠1 ， ∠AOB ， ∠O，故正确；
C、图中角可表示为： ∠1 ， ∠COB，故错误；
D 、题干角的表示不能表示同一个角，故错误．
故答案为： B．
【设计意图】 本题主要考察的是角的表示方法，确定顶点即角的两边是解题的 关键．
【作业时间】 1 分钟
zy8002. (必做题)下列说法：(1)两条射线组成的图形叫做角；(2)角的两边是 两条线段；(3)平角的两边组成一条直线；(4)周角就是一条射线．其中正确 有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【答案】 A
【分析】
根据角的定义，平角，周角的定义，逐项分析即可，具有公共端点的两条射线 组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条 边．一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时， 所构成的角叫平角；平角等于 180°，是角的两边成一条直线时所成的角；周 角，即一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，周角等于 360°，是角的一 边绕着顶点旋转一周与另一边重合时所形成的角．
(1)具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故(1)不正确；
(2)角的两边是两条射线，故(2)不正确；
(3)平角的两边组成一条直线，故(3)正确； (4)周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故(4)不正确， 故正确的有(3)共 1 个．
故选 A．
【设计意图】 本题考查了角的定义，平角与周角的定义，理解定义是解题的关 键．
【作业时间】 1 分钟
zy8003. (必做题)如图， 用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB 的度数为( )
A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
【答案】 根据平角的定义和角的和差即可得到结论．
【分析】解：看内圈的数字可得： ∠AOB＝120°，
故选： C．
【设计意图】本题考查了量角器的使用，正确使用量角器是解题关键．
【作业时间】 1 分钟
zy8004. (必做题) 1.45°＝___°___ ′ ，1800″＝___°．
【答案】 1 27 0.5
【分析】
根据大单位化小单位乘以进率，把不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可
得答案，根据小单位化大单位除以进率，可得答案．
解： 1.45° = 1°27′ ，1800″= 30′ = 0.5°
故答案为： 1 ，27 ，0.5
【设计意图】 本题考查了度分秒的转换， 1 度等于 60 分， 1 分等于 60 秒，由大
60
单位转换成小单位乘以 60，小单位转换成大单位除以 60，掌握度分秒的转化方 法是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy8005. (必做题) 用度、分、秒表示： 37.68° =______．
【答案】 37°40′48″
【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60 为进制． 1°=60' ，1'=60'' ． 解： 37.68° = 37°+0.68 × 60′ = 37°+40.8′ = 37°+ 40′+ 0.8 × 60'' = 37°+ 40′+ 48'' = 37°40'48'' 故答案为37°40′48″
【设计意图】 考查了度分秒的换算，掌握1°=60' ，1'=60''是解题的关键． 【作业时间】 1 分钟
zy8006. (必做题)若∠1= 20°18′ ， ∠2 = 20°15′30′′ ， ∠3= 20.25° ，将这三个角按角度的
大小排列，顺序为________．
【答案】 ∠1>∠2 >∠3
【分析】先把∠3化为20915, 再由20°18′ > 20°15′30′′ > 20°15′,从而可得答案. 解： ∠3 = 20.25°=20°+0.25°× 60′=20°15′,
而20°18′ > 20°15′30′′ > 20°15′,
：1 2 3,
故答案为： ∠1>∠2 >∠3
【设计意图】 本题考查的是角的大小比较，掌握“角度的换算”是解题的关键. 【作业时间】 1 分钟
zy8007. (必做题)把一个平角 16 等分，则每份(用度、分、秒表示)为
(
．
)__________
【答案】 11。15′
【分析】先求出 180°平均分成 16 个角的大小，再化成度、分、秒即可． 解： 180°÷16＝11.25° ，0.25°＝(0.25×60) ′＝15′，
61
∴ 11.25°＝11。15′，
故答案为： 11。15′．
【设计意图】 本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算方法是解决 问题的前提．
【作业时间】 2 分钟
zy8008. (必做题)借助一副三角尺画出15°,105°,120°,135° 的角．
【答案】 见解析
【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出．
解：如图所示， 45°-30°=15°，
45°+60°=105°，
90°+30°=120°，
90°+45°=135°．
【设计意图】 本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺 的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键．
【作业时间】 3 分钟
zy8009. (选做题)观察思考：
(1)在∠AOB 内部画 1 条射线 OC，则图中有 3 个不同的角；
(2)在∠AOB 内部画 2 条射线 OC、OD，则图中有几个不同的角？
62
(3) 3 条射线呢？你能发现什么规律，表示出 n 条射线能有几个不同的角？ 【答案】 (2) 6；(3) 10，有() 个不同的角
【分析】
(2)根据图 1 直接数出即可；
(3)在图 1 的基础上看增加的角的个数即得画 3 条射线时角的个数；依此规律 可得在∠AOB 内部画 n 条射线时角的个数．
解：(2)在∠AOB 内部画 2 条射线 OC、OD，如图 1，
则图中有∠AOC、 ∠AOD 、 ∠AOB 、 ∠COD 、 ∠COB 、 ∠DOB， 共 1+2+3=6 个不同的角；
(3)在∠AOB 内部画 3 条射线 OC、OD 、OE，如图 2，
在图 1 的基础上增加了∠AOE、 ∠COE、 ∠DOE 和∠BOE，
共有 6+4=10 个不同的角；
若在∠AOB 内部画 n 条射线，则有1 + 2 + 3 + … + (n + 1) = ) 个不同的角．
【设计意图】 本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重 类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．
【作业时间】 10 分钟
63
【第 9 课时】
数学阅读：
角的度量制
我们平时进行数字的运算时都知道做加法满 10 需要进一位：做减法某一位 上不够，需要向高一位借 1.这被称为十进制.
六十进制以度为单位， 将圆周分成 360 等份， 每一份所对的圆心角的大小叫 做 1 度， 1 度有 60 分， 1 分有 60 秒.60 进制起源于巴比伦，是 1854 年爱尔兰人
辛克斯(1792- 1866)在研究泥板上的楔形文字时发现的.
用“° 、’和”分别表示度、分、秒是由德国天文学家莱因霍尔德(1511- 1553)在
1551 年开始的.角的度量还有弧度制与密位制，将来我们可以学到.
习题巩固：
zy9001. (必做题)如图所示，正方形网格中有∠α 和∠β ，如果每个小正方形的边
长都为 1，估测∠α 与∠β 的大小关系为( )
A ． ∠α <∠β B ． ∠α = ∠β C ． ∠α >∠β D．无法估测
【答案】 A
【分析】根据两角张开的大小即可判断．
解析：比较两角张开的大小可知， ∠α <∠β．
故选 A．
【设计意图】 此题主要考查角度的大小比较，解题的关键是根据网格与两角张 开的大小的特点．
【作业时间】 1 分钟
zy9002. (必做题)用一个放大 10 倍的放大镜看一个 10°的角，这个角是( )
A ．100° B ．10°
C ．110° D ．170°
【答案】 B
64
【分析】根据放大镜看一个角只会改变边的长度，不会改变角本身的度数即可 求解．
解：用放大镜看一个角，不会改变角本身的度数，
故选： B．
【设计意图】 本题考查角的大小比较，放大镜看到的角不会改变角本身的度 数．
【作业时间】 1 分钟
zy9003. (必做题)若 ∠A 为钝角， ∠B 为锐角，则 ∠A ∠B 是( )
A．钝角 B．锐角
C．直角 D．都有可能
【答案】 D
【分析】根据题意找到范围值钝角是大于 90°小于 180°的角，锐角是大于 0°小 于 90°的角，然后找到对应的差的范围值为大于 0°小于 180°，然后对照选项即
可．
解：因为 ∠A 为钝角， B 为锐角，
所以90°< ∠A < 180° ，0°< ∠B < 90° ，
所以0° < ∠A ∠B < 180° ,
所以锐角，直角，钝角均有可能．
故选 D．
【设计意图】 考查范围的求解，学生必须熟悉锐角、直角、钝角的范围，并能 够求差所对应的范围值，此为解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy9004. (必做题)射线 OC 在∠AOB 内部，下列条件不能说明OC 是∠AOB 的平分 线的是( )
A ． ∠AOC = ∠AOB B ． ∠BOC = ∠AOB
C ． ∠AOC +∠BOC = ∠AOB D ． ∠AOC = ∠BOC
【答案】 C
【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.可知 B 不一定正确.
65
解： A、当∠AOC＝ ∠AOB 时， OC 一定在∠AOB 的内部且 OC 是∠4OB 的
平分线，故本选项正确；
B、当∠BOC = ∠AOB 时， OC 一定在∠A0B 的内部且 OC 是∠A0B 的平分线，
故本选项正确；
C、当∠AOC +∠BOC = ∠AOB ，只能说明 OC 在∠AOB 的内部，但不能说明 OC 平分∠AOB，故本选项错误；
D、当∠AOC＝∠BOC 时， OC 一定在∠AOB 的内部且 OC 是∠AOB 的平分 线，故本选项正确．
故选 C．
【设计意图】 本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个 角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.
【作业时间】 1 分钟
zy9005. (必做题)钟表上 10 点整时，时针与分针所夹角的大小为__________．
【答案】 60°
【分析】根据钟面上一个大格为309求解即可．
解： ∵周角为360° ，钟表共 12 个大格，
∴ 1 个大格为360°÷ 12 = 30° ．
∵10 点整时，时针与分针的夹角为 2 个大格，
∴10 点整时，时针与分针的夹角为30°× 2 = 60° ．
故答案为： 60° ．
【设计意图】 培养了学生的数学运算的核心素养和数学应用意识， 考查钟面 角，熟练掌握该知识点是解题关键．
【作业时间】 3 分钟
zy9006. (必做题)如图， 在下面的横线上填上适当的角．
66
(1) ∠AOC＝ ∠ ＋∠ ；
(2) ∠AOB＝ ∠ ﹣ ∠ ； 或∠AOB＝∠ ﹣ ∠ ；
(3)若∠AOC＝ ∠BOD，则∠AOB ∠COD (填“＞” 、“＜”或“＝”)；
(4)若∠AOB＝ ∠COD，则∠AOC ∠BOD (填“＞” 、“＜”或“＝”)．
【答案】 (1) AOB；BOC；(2) AOC；BOC；(3) AOD；BOD；(4)＝；＝ 【分析】结合图形，根据角的加减填空即可．
解：(1) ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；
故答案为： AOB；BOC；
(2) ∠AOB＝∠AOC ﹣ ∠BOC 或∠AOB＝∠AOD ﹣ ∠BOD； 故答案为： AOC；BOC； ∠AOD ， ∠BOD
(3) ∵∠AOC＝ ∠BOD，
∴∠AOB＝∠AOC ﹣ ∠BOC， ∠COD＝∠BOD ﹣ ∠BOC，
∴∠AOB＝∠COD；
故答案为： AOD；BOD；
(4) ∵∠AOB＝ ∠COD，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC， ∠BOD＝∠COD＋∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
故答案为：＝；＝．
【设计意图】 本题主要考查了角的加减，结合图形，熟练掌握角的加减是解答 此题的关键．
【作业时间】 2 分钟
67
zy9007. (必做题)如图， ∠AOB = 120° ， ∠BOC = 30° ，OD 是∠AOC 的平分线，则 ∠BOD = ________．
【答案】 75°
【分析】依据 OD 是∠AOC 的角平分线，即可得到∠COD＝45°，再根据∠ BOC＝30°，即可得到∠BOD 的度数．
∵∠AOB＝120° ， ∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
又∵OD 是∠AOC 的角平分线，
∴∠COD＝45°，
∴∠BOD＝45°＋30°＝75°，
故答案为： 75°．
【设计意图】 本题主要考查了角的比较和运算以及角平分线的定义，从一个角 的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
【作业时间】 2 分钟
zy9008. (选做题)如图， 将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
(1)猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系，并说明理由；
68
(2)求∠AOD +∠BOC 的度数；
(3)若∠BOD :∠AOD = 2 : 5 ，求∠BOC 的度数．
【答案】 (1) ∠AOC = ∠BOD ，理由见解析；(2) 180° ；(3) 309．
【分析】
(1)由∠AOB = ∠COD = 90° ，可得∠AOB ∠COB = ∠COD ∠COB ，再利用角的和差 关系可得答案；
(2)由 ∠AOB = ∠COD = 90° ， ∠AOD +∠BOC = ∠AOC + ∠BOC + ∠BOD + ∠BOC ，再利 用角的和差关系可得答案；
(3)由∠BOD :∠AOD = 2 : 5 ，设∠BOD = 2x° ，则∠AOD = 5x° 表示：
∠AOD = (90 + 2x)° ，可得5x = 90 + 2x ，再解方程求解x ，再利用角的和差关系可
得答案．
解：(1) ∠AOC = ∠BOD ，
理由是： ∵ ∠AOB = ∠COD = 90° ，
∴ ∠AOB ∠COB = ∠COD ∠COB ，
∴ ∠AOC = ∠BOD ；
(2) ∵ ∠AOB = ∠COD = 90° ， ∴ ∠AOD +∠BOC
= ∠AOC + ∠BOC + ∠BOD + ∠BOC
= ∠AOB +∠COD
= 90°+ 90°
= 180° ；
(3) ∵ ∠BOD :∠AOD = 2 : 5 ， ∴设∠BOD = 2x° ，则∠AOD = 5x° ∵ ∠AOB = 90° ，
∴ ∠AOD = (90 + 2x)°
∴ 5x = 90 + 2x
∴ x = 30
∴ ∠BOD = 60°
∴ ∠BOC = 90 60° = 30° ．
69
【设计意图】 培养了学生数学运算和数学建模的核心素养， 考查的是余角的含 义，角的和差关系，一元一次方程的应用，掌握利用角的和差关系进行几何问 题中的角的计算是解题的关键．
【作业时间】 3 分钟
zy9009. (选做题)如图所示， OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC，
(1)若∠AOB＝90° ， ∠AOC＝30°，求∠MON 的度数；
(2)若(1)中改成∠AOB＝60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
(3)若(1)中改成∠AOC＝60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
(4)从上面结果中看出有什么规律？
【答案】 (1) 45° (2) 30° (3) 45° (4) ∠MON 的大小是∠AOB 的一半，
与∠AOC 无关．
【分析】
(1)由∠AOB＝90° ， ∠AOC＝30°，易得∠BOC，可得∠MOC，由角平分线的 定义可得∠CON，可得结果；(2)同理(1)可得结果；(3)同理(1)可得结 果；
(4)根据结果与∠AOB ， ∠AOC 的度数归纳规律．
(1) ∵∠AOB＝90° ， ∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠MOC＝60°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠CON＝15°，
∴∠MON＝ ∠MOC ﹣ ∠NOC＝60° ﹣ 15°＝45°；
(2) ∵∠AOB＝60° ， ∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠MOC＝45°，
70
∵∠AOC＝30°，
∴∠CON＝15°，
∴∠MON＝ ∠MOC ﹣ ∠NOC＝45° ﹣ 15°＝30°；
(3) ∵∠AOB＝90° ， ∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠MOC＝75°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠CON＝30°，
∴∠MON＝ ∠MOC ﹣ ∠NOC＝75° ﹣ 30°＝45°；
(4)从上面结果中看出∠MON的大小是∠AOB 的一半，与∠AOC 无关．
【设计意图】 培养了学生从特殊到一般的数学思想， 考查了角平分线的定义
第一部分 目标分析
1. 单元内容分析 03
2. 单元学情分析
3. 单元学习目标 04
4. 单元作业目标 04
5. 单元作业预设实现的素养目标 60
6. 单元作业设计思路及特色 06
7. 作业试题属性统计表 70
第二部分 作业评价设计表 14
第三部分 作业呈现
课时 01 51
课时 02 91
课时 03 62
课时 04 25
课时 05 63
课时 06 43
课时 07 51
课时 08 58
课时 09 64
课时 10 71
课时 11 78
课时 12 84
课时 13 质量检测 90
结束语 105
2
新人教版 《几何图形初步》单元作业设计
第一部分 目标分析
【单元内容分析】
本单元的教学内容选自人教版《九年义务教育课本 ·数学》七年级上册(以 下统称“教材”) 第四章“几何图形初步”，属于“图形与几何”类的教学内容. 本单元是初中数学平面几何的基础内容， 是初中阶段学生学习图形与几何的起点， 对于后续相关知识的学习影响深远.
本单元的内容主要包括点、线、面、体、立体图形、平面图形、直线、射线、 线段、角等基本概念和关于直线、线段的两个基本事实以及关于补角、余角的两 个性质定理.学生将初步接触推理证明和几何作图.
本单元的学习将培养学生的抽象能力、空间观念、几何直观、推理能力、运 算能力、应用意识等初中数学核心素养.
本单元的教学内容与生活密切相关，具有开放性.内容的特点决定了本单元 的教学方法更多采用了观察、操作、想象、交流等学习方法.
本单元作业设计安排为 13 课时：
4.1 几何图形 4 课时
4.2 直线、射线、线段 3 课时
4.3 角 3 课时
4.4 课题学习 设计制作长方体形状的 包装纸盒 1 课时
小结 1 课时
单元质量检测 1 课时
第 1 课时 4.1.1 认识几何图形
第 2 课时 4.1.2 从不同方向看物体
第 3 课时 4.1.3 展开图
第 4 课时 4.1.4 点线面体
第 5 课时 4.2.1 直线射线线段
第 6 课时 4.2.2 线段的比较
第 7 课时 4.2.3 两点之间线段最短
第 8 课时 4.3.1 角
第 9 课时 4.3.2 角的比较与运算
第 10 课时 4.3.4 补角余角
第 11 课时 4.4课题学习 设计制作长 方体形状的包装纸盒
第 12 课时 单元小结
第 13 课时 单元质量检测
3
【单元学情分析】
“几何图形初步”是初中阶段“图形与几何”领域的第一章， 介绍图形与几 何的一些最基本的概念和图形.一些最基本的概念，如几何图形、立体图形、平 面图形、体、面、线、点等， 要在本章中从现实具体物体中抽象、归纳出来， 直 线、线段、射线、角及有关的概念在木章中得到比较详细的介绍， 并被广泛应用 于后续的教学中， 本章的教学属于初中几何图形知识学习的起始阶段， 对于后续 相关知识的学习影响深远.
学生在小学阶段认识了最简单的几何图形， 为本章的“几何图形初步”的学 习作好了一些铺垫， 本章内容的学习也是后面学习角形、四边形、圆等相关几何 知识的重要基础， 其中直线、射线、线段和角都是重要而最基本的几何图形， 有 关直线、射线、线段和角的概念和性质、表示、画法、计算等都是重要的几何基 础知识， 是学习后续图形与几何知识以及其他数学知识的必备基础， 因此， 本章 重点内容是几何与图形的基本概念和线段、角的基本知识， 概念的抽象性是教学 的主要难点.
【单元学习目标】
1. 了解几何图形、立体图形、平面图形以及几何体、平面和曲面、直线和曲线、 点等概念,培养抽象思维能力.
2. 能画出从不同方向看一些基本几何体得到的平面图形， 了解常见几何体的展 开图，并能从展开图想象相应的几何体，培养空间观念和空间想象力.
3. 进一步认识直线、射线、线段的概念， 会用符号表示它们；掌握基本事实： “两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”；理解两点间距离的意义， 能
度量两点间的距离；了解平面上两条直线的两种位置关系；会比较线段的长 短，理解线段的和差以及线段中点等概念，会画一条线段等于已知线段.
4. 理解角的概念， 并会用符号表示角，会比较角的大小以及度量一个角，会进 行度分秒的转换， 会计算角的和差.了解角的平分线、余角、补角的概念， 理 解补角、余角的性质.
5. 通过课题学习， 学会独立思考， 学会团队合作，培养空间想象能力、逻辑思 维能力、动手操作能力和应用数学的能力.
【单元作业目标】
课时 单元作业目标序号 单元作业目标描述 学
第 1 课时 M001 了解立体图形、平面图形的概念， 能 识别简单几何体(长方体、正方体、 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等)． 能根据实物抽象出平面图形. A 了解
第 2 课时 M002 能画出从不同方向看一些基本几何 体(直棱柱、 圆柱、 圆锥、球) 以及 它们的简单组合体得到的平面图形． A 了解
第 3 课时 M003 了解直棱柱、圆锥等简单立体图形的 侧面展开图． 能根据展开图初步判断 和制作立体模型． 进一步认识立体图 形与平面图形之间的关系． A 了解
4
第 4 课时 M004 认识体、面、线、点的概念． 理解点、线、面、体之间的关系． B 理解
第 5 课时 M005 1．借助具体情境， 理解“两点确定一 条直线”的基本事实． 2．在现实情境中理解直线、射线、线 段等简单的图形，并用字母表示． 3．理解直线、射线、线段的概念及它 们的区别和联系． 4．理解简单的几何语言， 能根据几 何图形说出其几何意义． B 理解
第 6 课时 M006 会用尺规画一条线段等于已知线段， 会比较两条线段的长短． 理解线段等分点的意义， 理解两点间 距离的意义． 会度量两点间距离. C 掌握
第 7 课时 M007 理解“两点之间， 线段最短”的结论， 并能用这一结论解释一些简单的问 题． C 掌握
第 8 课时 M008 1．在现实情境中，认识角是一种基 本的几何图形，理解角的概念， 学会角的表示方法． 2．认识角的度量单位度、分、秒， 会 进行简单的换算和角度计算． B 理解
第 9 课时 M009 1．会比较两个角的大小， 会分析图 中角的和差关系． 2．会借助三角板拼出不同度数的角， 认识角的平分线及角的等分线，会 画角的平分线． C 掌握
第 10 课时 M010 1．掌握角之间的和差倍分关系，并 能进行简单的计算． 2．学会用方程解决几何问题． D 应用
第 11 课时 M011 1．理解两个角互为余角和互为补角 的概念． 2．理解互余与互补的角的性质． 3. 理解方位角的意义，掌握方位角 的判别与应用． D 应用
第 12 课时 M012 利用立体图形的表面展开图制作包 装纸盒． D 应用
第 13 课时 M013 经历相关内容的回顾、归纳、总结， 提高对图形的认识能力， 体会它们在 解决实际问题中的作用， 发展学生运 用几何语言表述问题的能力． 经历观 察、猜想、说理等数学活动培养学生 运用类比的学习方法和数形结合的 D 应用
5
能力．
【单元作业预设实现的素养目标】
学生在达成上述学习目标的过程中要进一步具备“图形变化、转化思想， 模 型思想”，体会问题解决中的数学抽象、一般到特殊、转化、推理论证、类比等 数学思想与方法。如， 本章内容呈现时， 注意让学生观察实物、模型和图形， 抽 象出数学中的基本概念， 通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图 形中的位置关系和数量关系， 从而发现图形的性质， 进而落实初中数学核心素养 “几何直观、抽象能力、推理能力、运算能力”。同时，注意初步培养学生 “推 理”获得数学结论的方法， 培养学生言之有据的习惯和有条理的思考、表达的能 力， 完成由实验几何到论证几何的过渡， 落实数学核心素养的“推理能力”。 再 如， 在涉及到线段长度和角度的计算中， 要培养学生用方程的模型解决问题， 落 实了核心素养中的“模型观念”.
【单元作业设计思路及特色】
1. 基于课程标准的标准化原则
本单元的课时作业是 12 篇，对应 12 个学习课时， 单元质量检测试卷是 1 篇. 单元作业设计中的课时目标全部按照课程标准的学习要求细分为小的知识点， 每 个知识点又根据课程标准的不同要求细分为不同的掌握水平.知识点掌握水平分 为 4 个层次：了解、理解、掌握、应用.课时作业的每道试题严格按照掌握水平 的层次进行命制，力争做到难度适中.
2. 基于学情的分层设计原则
单元作业设计按照作业内容分层递进， 按照基本概念、基本知识、基本方法 到重难点知识和方法， 再到综合应用， 最后是思维的发散和引申.作业设计符合 学生的认知规律，同时满足不同层次的学生学习的要求.每篇课时作业都设置了 必做题和选做题.
3. 基于提高数学核心素养的育人性原则
初中数学核心素养包括抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能 力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识九个方面. 单元作业从形式和内 容上进行创新， 努力做成发展型、创新型、多样型的作业,改变传统作业一味强 调解题经验的单调作业内容,提高学生的九个数学核心素养.
4. 多元的评价方法
单元作业设计改变传统的教师作为评价实施主体的评价方法， 采用自评、 师 生评价、生生评价.
5. 多样化的作业形式
单元作业设计改变传统的教师布置书面作业的方式，改为部分作业可以由学 生布置， 作业也可以不再由个人完成， 也可以是小组合作完成.作业形式上可以 是习题练习，也可以是动手操作、论文写作、数学阅读、信息搜集等作业形式.
6. 基于“双减”精神的服务性原则
为了给学生减负和帮助学生培优补缺的目的， 每道作业题的答案后面会附带 详细的解析和解题经验总结.
6
作业试题属性统计表
题号 类型 单元作 业目标 知识点 数学能力 预估时 间 数学核心 素养 目标水平
了解 理解 掌握 应用
zy1001 必做题 M001 立体图形的认识 空间想象能 力，观察能 力，辨析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1002 必做题 M001 平面图形的认识 观察能力， 辨 析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1003 必做题 M001 平面图形的认识 观察能力， 辨 析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1004 必做题 M001 立体图形的认识 空间想象能 力，观察能 力，辨析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1005 必做题 M001 平面图形的认识 观察能力， 辨 析能力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1006 选做题 M001 立体图形的认识 空间想象能 力，观察能 力，辨析能力 5 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy1007 选做题 实践题 M001 平面图形的认识 动手操作能 力，协作能力 10 分钟 抽象能力 空间观念 创新意识 √
zy1008 选做题 实践题 M001 立体图形的认识 平面图形的认识 动手操作能 力，协作能力 10 分钟 空间观念 创新意识 应用意识 √
zy2001 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2002 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2003 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2004 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy2005 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 2 分钟 空间观念 √
7
zy2006 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 2 分钟 空间观念 √
zy2007 必做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力 5 分钟 空间观念 运算能力 √
zy2008 选做题 M002 从不同方向看物 体 空间想象能 力，运算能力 5 分钟 空间观念 运算能力 √
zy3001 必做题 M003 几何体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3002 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3003 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3004 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy3005 必做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力 5 分钟 空间观念 √
zy3006 选做题 M003 正方体的平面展 开图 空间想象能 力， 合作探究 能力 10 分钟 空间观念 应用意识 √
zy3007 选做题 实践操 作题 M003 几何体的平面展 开图 空间想象能 力， 合作探究 能力 10 分钟 空间观念 应用意识 √
zy4001 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy4002 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力 1 分钟 抽象能力 空间观念 √
zy4003 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力，观察能力 1 分钟 空间观念 √
zy4004 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力，观察能 力 1 分钟 空间观念 √
zy4005 必做题 M004 点线面体的关系 空间想象能 力，观察能 力 1 分钟 抽象能力 √
zy4006 必做题 M004 点线面体的关系 观察能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
8
zy4007 选做题 实践题 M004 点线面体的关系 观察能力 推理能力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
zy4008 选做题 实践题 M004 应用意识 应用意识 实践能力 10 分钟 应用意识 √
Zy5001 必做题 M005 点与直线的位置 关系 观察能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5002 必做题 M005 点与直线的位置 关系 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5003 必做题 M005 直线、射线、线段 的概念 辨析能力 识图能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5004 必做题 M005 直线的表示方法 辨析能力 识图能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy5005 必做题 M005 直线的性质 抽象思维能 力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy5006 必做题 M005 直线、射线、线段 的作图 作图能力 5 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy5007 选做题 实践题 M005 直线、射线、线段 的计数 抽象思维能 力，分析能 力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy6001 必做题 M006 中点的定义 辨析能力 1 分钟 推理能力 √
Zy6002 必做题 M006 线段的计算 计算能力 作图能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy6003 必做题 M006 线段的计算 计算能力 2 分钟 运算能力 模型观念 √
Zy6004 必做题 M006 线段的计算 计算能力 分析能力 2 分钟 运算能力 模型观念 √
Zy6005 必做题 M006 线段的计算 尺规作图 计算能力 分析能力 作图能力 3 分钟 运算能力 模型观念 √
Zy6006 必做题 M006 尺规作图 作图能力 2 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy6007 必做题 M006 线段的计算 计算能力 2 分钟 运算能力 √
Zy6008 必做题 M006 线段的计算 计算能力 分析能力 5 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy6009 选做题 M006 线段的计算 动点问题 计算能力 分析能力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
9
Zy7001 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7002 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7003 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7004 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7005 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy7006 必做题 M007 直线、线段的性质 作图能力 辨析能力 3 分钟 抽象能力 几何直观 应用意识 √
Zy7007 必做题 M007 直线、线段的性质 作图能力 辨析能力 5 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy7008 必做题 M007 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 2 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy7009 选做题 实践题 M007 直线、线段的性质 作图能力 应用意识 10 分钟 几何直观 应用意识 √
Zy8001 必做题 M008 角的表示 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy8002 必做题 M008 角的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy8003 必做题 M008 角的度量 理解能力 识图能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
Zy8004 必做题 M008 角的单位转换 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8005 必做题 M008 角的单位转换 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8006 必做题 M008 角的比较 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8007 必做题 M008 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8008 必做题 M008 角的计算 计算能力 作图能力 3 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy8009 选做题 探究题 M008 角的计算 观察能力 分析能力 计算能力 10 分钟 运算能力 推理能力 √
10
Zy9001 必做题 M009 角的比较 观察能力 分析能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9002 必做题 M009 角的比较 理解能力 1 分钟 抽象能力 √
Zy9003 必做题 M009 角的比较 观察能力 分析能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9004 必做题 M009 角平分线的定义 观察能力 分析能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9005 必做题 M009 角的计算 观察能力 分析能力 计算能力 3 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9006 必做题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9007 必做题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9008 选做题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 3 分钟 运算能力 推理能力 √
Zy9009 选做题 实践题 M009 角的计算 分析能力 计算能力 5 分钟 运算能力 推理能力 模型观念 √
zy10001 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 √
zy10002 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 2 分钟 抽象能力 运算能力 √
zy10003 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 抽象能力 √
zy10004 必做题 M010 方位角的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
zy10005 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 √
zy10006 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
zy10007 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
zy10008 必做题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 1 分钟 运算能力 推理能力 √
11
zy10009 选做题 探究题 M010 补角、余角的定义 计算能力 理解能力 5 分钟 运算能力 推理能力 模型观念 √
zy11001 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
zy11002 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，理解能 力 1 分钟 空间观念 √
zy11003 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，分析能 力 1 分钟 空间观念 √
zy11004 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，分析能 力 2 分钟 空间观念 推理能力 √
zy11005 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，计算能 力 2 分钟 空间观念 推理能力 √
zy11006 必做题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，计算能 力 2 分钟 空间观念 运算能力 √
zy11007 选做题 探究题 M011 立体图形的平面 展开图 空间想象能 力，计算能 力 5 分钟 空间观念 运算能力 √
zy12001 必做题 M012 几何图形的分类 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12002 必做题 M012 点线面体的关系 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12003 必做题 M012 直线、射线、线段 的定义 理解能力 辨析能力 3 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12004 必做题 M012 角的分类 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 应用意识 √
zy12005 必做题 M012 角的计算 理解能力 计算能力 2 分钟 运算能力 √
zy12006 必做题 M012 线段的计算 理解能力 计算能力 2 分钟 运算能力 推理能力 √
zy12007 必做题 M012 方位角 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 几何直观 √
zy12008 必做题 M012 线段的计算 理解能力 计算能力 3 分钟 运算能力 模型观念 √
12
zy12009 必做题 M012 线段的计算 理解能力 计算能力 10 分钟 运算能力 模型观念 √
jc001 必做题 M013 棱柱的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
jc002 必做题 M013 平面展开图 理解能力 空间想象能 力 1 分钟 几何直观 √
jc003 必做题 M013 平面展开图 理解能力 空间想象能 力 1 分钟 空间观念 √
jc004 必做题 M013 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
jc005 必做题 M013 直线、线段的性质 理解能力 辨析能力 1 分钟 空间观念 √
jc006 必做题 M013 线段中点的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
jc007 必做题 M013 方位角的定义 理解能力 辨析能力 1 分钟 抽象能力 √
jc008 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 √
jc009 必做题 M013 线段的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 √
jc010 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 几何直观 √
jc011 必做题 M013 线段的性质 理解能力 计算能力 1 分钟 抽象能力 几何直观 √
jc012 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 √
jc013 必做题 M013 点线面体的关系 理解能力 1 分钟 抽象能力 √
jc014 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 1 分钟 运算能力 模型观念 √
jc015 必做题 M013 直线、射线、线段 的定义 理解能力 作图能力 1 分钟 抽象能力 √
jc016 必做题 M013 直线、线段的性质 作图能力 1 分钟 模型观念 √
jc017 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 3 分钟 模型观念 运算能力 √
13
jc018 必做题 M013 直线的定义 理解能力 计算能力 5 分钟 模型观念 抽象能力 √
jc019 必做题 M013 线段的计算 理解能力 计算能力 5 分钟 模型观念 运算能力 √
jc020 必做题 M013 角的计算 理解能力 计算能力 10 分钟 模型观念 运算能力 √
第二部分 作业评价设计表
作业设计评价表 自我总评 老师总评
评 价 指 标 完成比例 正确率 A B C A B C
评 价 人 100% 80% 60% 优 秀 良 好 一 般
自 我 评 价 老师简评：
小 组 长 评 价
说明：各评价指标由各评价人视具体情况选择打"V"，并做积 极、友好，肯定，鼓励期望的简评
纠错本
错题序号 正确解法 错误原因剖析
14
第三部分 作业呈现
【第 1 课时】
数学阅读：
“七巧板”，也叫智慧板，由七块板组成，是一种古老的中国传统智力玩 具，它代表着中国古代劳动人民的聪明智慧，积淀着中华民族的精神追求。你 会组合“七巧板”吗？你想走进“七巧板”的奇妙空间吗？玩“七巧板”，可 以增强孩子的想象力和观察力，在各种人物形象、动物图案、建筑模型等图形 中发现绝妙的创意.
习题巩固
zy1001(必做题). 与图中实物图相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是 ( )
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．棱柱、圆锥、棱柱、长方体
【答案】 B
【分析】与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、 球、正方体、长方体．
故选： B．
【设计意图】本题考查了常见的立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形 圆柱、球、正方体、长方体的特点．
【作业时间】 1 分钟
15
zy1002(必做题). 如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有( )
16
A．圆、长方形
C．球、长方形
B．圆、线段
D．球、线段
【答案】 A
【分析】根据平面图形定义可恨容易找出正确答案．
解:根据图形可得组成这个标志的几何图形有长方形、圆.
所以 A 选项是正确的.
【设计意图】此题主要考查了平面图形，关键是掌握平面图形的定义. 【作业时间】 1 分钟
zy1003(必做题).如图所示是一个自行车的模型，它可以看作是由哪些几何图形组 成的______.
【答案】 圆，三角形，平行四边形，线段.
【分析】 观察自行车模型，找出图中的熟悉平面图形即可.
【设计意图】此题主要考查了平面图形,关键是掌握平面图形的圆、三角形、平 行四边形、线段的特点.
【作业时间】 1 分钟
zy1004. (必做题) 下图是某粮仓的示意图，该粮仓可以看作由常见几何体中的
__________和__________构成的．
【答案】 圆锥，圆柱
【分析】根据常见的几何体的形状可得答案．
解：一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的，
故答案为：圆锥；圆柱．
【设计意图】本题主要考查了认识几何体，关键是认识常见的几何体，如：长 方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．
【作业时间】 1 分钟
zy1005(必做题). 说出下列图形的名称．
【答案】 依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、 六边形．
【分析】
根据平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内可得答案．
根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四 边形、梯形、五边形、六边形．
【设计意图】此题考查认识平面图形，解题关键在于掌握其定义对图形的识别. 【作业时间】 1 分钟
zy1006(选做题). 在日常生活中，我们看到的物体：如①易拉罐； ②饮水机； ③ 金字塔； ④自来水管； ⑤八角亭； ⑥西红柿； ⑦小喇叭； ⑧气球； ⑨课本等。
17
你能指出这些物体和什么几何体类似吗？
【答案】 类似于圆柱体的有： ①易拉罐、 ④自来水管；
类似于圆锥体的有： ⑦小喇叭；
类似于长方体的有： ②饮水机、 ⑨课本；
类似于棱锥体的有： ③金字塔、 ⑤八角亭；
类似于球体的有： ⑥西红柿、 ⑧气球．
【分析】 根据日常生活中经常见到的物体与我们学习的立体图形联系起来更加 深刻的理解这些立体几何图形．可根据这些物体的大致外形进行分类．
类似于圆柱体的有： ①易拉罐、 ④自来水管；
类似于圆锥体的有： ⑦小喇叭；
类似于长方体的有： ②饮水机、 ⑨课本；
类似于棱锥体的有： ③金字塔、 ⑤八角亭；
类似于球体的有： ⑥西红柿、 ⑧气球．
【设计意图】让学生先想象具体实物的样子， 然后抽象出对应的立体图形， 考查 了学生抽象思维能力和空间想象能力．
【作业时间】 5 分钟
zy1007(选做题).请用七巧板设计尽可能多的构思独特且有意义的图形， 并写上一 两句贴切、诙谐的解说词，如图所示就是符合要求的两个图形．
18
【答案】
答案不唯一．
【分析】 学生制作一个七巧板，然后自己动手拼出一个自己喜欢的图形. 【设计意图】培养了学生的动手操作能力和团队协作能力，让学生热爱数学. 【作业时间】 10 分钟
zy1008(选做题).小组合作探究： 用 6 根同样的小木棒首尾相接最多能拼成多少个 三角形？
【答案】 4 个； 如图，用 6 根同样的小木棒摆成立体的正三棱锥.
【分析】 学生团队合作，动手实践，经历讨论的过程，多角度思考问题，从空
间的角度去思考问题.
【设计意图】培养了学生的动手操作能力和团队协作能力， 培养了学生的空间想 象能力和几何直观，让学生热爱数学.
【作业时间】 15 分钟
【第 2 课时】
数学阅读：
在法国的肖维岩洞(Grotte Chauvet)，我们能看到一些由红赭石和黑色颜料 雕刻、绘制而成的石洞壁画， 壁画略显粗糙， 但绘画的马、牛等动物形象依旧生 动无比，这是人类最早的绘画作品，也是人类用“图形”来记事的早期记录。
“图形”是信息保存、传播、互通的重要视觉语言， 因其直观、生动而深受人 们喜爱。从古至今， 大部分的画作是基于艺术欣赏、文化品味。但也有另一类“画
19
(
A
．
) (
C
．
) (
B
．
) (
D
．
)家”作图是基于对制造工艺的传承。
我国明代著名科学家宋应星所著的《天工开物》，是世界上第一部关于农业和 手工业生产的综合性著作， 是中国古代一部综合性的科学技术著作。书中记载了 许多的制造工艺及对应的工艺制图， 这些以“图形”为基础的画作能清晰的呈现当 时的制作工艺和流程， 为我国最初的机械制造提供了可靠的依据， 但书中依旧是 绘制 “三维图形”的模样(局部)，我们并不能据此观察或推测出物体的原貌， 因 不够严谨而具有一定的局限性。
1525 年，与 达芬奇 等交好 的德国 人迪 勒 (Durer) ，在 纽约 堡出版了 “Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt”一书,运用互相垂直 的三画面(正交面) 画出了人脚、人头的正投影图和剖面图。这是一个创造性的 发现， 相当于将人(或物体) 放在一个长方体的空间里， 然后从三个方向(从前 往后、从左往右、从上往下) 来观察并做正投影， 这样会得到三个视角的平面图 形，它能清晰的呈现出人(或物体)的结构。
习题巩固：
zy2001. (必做题) 如图所示的几何体，从上面看得到的形状图是( )
20
【答案】 D
【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到 的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
解：从上面看得到的形状图如下
故选： D．
(
B
．
) (
C
．
) (
D
．
)【设计意图】培养了学生的空间想象能力和几何直观，让学生掌握立体图形的
三种视图．
【作业时间】 1 分钟
zy2002. (必做题) 由 4 个相同的小正方体搭建了一个积木，从不同方向看积
木，所得到的图形如图所示，则这个积木可能是( )
21
A ．
【答案】 B
【分析】
从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从 左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层，则选项 D 不合题意； 从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有 3 个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故 只有选项 B 符合题意；
故选： B．
【设计意图】本题主要考查了有三视图判断几何体的组成，关键是熟练把握从 各方面看可以得到的结论．
【作业时间】 1 分钟
zy2003. (必做题) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球
【答案】 B
【分析】此题可采用排除法，从而得出答案．
解：棱柱的三视图中不存在圆，故 A 不对；
圆锥的主视图、左视图是三角形，故 C 不对；
球的三视图都是圆，故 D 不对，
因此应选 B．
故选： B．
【设计意图】本题考查由三视图确定常见几何体的形状，主要考查学生空间想 象能力．
【作业时间】 1 分钟
zy2004. (必做题) 索玛立方体拼搭是有名的数学游戏，它由七块立体图形组 成，如图所示的这 1~7 号图形中，从正面看所得图形相同的有( )块.
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】 B
【分析】先判断各个几何体正面看的几何图形，节日进而即可求解．
从正面看， 1 号， 6 号， 7 号的图形相同，
故选 B．
【设计意图】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分 清物体的上下和左右的层数，进行分析．
【作业时间】 1 分钟
22
zy2005. (必做题) 常见几何体正方体、长方体、圆柱、圆锥、三棱柱、四棱 锥、球中，从三个方向看到的图形都一样的几何体为_______．
【答案】 正方体，球．
【分析】分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到三个图形一致 的几何体即可．
解：正方体从三个方向看到的图形是全等的正方形，符合题意；
长方体从三个方向看到的图形是不一定全等的长方形，不符合题意； 圆柱从三个方向看到的图形分别是长方形，长方形，圆，不符合题意；
圆锥从三个方向看到的图形分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意； 三棱柱从三个方向看到的图形分别是长方形，三角形，中间一条横线的长方 形，不符合题意；
四棱锥从三个方向看到的图形分别是三角形，三角形，有对角线的矩形，不符 合题意；
球从三个方向看到的图形都是相同的圆，符合题意．
故答案为：正方体，球．
【设计意图】本题考查了几何体的三种视图，关键是根据从物体正面、左面和 上面看，所得到的图形解答．
【作业时间】 2 分钟
zy2006. (必做题) 如图，是由 7 块正方体木块堆成的物体，请说出图(1)、图 (2)、图(3)分别是从哪一个方向看得到的．(1) __________ (2)
__________ (3) __________
【答案】 上面看，正面看，左面看
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【分析】(1)俯视图，从上面看；
(2)正视图，从正面看；
(3)左视图，从左面看．
根据题意可知，该物体的俯视图是后面是两个小正方形，左边是三个小正方体 依次排列；主视图是前排两个小正方体，左列是三个小正方体依次叠放；左视 图是三列，小正方体的个数从左到右依次是 3 个， 2 个， 1 个，
故答案为：上面看；正面看；左面看．
【设计意图】本题考查简单几何体的三视图，是重要知识点，难度较易，掌握 相关知识是解题关键．
【作业时间】 2 分钟
zy2007. (必做题) 棱长为 2 的正方体，摆成如图所示的形状，则该物体的表面 积是___________．
【答案】 144
【分析】根据几何体可以得到上下左右前后露出的都是 6 个小正方形，据此即 可求出物体的表面积．
解：该几何体的上下左右前后六个面露出的都是 6 个小正方形，
所以该物体的表面积是6 × 6 × 22 =144 ．
故答案为： 144．
【设计意图】本题主要考查了求几何体的表面积，根据几何体确定每一个面的 正方形的个数是解题关键．
【作业时间】 5分钟
zy2008. (选做题) 如图，在平整的地面上，若干个棱长都为1cm 的小正方体堆成 一个几何体．
24
(1)在网格中，用实线画出从正面，上面，左面看到的形状图；
(2)求这个几何体的体积和表面积．
【答案】 (1)见解析；(2) 8cm3 ，30cm2
【分析】(1)根据三视图的定义画出图形即可． (2)分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可求出表面积，根据个 数即可得出体积．
解：(1)该几何体从正面、上面、左面看到的形状图如图：
(2)因为该几何体由 8 个棱长都为1cm 的正方体堆成，
每个正方体的体积都为1 × 1 × 1 = 1cm3 ，所以其体积为 8cm3 ；
该几何体前后各有 4 个小正方形，上下各有 6 个小正方形，左右各有 5 个小正 方形，
每个小正方形的面积为1 × 1 = 1cm2 ，所以其表面积为 4 × 2 + 6 × 2 + 5 × 2 = 30cm2 ．
【设计意图】本小题考查几何体、三视图等基础知识，考查空间观念与几何直 观，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【作业时间】 5分钟
25
【第 3 课时】
数学阅读：
莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯(Mobius ，1790~1868)和约翰 · 李斯丁 于 1858 年发现。就是把一根纸条扭转 180°后，两头再粘接起来做成的纸带
圈，具有魔术般的性质。
普通纸带具有两个面(即双侧曲面)，一个正面，一个反面，两个面可以涂 成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整 个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带” (也就是说，它的 曲面从两个减少到只有一个)。
习题巩固：
zy3001. (必做题) 如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几 何体名称分别为( )
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱
C．正方体，圆锥，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
【答案】 D
【分析】根据常见几何体的平面展开图判断即可．
解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：正 方体，圆锥，圆柱，三棱柱．
故选 D．
【设计意图】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图 的特征，是解决此类问题的关键．
【作业时间】 1 分钟
26
zy3002. (必做题) 如图，是一个正方体的平面展开图，那么，在该正方体中， 与“想”字所对的汉字是( )
A．法 B．学 C．数 D．方
【答案】 B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一 特点作答，即可找出与“想”字所对的汉字是“学” .
解：相对的面的中间要相隔一个面，该正方体中与“想”字相对的字是“学”． 故选： B．
【设计意图】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间 图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【作业时间】 1 分钟
zy3003. (必做题) 下面那个图形经过折叠不能得到一个正方体( )
A ． B ． C ．D ．
【答案】 D
【分析】根据正方体展开图的常见形式作答即可．
解：由展开图可知： A 、B 、C 能围成正方体，不符合题意；
D 、围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体，符合题意． 故选： D．
【设计意图】 本题考查了展开图折叠成几何体．熟记能组成正方体的“一，四， 一”“三，三”“二，二， 二”“一，三，二”的基本形态是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
27
(
A
．
) (
C
．
) (
B
．
) (
D
．
)
zy3004. (必做题) 下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是 ( )
28
【答案】 B
【分析】根据图中三角形，圆，正方形所处的位置关系即可直接选出答案． 图中三角形，圆，正方形都互为相邻关系，
A 选项三角形和正方形的图案相对，故 A 错误；
B 选项三角形，圆，正方形图案都相邻，故 B 正确；
C 选项三角形和正方形的图案相对，故 C 错误；
D 选项三角形和圆的图案相对，故 D 错误．
故选： B．
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力， 主要考查了展开图折叠成几何体， 找出三角形，圆，正方形所处的位置关系是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy3005. (必做题) 下列四个正方体的展开图中，能折叠成如图所示的正方体的 是( )
(
A
．
) (
C
．
) (
B
．
) (
D
．
)
29
【答案】 B
【分析】
由正方体的信息可得：面A, 面B, 面C 为相邻面，从相对面与相邻面入手，逐一 分析各选项，从而可得答案．
解：由题意可得：正方体中，面A, 面B, 面C 为相邻面．
由A 选项的展开图可得面A, 面C 为相对面，故选项A 不符合题意；
由B 选项的展开图可得面A, 面B, 面C 为相邻面，故选项B 符合题意； 由C 选项的展开图可得面B, 面C 为相对面，故选项C 不符合题意； 由D 选项的展开图可得面A, 面B 为相对面，故选项D 不符合题意； 故选： B.
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力， 本题考查的是正方体的表面展开 图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
【作业时间】 5分钟
zy3006. (选做题)小组合作：写出正方体的所有可能的展开图.
【答案】 正方体的十一种展开方式
1. “141 型”，中间一行 4 个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有 6 种基
本图形.
2 ．“132 型”，中间 3 个作侧面，共 3 种基本图形.
3 ．“222 型”，两行只能有 1 个正方形相连.
4 ．“33 型”，两行只能有 1 个正方形相连.
【分析】 学生分组合作，经历讨论的过程，用分类的方法，找到正方体的所有 展开图．
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力和合作探究的意识，让学生更加热爱 数学．
【作业时间】 10 分钟
zy3007. (选做题)知识拓展：
蚂蚁的难题如图： 一只圆桶的下方有一只蚂蚁，上方有一块甜食，蚂蚁要想尽 快吃到甜食，应该走哪条路径？
30
【答案】
【分析】 学生分组合作，经历讨论的过程，用动手操作的方法，把空间的问题 转化为平面的问题．
【设计意图】 培养了学生的空间想象能力和合作探究的意识，让学生更加热爱 数学．
【作业时间】 10 分钟
【第 4 课时】
数学阅读：
学习数学一定要细心， 因为差之毫厘， 谬以千里.美国芝加哥有一个靠养老金 生活的老太太， 她在医院动了一次小手术后便回家了.两星期后， 她接到医院寄来 的账单， 费用是 63 445 美元.她看过后不禁大惊失色吓得心脏病猝发， 倒地身亡. 后来， 有人与医院核对账单， 才发现是工作人员把小数点的位置点错了， 实际费 用是 63.445 美元.点错一个小数点，竟要了一个人的命.正如牛顿所说： “在数学 中，最微小的误差也不能忽略.”
习题巩固：
zy4001. (必做题) 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成 面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是( )
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
【答案】 A
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法 求解．
A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；
B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；
C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；
D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；
故选： A．
31
(
B
．
) (
D
．
)【设计意图】 本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的 空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
【作业时间】 1 分钟
zy4002. (必做题) 如图，长方形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是( )
32
A ． C ． 【答案】 A 【分析】根据面动成体进行判断即可．
解：长方形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是圆柱，
因此选项 A 中的形体比较符合题意，
故选： A ． 【设计意图】 本题考查点、线、面、体，理解点动成线，线动成面，面动成体 是正确判断的前提． 【作业时间】 1 分钟
zy4003. (必做题) 如图所示的立体图形，是由__个面组成的，面与面相交形成
___条线( )
A ．3 ，6 B ．4 ，5 C ．4 ，6 D ．5 ，7
【答案】 C
【分析】对图进行仔细观察认真分析即解．
解：有上下两个平面，侧面是一个平面，一个曲面，共有 4 个面；面与面相交 的地方形成线．上面是一条曲线，一条直线，侧面是两条直线，下面是一条曲 线一条直线，共有 6 条线．
故选： C．
【设计意图】 本题考查的知识点为：面有平面与曲面之分，线也有直线和曲线 之分．应考虑完全．
【作业时间】 1 分钟
zy4004. (必做题)“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去太原植物园游玩，中途 两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转 硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问
这个几何体是( )
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．圆台
【答案】 C
【分析】根据常见几何体的特征即可得．
当硬币在地面某位置快速旋转时，形成的几何体是球，
故选： C．
【设计意图】 本题考查了常见几何体的特征，熟练掌握常见几何体的特征是解 题关键．
【作业时间】 1 分钟
33
zy4005. (必做题) 冬天环卫工人使用下部是长方形的木锨推雪时，木锨过处， 雪就没了，这种现象说明 ______________．
【答案】 线动成面
【分析】点动成线，线动成面，面动成体，根据定义分析可得答案．
解：冬天环卫工人使用下部是长方形的木锨推雪时，木锨过处，雪就没了，这 种现象说明：线动成面．
故答案为：线动成面．
【设计意图】 本题考查的是点，线，面，体的知识，理解点动成线、线动成面 和面动成体的定义是解题关键，属于基础题．
【作业时间】 1 分钟
zy4006. (必做题)如图所示的是一个棱柱，请问：
(1)这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？
(2)这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？
(3)该棱柱有几个顶点？
【答案】 解： (1)这个棱柱由5 个面围成，各面的交线有 9 条，它们是直的．
(2)棱柱的底面是三角形，侧面是长方形．
(3)有 6 个顶点．
【分析】 首先明确几何体是三棱柱，三棱柱有 6 个顶点， 5 个面，9 条棱.
【设计意图】本题考查的是三棱柱的形状特征，培养学生对常见几何体的熟悉 程度．
【作业时间】 5 分钟
zy4007. (选做题)现年晚会是我们最快乐的时候， 会场上， 悬挂着五彩缤纷的小装 饰品，其中有各种各样的立体图形，如图所示：
34
请你数一下上面图中每一个立体图形具有的顶点数(v)、棱数(e)和面数(f)，并 将结果计入下表中：
多面体 顶点数(V ) 面数(F ) 棱数(E )
四面体 4 4
五面体 5 8
六面体 6 12
伟大的数学家欧拉发现了f、e、v 之间存在着一个奇妙的相等关系， 根据上面 的表格，你能归纳出这个相等关系吗？
【答案】 (1) 6 ，5 ，8；(2) v＋f－e＝2；
解：(1)填表如下：
多面体 顶点数 ( V ) 面数(F ) 棱数(E )
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
(2) V+F-E=2．
故答案为： 2；
【分析】 根据表格中的数找到数字与数字的规律，然后写出猜想，通过几组数 据初步验证猜想.
【设计意图】 通过立体图形的点、面、棱条数的观察猜想数字的规律，体现了 数形结合的思想．
【作业时间】 10 分钟
35
zy4008 (选做) . 莱昂哈德 · 欧拉是一位著名的数学家， 请同学查找有关欧拉的书 籍和资料，了解他的相关事迹.写一篇关于欧拉的介绍.
【答案】 答案不唯一
【分析】 可以查阅相关书籍的介绍，也可以上网查阅资料．
【设计意图】 通过对数学家资料的查找，让学生热爱上数学．
【作业时间】 10 分钟
【第 5 课时】
数学阅读：
枪械射击
同学们，你知道吗？两点确定一条直线.
射击时要想射中目标需要三点一线， 所谓三点一线就是枪管后瞄准星、枪管 前的准星再有就是目标形成一条直线，这样才能保证可以射到目标(狙击步枪把 枪管上的准星合并了， 有两点一线).就是说枪的前、后准星两点已经确定了一条 直线，要想子弹击中目标，就需要让这条直线经过目标.
习题巩固：
zy5001. (必做题) 如图，在直线l 上的点是( )
A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D
【答案】 B
【分析】根据图形中点与线的关系可直接得出答案．
解：由图像可知点 A 、C、D 在直线l 外，点 B 在直线l 上，
故选 B．
【设计意图】 本题考查了点线关系的表示方法和图形特点．
【作业时间】 1 分钟
zy5002. (必做题) 下列写法正确的是( )
A．直线 AB 、CD 交于点 m B．直线 a 、b 交于点 m
C．直线 a 、b 交于点 M D．直线 ab 、cd 交于点 M
36
(
B
．
) (
D
．
)【答案】 C
【分析】根据直线和点的表示法即可判断．
A. 点只能用一个大写字母表示，不能用小写字母表示，故错误；
B. 点只能用一个大写字母表示，不能用小写字母表示，故错误； C.正确；
D. 直线能用两个大写字母表示或用一个小写字母表示，不能用两个小写字母表 示，故错误；
故选： C．
【设计意图】 本题考查了直线和点的表示法，直线能用两个大写字母表示，用 一个小写字母表示，点只能用一个大写字母表示．
【作业时间】 1 分钟
zy5003. (必做题) 根据直线、射线、线段的性质，图中的各组直线、射线、线
37
段一定能相交的是( )
A ．
C ．
【答案】 C
【分析】根据射线，线段，直线的性质逐项分析即可，射线只可以向一端无限 延伸，直线可以向两端延伸，线段不可以延伸．
A. AB, CD 是以A, C 为端点的射线，故不相交；
B. AB 为线段CD 是以C 为端点的射线，故不相交；
C. AB, CD 为直线，故一定能相交；
D. AB 是直线， CD 是以C 为端点的射线，故不相交，
故选 C．
【设计意图】 本题考查了直线、射线、线段的性质，理解直线、射线、线段的 性质是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy5004. (必做题) 下列各图中直线的表示法正确的是( )．
A ． B ．
C ． D ．
【答案】 C
【分析】运用直线的表示方法判定即可．
解：根据直线的表示方法可得 C 正确．
故选： C．
【设计意图】 本题主要考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线表示 法：用一个小写字母表示，或用两个大写字母(直线上的)表示．
【作业时间】 1 分钟
zy5005. (必做题) 装电线杆时只要确定两根电线杆，就能确定同一行的电线杆 所在的直线，理由是________．
【答案】 两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质，可得答案．
解：工人师傅在新建的路边植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行
树所在的直线；其理由是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
【设计意图】 本题考查了直线的性质，利用直线的性质是解题关键． 【作业时间】 1 分钟
38
zy5006. (必做题) 画图．如图在平面内有四个点 A，B ，C，D 按下面的要求作图 (要求，利用尺规，不写画法，保留作图痕迹．不写结论)
①作直线 AB；
②作线段 AC；
③作射线 AD 、DC、CB；
【答案】 ①画图见解析；②画图见解析； ③画图见解析
【分析】根据直线，射线，线段的定义进行作图即可．
解： ①如图所示，直线 AB 即为所求；
②如图所示，线段 AC 即为所求；
③如图所示，射线 AD 、DC、CB 即为所求；
39
【设计意图】 本题主要考查了，画直线，射线和线段，解题的关键在于能够熟 练掌握三者的定义：直线没有端点，两端可以无限延伸，长度不可度量；射线 有一个端点，可以向没有端点的方向无限延伸，长度不可度量；线段有两个端 点，两端不可延伸，长度可以度量．
【作业时间】 5 分钟
zy5007. (选做题) (1) 在一条直线上取 1 个点、 2 个点、 3 个点、 … 、n 个点，
分别可以得到多少条线段？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答：
直线上点的个数 1 2 3 4 5 … n
共有线段条数 …
(2)平面内有两个点、 3 个点、 4 个点、 5 个点、 … 、n 个点，过任意两点作一
条直线，最多可以作几条直线？请画示意图帮助分析，直接填写下表回答：
平面内点的个数 2 3 4 5 … n
最多可作直线条 数 …
【答案】 (1)图见解析，0 ，1 ，3 ，6 ，10 ， ；(2)图见解析， 1 ，3 ，6，
(
1
0
，
)n(n 1)
2
【分析】(1)根据题意画出示意图即可求出直线上取 1 个点、 2 个点、 3 个点、 4 个点、 5 个点时的线段条数，找到点的个数和线段条数之间的关系即可求出 n
40
个点时线段的条数．
(2)根据题意画出示意图即可求出平面内有两个点、 3 个点、 4 个点、 5 个点 时最多可作直线条数，找到点的个数和直线条数条数之间的关系即可求出 n 个 点时线段的条数．
解：(1)根据题意可得，
在一条直线上取 1 个点时，如图所示，
共有 0 条线段；
在一条直线上取 2 个点时，如图所示，
共有 1 条线段；
在一条直线上取 3 个点时，如图所示，
共有 3 条线段；
在一条直线上取 4 个点时，如图所示，
共有 6 条线段；
在一条直线上取 5 个点时，如图所示，
共有 10 条线段；
…
在一条直线上取 n 个点时，共有 1)条线段；
(
故答案为：
0
，
1
，
3
，
6
，
10
， ；
．
)n(n 1)
2
41
(2)当平面内有两个点时，如图所示，
最多可作 1 条直线；
当平面内有 3 个点时，如图所示，
最多可作 3 条直线；
当平面内有 4 个点时，如图所示，
最多可作 6 条直线；
当平面内有 5 个点时，如图所示，
42
最多可作 10 条直线；
…
当平面内有 n 个点时，最多可作 1)条直线；
(
故
答案为：
1
，
3
，
6
，
10
， ．
)n(n 1)
2
【设计意图】 培养了学生分析、归纳、猜想的思维习惯，培养了学生数学运 算、数学抽象的数学核心素养． 此题考查了直线，线段的概念和两点确定一条 线段，解题的关键是熟练掌握直线，线段的概念和两点确定一条线段．
【作业时间】 10 分钟
【第 6 课时】
数学小故事：
华罗庚出生于中国的江苏省，从小喜欢数学，而且非常聪明.1931年，华罗 庚被熊庆来教授请到清华大学.在熊庆来教授的指导下，他刻苦学习，一连发表 了十几篇论文，后来又被派到英国留学.他对数论有很深的研究，得出了著名的 “华氏定理” .他特别注重理论联系实际，走遍了 20 多个省、市、自治区，动员 群众把优选法用于农业生产.有记者在采访时问他： “你最大的愿望是什么？ ”
他不假思索地回答： “工作到最后一天.”他的确为科学辛勤工作到了最后一天.
习题巩固：
Zy6001. (必做题)如图，小莹利用圆规在线段CE 上截取线段CD ，使CD = AB ．若
点D 恰好为CE 的中点，则下列结论中正确的是( )
43
A ．CE = CD B ．CE = 2DE C ．AB = CE D ．AB = DE
【答案】 B
【分析】由点 D 为CE 的中点，可得CD= DE = CE, 再结合AB = CD, 再逐一分
析各选项即可得到答案．
解： 点D 为CE 的中点，
：CE = 2CD = 2DE, 故 A 不符合题意； B 符合题意；
点D 为CE 的中点，
∴ CD = DE,
CD = AB,
：AB = CD = DE, 故 C ，D 不符合题意；
故选： B．
【设计意图】 本题考查的是作一条线段等于已知线段，线段中点的含义，掌握 “线段中点的含义”是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
Zy6002. (必做题)同一条直线上三点A, B, C ，AB = 4cm, BC = 2cm ，则 AC 的长度为 ( )
A ．6cm B ．4cm 或6cm C ．2cm 或6cm D ．2cm 或4cm
【答案】 C
【分析】由题意可分当点 C 在线段 AB 上和当点 C 在线段 AB 外，然后根据线 段的和差关系可求解．
解： ①当点 C 在线段 AB 上时，则有：
∵ AB = 4cm, BC = 2cm ，
∴ AC = AB BC = 2cm ；
44
②当点 C 在线段 AB 外时，则有：
∵ AB = 4cm, BC = 2cm ，
∴ AC = AB + BC = 6cm ；
故选 C．
【设计意图】 培养了学生分类讨论的数学思想，同时考查了学生对线段和差关 系的掌握．
【作业时间】 1 分钟
Zy6003. (必做题)如图，已知 AB 和CD 的公共部分BD = AB = CD ，线段 AB, CD
的中点E, F 之间的距离是10cm ，则 AB 的长是( ) cm ．
A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
【答案】 D
【分析】设 BD＝x，则 AB＝3x ，CD＝4x，由中点的定义可得 EF＝ (3x＋ 4x)＝10，即可求解 x 值，进而可求得 AB 的长．
解：设 BD＝x，
∵BD＝ AB＝ CD，
∴AB＝3x ，CD＝4x，
∵线段 AB ，CD 的中点 E，F 之间的距离是 10cm，
∴EF＝BE＋BF＝ AB＋ CD BD＝ (AB＋CD) BD＝ (3x＋4x) x＝
10cm，
解得 x＝4，
∴AB＝3x＝12 (cm )．
故选： D．
【设计意图】 培养了学生数学建模的核心素养，运用方程的模型解决几何问题. 另外主要考查两点间的距离，利用中点的定义求解线段的长是解题的关键．
【作业时间】 2 分钟
45
Zy6004. (必做题)已知A 、E、C 三点在同一直线上，线段AC = 8 ，线段CE = 6， 点 B 、D 分别是AC 、CE 的中点，则线段BD 的长度为_____．
【答案】 7 或 1
【分析】分为两种情况： ①E 在线段 AC 延长线上时，根据线段中点定义求出 BC，CD 的长，由 BD=BC+CD 求出答案； ②E 在线段 AC 上时，由 BD=BC- CD 求出答案．
解：分为两种情况： ①如图 1 ，E 在线段 AC 延长线上时，
∵AC=8 ，CE=6，点 B 、D 分别是线段 AC、CE 的中点，
∴BC= AC=4 ，CD= CE=3，
∴BD=BC+CD=4+3=7；
②如图 2 ，E 在线段 AC 上时，
∵AC=8 ，CE=6，点 B 、D 分别是线段 AC、CE 的中点，
∴BC= AC=4 ，CD= CE=3，
∴BD=BC-CD=4-3=1；
故答案为： 7 或 1．
．
【设计意图】 培养了学生分类讨论的数学思想，注重对数学运算核心素养的培 养．此题考查线段的和差计算，线段中点的定义，熟记线段之间的数量关系求 解是解题的关键．
【作业时间】 2 分钟
Zy6005. (必做题) (1)如图，已知线段 a ，b ，c ，用圆规和直尺作线段，使它等于 a + 2b c ．
46
(2)点 A ，B ，C 在同一直线上， AB=3cm ，BC=1cm．求 AC 的长．
【答案】 (1)见分析；(2)2cm 或 4cm
【分析】(1)如图，图中线段 AE 即为所求，
(2)当点 C 在线段 AB 上时，
AC＝AB－BC＝2cm；
当点 C 在线段 AB 的延长线上时，
AC＝AB＋BC＝4cm，
∴AC 的长为 2cm 或 4cm．
【设计意图】 培养了学生分类讨论的思维习惯， 本题主要考查线段的和与差， 找准线段之间的关系是解题的关键．
【作业时间】 3 分钟
Zy6006. (必做题)作图：已知线段 a 、b，画一条线段使它等于 2a ﹣ b．
(要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】 见分析
47
【分析】可先画出一条线段等于 2a，然后再在这条线段上截去 b，剩余线段即 为所求线段．
解：如图所示 AC=2a ﹣ b，
【设计意图】 本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出 另一条线段，相减在较长的线段上截去．
【作业时间】 2 分钟
Zy6007. (必做题)如图，延长线段 AB 到 C，使 BC=3AB，点 D 是线段 BC 的中 点，如果 CD=3cm，
(1)求 AC 的长度；
(2)若点 E 是线段 AC 的中点，求 ED 的长度．
【答案】 (1) AC 的长度为 8cm；(2) ED 的长度是 1cm．
【分析】(1)根据中点的性质求出 BC 的长度，再根据 BC=3AB 求出 AB，即可 得到答案；
(2)由中点定义求出 EC，根据线段的和差关系求出 ED 即可．
解：(1)因为点 D 为线段 BC 的中点， CD=3cm，
所以 BC=2CD=6cm，
因为 BC=3AB=6cm，所以 AB=2cm，
所以 AC=AB+BC=8cm ， 即 AC 的长度为 8cm．
(2)因为 E 是 AC 中点，所以 EC= AC=4，
所以 ED=EC-DC=4-3=1cm ，即 ED 的长度是 1cm．
48
【设计意图】 培养了数学运算的核心素养， 考查了线段中点的定义，线段的和 差计算，正确理解图中各线段之间的位置关系是解题的关键．
【作业时间】 2 分钟
Zy6008. (必做题)如图线段 AB=6cm，在线段 AB 上有一点 C，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点，
(1)当 AC=4cm 时，求线段 MN的长．
(2)当 C 在 AB 延长线上时，其他条件不变，是否能求出线段 MN的长，若 能，求线段 MN的长；若不能，请说明理由．
【答案】 (1) 3cm ；(2)能， 3cm
【分析】
(1)求得线段CM 、CN 的长度，即可求解；
(2)设BC 为xcm ，求得线段CM 、CN 的长度，即可求解． 解：(1)当 AC=4cm 时， BC = 2cm
因为点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点
∴ CM = AC = 2cm ，CN = BC = 1cm
MN = CM + CN = 3cm ；
(2)能，理由如下：
如下图，当 C 在 AB 延长线上时，
设BC 为xcm ，则 AC = (6 + x)cm
因为点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点
∴ CM = 1 AC = 1 (x + 6)cm ， CN = 1 BC = x cm
2 2 2 2
∴ MN = CM CN = 3cm .
【设计意图】 此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的
49
含义，利用数形结合的思想求解问题．
【作业时间】 5 分钟
Zy6009. (选做题)如图，已知线段AB = 24 ，动点P 从A 出发，以每秒 2 个单位的速 度沿射线AB 方向运动，运动时间为t 秒(t >0 )， 点M 为AP 的中点．
(1)当t = 3 时，求线段MB 的长度；
(2)当 t 为何值时，点P 恰好是MB 的中点？
(3)当 t 为何值时， AM = 2PB ？
【答案】 (1)当t = 3 时， MB = 21；(2)当t = 8 ；点 P 恰好是 MB 的中点；(3)
t = 或t = 16 ，AM = 2PB ．
【分析】(1)如图：当 t=3 时，先求出 AP,然后再求出 AM,最后根据 MB=AB- AM 求解即可；
(2)先求出 AM=MP=t，再说明 MP = PB = t ，然后由 AB = 3AM = 3t = 24 即可求 得 t；
(3)分 P 在线段AB 上和 P 在线段AB 延长线上两种情况解答即可． 解：(1)当t = 3 时， AP = 3 × 2 = 6 .
∵点M 为AP 的中点，
(
∴
AM
=
AP
=
×
6
=
3
，
)1 1
2 2
∴ MB = AB AM = 24 3 = 21 .
(2) ∵点M 为AP 的中点，
50
(
1
1
)∴ AM = MP = AP = × 2t = t .
2 2
∵点P 是MB 的中点，
∴ MP = PB = t ，
∴ AB = 3AM = 3t = 24 ，
∴ t = 8 ；
(3)当点P 在线段AB 上时， AM = t ，
PB = AB AP = 24 2t ，
∴t = 2 (24 2t)，
解得t = .
当P 在线段AB 的延长线上时， AM = t ，
PB = AP AB = 2t 24 ，
∴t = 2 (2t 24)，
解得t = 16 .
∴ t = 或t = 16 ．
【设计意图】 本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和 差等知识点，正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为 解答本题的关键．
【作业时间】 10 分钟
【第 7 课时】
数学阅读：
两岸直航好处多
曾经要想从大陆去台湾，需要经过“中转站”才可的以实现，近年大陆台湾
实现了直航，从数学的原理看“两点之间线段最短”，航程缩短了，自然也就带 来了经济上的节约，下面一组数字最说明问题：据台湾媒体报道，两岸航线创
51
建截弯取直的新航路，桃园至上海的航程缩短了 62 分钟，约可节省40%至 45%的燃油，航空公司及旅客节省的工本每年约达新台币30 亿元.若以台北对上 海、北京、广州和厦门四航线货物直航合并计算，节省运费工本近 1/3.每年节 省约新台币 13 亿元.
习题巩固：
zy7001. (必做题)下列两个生活、生产中现象： ①用两个钉子就可以把木条固定 在墙； ②植树时，只要定出两棵树的位置就能确定同一行树所在直线； ③从 A 地到 B 地架设电线总是尽可能沿着线段 AB 架设； ④把弯曲的公路修直就能缩 短路程．其中可以用“两点之间线段最短”来解释现象为( )
A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④
【答案】 D
【分析】
①②根据“两点确定一条直线”解释， ③④根据两点之间线段最短解释．
解： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上， ②植树时，只要定出两棵树的位 置，就能确定同一行树所在的直线的依据是“两点确定一条直线”；
③从 A 地到 B 地架设电线总是尽可能沿着线段 AB 架设； ④把弯曲的公路修直 就能缩短路程的依据是“两点之间线段最短”．
故选： D．
【设计意图】 此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线以及 两点之间线段最短．
【作业时间】 1 分钟
zy7002. (必做题) 把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短路程，其道理用几
52
何知识解释为( )
A．两点之间，线段最短
段最短
C．两点确定一条直线
直线垂直
【答案】 A
【分析】
B．点到直线上所有点的连线中，垂线
D．平面内过一有且只有一条直与已知
根据题意一条弯曲的高速路改为直道，缩短路程，即可得所用到的几何知识是 两点之间，线段最短，据此即可求解.把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短 路程，其道理用几何知识解释为两点之间，线段最短.
故选 A.
【设计意图】 本题考查了两点之间，线段最短，理解题意是解题的关键． 【作业时间】 1 分钟
zy7003. (必做题)下列三种现象中，可用“两点之间线段最短”来解释的现象是 ( ) (1)用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；(2)过 马路时，行人选择横穿马路而不走人行天桥；(3)工人砌砖前需要固定两点， 牵上线，才开始砌砖．
A．(1) B．(2) C．(2)(3) D．都不可以
【答案】 B
【分析】根据两点之间线段最短的内容，寻找两个固定点，及固定点间线段， 进行判断即可．
解：(1)用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，没 有固定两个点，故(1)不可用； (2)过马路时，行人选择横穿马路而不走人行天桥，因为到从起始点到出发 点，走天桥是曲线，不是两点间的线段，路线会更长，故(2)可用； (3)工人砌砖前需要固定两点， 牵上线，才开始砌砖，是利用了两点之间确定 一条直线，以保证砖砌平，而不是两点之间线段最短，故(3)不可用．
故选 B．
【设计意图】 本题考查了学生对“两点之间线段最短”这一知识点的理解与实际 应用，正确理解，从现实中抽象出这一模型是解决本题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy7004. (必做题)把一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是
53
________．
【答案】 两点之间，线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短即可求解．
解：本题是应用线段的性质解释生活中的现象，由于这是两点之间连线长度的 比较，符合“两点之间，线段最短”．
故答案为：两点之间，线段最短．
【设计意图】 此题主要考查线段的性质，解题的关键是熟知“两点之间，线段最 短”．
【作业时间】 1 分钟
zy7005. (必做题)如图， 点A 、B 在直线l 上，点C 是直线l 外一点，可知 CA + CB > AB ，其依据是______．
【答案】 两点之间线段最短
【分析】依据线段的性质，即可得出结论．
点 A 、B 在直线 l 上，点C 是直线 l 外一点，因为 CA+CB>AB，所以依据是：两 点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【设计意图】
本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折 线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
【作业时间】 1 分钟
zy7006. (必做题)如图， 已知直线 l 和直线外三点A ，B ，C，按下列要求画图：
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(1)画射线 AB；
(2)连接 BC，延长 BC 至点 D，使得 CD=BC ；
(3)在直线 l 上确定点 E，使得点 E 到点 A，点 C 的距离之和最短．
【答案】 (1)见分析；(2)见分析；(3)见分析
【分析】
(1)射线 AB 即为起点为 A，方向是从 A 向 B，由此作图即可；
(2)先连接线段 BC，然后沿 BC 方延长，最后在延长线上截取 CD=BC 即可；
(3)连接 AC，与直线 l 的交点即为所求． 解：(1)如图所示：射线 AB 即为所求；
(2)如图所示：连接 BC 并延长线段 ，然后截取 CD=BC，点 D 即为所 求；
(3)如图所示：连接 AC 交直线 于点 E，点 E 即为所求．
【设计意图】
本题考查基本作图，涉及线段，射线等，理解射线的定义，掌握两点之间线段 最短是解题关键．
【作业时间】 3 分钟
zy7007. (必做题)如图所示一只虫子在 A 处，想到 C 处的最短路线，请画出简 图，并说明理由．
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【答案】 见分析
【分析】先将立体图形展开为平面图形，然后结合平面中两点之间，线段最短 构图即可．
解：将圆柱体展开为平面图形如图所示：
∴虫子在 A 处，想到 C 处的最短路线如图所示，
理由是：两点之间，线段最短．
【设计意图】 本题考查立体图形上的最短路径问题，具有良好的空间想象能 力，熟悉平面内两点间，线段最短是解题关键．
【作业时间】 5 分钟
zy7008. (必做题)如图， 公园里修建了曲折迂回的桥，这与修一座直的桥相比， 对游人观赏湖面风光能起什么作用？用你所学数学知识说明其中的道理．
56
【答案】 增加了游人行走的路程，便于游人从不同的角度欣赏湖面风光，利用 了两点之间线段最短的数学知识
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
解：这样做增加了游人行走的路程，便于游人从不同的角度欣赏湖面风光， 理由：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的九曲桥增加了游人在桥上行 走的路程．
【设计意图】 培养了学生的数学应用意识， 考查了两点之间线段最短，正确将 实际问题转化为数学知识是解题关键．
【作业时间】 2 分钟
zy7009. (选做题)如图， 在四边形ABCD 内找一点 O、使它到四边形四个顶点的距 离的和OA+ OB + OC + OD 最小，并说出你的理由．由本题你得到什么数学结论？
举例说明它在实际中的应用．
【答案】 当点 O 是四边形对角线的交点时，数学结论：四边形对角线交点到四 个顶点的距离之和最小.
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【分析】根据“两点的所有连线中，线段最短”的性质分析即可．
OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD ，
根据“两点的所有连线中，线段最短”的性质，
当A, O, C 和B, O, D 共线时，即当点 O 是四边形对角线的交点时，它到四个顶点的 距离之和最小．
数学结论：四边形对角线交点到四个顶点的距离之和最小．
应用举例, A, B, C, D 分别为四个村庄，在村庄附近修建一个车站，要求所选地点 到每个村庄的距离和最小，则修建地点应该选在四边形对角线的交点位置．
【设计意图】 本题考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的 关键．
【作业时间】 10 分钟
【第 8 课时】
数学阅读：
在生活中，角无处不在，只要你认真观察，就会处处看到它们．我们学习 用的书本就有四个直角，我们画的简笔画上也有各种各样的角度．还有我们大 家都见过钟表，在三点的时候，钟表的时针和分针形成了直角；六点时，钟表 的时针和分针形成了平角；两点时，钟表的时针和分针形成了 60°角等等……
我们在用量角器量角时，一定要注意把量角器放在角的上面，使量角器的 中心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角 器上的刻度就是这个角的度数．
角度的相加减，在列式计算时，必须使得度与度对应、分与分对应、秒与 秒对应才能正确地相加减．
学完了角及角的度量之后，我感到非常快乐，因为我学会了量角、画角、 找角、算角、转移角、平分角等等……我知道，角还有许多许多的奥秘，等着
我们去发现去探索呢！
习题巩固：
zy8001. (必做题)下面四个图形中，能用∠1 ， ∠AOB ， ∠O 三种方法表示同一个 角的图形是( )
58
(
A
．
) (
B
．
) (
C
．
) (
D
．
)
59
【答案】 B
【分析】利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果．
解： A、图中角只能表示为： ∠1 ， ∠AOB，故错误；
B 、图中角可表示为： ∠1 ， ∠AOB ， ∠O，故正确；
C、图中角可表示为： ∠1 ， ∠COB，故错误；
D 、题干角的表示不能表示同一个角，故错误．
故答案为： B．
【设计意图】 本题主要考察的是角的表示方法，确定顶点即角的两边是解题的 关键．
【作业时间】 1 分钟
zy8002. (必做题)下列说法：(1)两条射线组成的图形叫做角；(2)角的两边是 两条线段；(3)平角的两边组成一条直线；(4)周角就是一条射线．其中正确 有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【答案】 A
【分析】
根据角的定义，平角，周角的定义，逐项分析即可，具有公共端点的两条射线 组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条 边．一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时， 所构成的角叫平角；平角等于 180°，是角的两边成一条直线时所成的角；周 角，即一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，周角等于 360°，是角的一 边绕着顶点旋转一周与另一边重合时所形成的角．
(1)具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故(1)不正确；
(2)角的两边是两条射线，故(2)不正确；
(3)平角的两边组成一条直线，故(3)正确； (4)周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故(4)不正确， 故正确的有(3)共 1 个．
故选 A．
【设计意图】 本题考查了角的定义，平角与周角的定义，理解定义是解题的关 键．
【作业时间】 1 分钟
zy8003. (必做题)如图， 用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB 的度数为( )
A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
【答案】 根据平角的定义和角的和差即可得到结论．
【分析】解：看内圈的数字可得： ∠AOB＝120°，
故选： C．
【设计意图】本题考查了量角器的使用，正确使用量角器是解题关键．
【作业时间】 1 分钟
zy8004. (必做题) 1.45°＝___°___ ′ ，1800″＝___°．
【答案】 1 27 0.5
【分析】
根据大单位化小单位乘以进率，把不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可
得答案，根据小单位化大单位除以进率，可得答案．
解： 1.45° = 1°27′ ，1800″= 30′ = 0.5°
故答案为： 1 ，27 ，0.5
【设计意图】 本题考查了度分秒的转换， 1 度等于 60 分， 1 分等于 60 秒，由大
60
单位转换成小单位乘以 60，小单位转换成大单位除以 60，掌握度分秒的转化方 法是解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy8005. (必做题) 用度、分、秒表示： 37.68° =______．
【答案】 37°40′48″
【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60 为进制． 1°=60' ，1'=60'' ． 解： 37.68° = 37°+0.68 × 60′ = 37°+40.8′ = 37°+ 40′+ 0.8 × 60'' = 37°+ 40′+ 48'' = 37°40'48'' 故答案为37°40′48″
【设计意图】 考查了度分秒的换算，掌握1°=60' ，1'=60''是解题的关键． 【作业时间】 1 分钟
zy8006. (必做题)若∠1= 20°18′ ， ∠2 = 20°15′30′′ ， ∠3= 20.25° ，将这三个角按角度的
大小排列，顺序为________．
【答案】 ∠1>∠2 >∠3
【分析】先把∠3化为20915, 再由20°18′ > 20°15′30′′ > 20°15′,从而可得答案. 解： ∠3 = 20.25°=20°+0.25°× 60′=20°15′,
而20°18′ > 20°15′30′′ > 20°15′,
：1 2 3,
故答案为： ∠1>∠2 >∠3
【设计意图】 本题考查的是角的大小比较，掌握“角度的换算”是解题的关键. 【作业时间】 1 分钟
zy8007. (必做题)把一个平角 16 等分，则每份(用度、分、秒表示)为
(
．
)__________
【答案】 11。15′
【分析】先求出 180°平均分成 16 个角的大小，再化成度、分、秒即可． 解： 180°÷16＝11.25° ，0.25°＝(0.25×60) ′＝15′，
61
∴ 11.25°＝11。15′，
故答案为： 11。15′．
【设计意图】 本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算方法是解决 问题的前提．
【作业时间】 2 分钟
zy8008. (必做题)借助一副三角尺画出15°,105°,120°,135° 的角．
【答案】 见解析
【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出．
解：如图所示， 45°-30°=15°，
45°+60°=105°，
90°+30°=120°，
90°+45°=135°．
【设计意图】 本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺 的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键．
【作业时间】 3 分钟
zy8009. (选做题)观察思考：
(1)在∠AOB 内部画 1 条射线 OC，则图中有 3 个不同的角；
(2)在∠AOB 内部画 2 条射线 OC、OD，则图中有几个不同的角？
62
(3) 3 条射线呢？你能发现什么规律，表示出 n 条射线能有几个不同的角？ 【答案】 (2) 6；(3) 10，有() 个不同的角
【分析】
(2)根据图 1 直接数出即可；
(3)在图 1 的基础上看增加的角的个数即得画 3 条射线时角的个数；依此规律 可得在∠AOB 内部画 n 条射线时角的个数．
解：(2)在∠AOB 内部画 2 条射线 OC、OD，如图 1，
则图中有∠AOC、 ∠AOD 、 ∠AOB 、 ∠COD 、 ∠COB 、 ∠DOB， 共 1+2+3=6 个不同的角；
(3)在∠AOB 内部画 3 条射线 OC、OD 、OE，如图 2，
在图 1 的基础上增加了∠AOE、 ∠COE、 ∠DOE 和∠BOE，
共有 6+4=10 个不同的角；
若在∠AOB 内部画 n 条射线，则有1 + 2 + 3 + … + (n + 1) = ) 个不同的角．
【设计意图】 本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重 类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．
【作业时间】 10 分钟
63
【第 9 课时】
数学阅读：
角的度量制
我们平时进行数字的运算时都知道做加法满 10 需要进一位：做减法某一位 上不够，需要向高一位借 1.这被称为十进制.
六十进制以度为单位， 将圆周分成 360 等份， 每一份所对的圆心角的大小叫 做 1 度， 1 度有 60 分， 1 分有 60 秒.60 进制起源于巴比伦，是 1854 年爱尔兰人
辛克斯(1792- 1866)在研究泥板上的楔形文字时发现的.
用“° 、’和”分别表示度、分、秒是由德国天文学家莱因霍尔德(1511- 1553)在
1551 年开始的.角的度量还有弧度制与密位制，将来我们可以学到.
习题巩固：
zy9001. (必做题)如图所示，正方形网格中有∠α 和∠β ，如果每个小正方形的边
长都为 1，估测∠α 与∠β 的大小关系为( )
A ． ∠α <∠β B ． ∠α = ∠β C ． ∠α >∠β D．无法估测
【答案】 A
【分析】根据两角张开的大小即可判断．
解析：比较两角张开的大小可知， ∠α <∠β．
故选 A．
【设计意图】 此题主要考查角度的大小比较，解题的关键是根据网格与两角张 开的大小的特点．
【作业时间】 1 分钟
zy9002. (必做题)用一个放大 10 倍的放大镜看一个 10°的角，这个角是( )
A ．100° B ．10°
C ．110° D ．170°
【答案】 B
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【分析】根据放大镜看一个角只会改变边的长度，不会改变角本身的度数即可 求解．
解：用放大镜看一个角，不会改变角本身的度数，
故选： B．
【设计意图】 本题考查角的大小比较，放大镜看到的角不会改变角本身的度 数．
【作业时间】 1 分钟
zy9003. (必做题)若 ∠A 为钝角， ∠B 为锐角，则 ∠A ∠B 是( )
A．钝角 B．锐角
C．直角 D．都有可能
【答案】 D
【分析】根据题意找到范围值钝角是大于 90°小于 180°的角，锐角是大于 0°小 于 90°的角，然后找到对应的差的范围值为大于 0°小于 180°，然后对照选项即
可．
解：因为 ∠A 为钝角， B 为锐角，
所以90°< ∠A < 180° ，0°< ∠B < 90° ，
所以0° < ∠A ∠B < 180° ,
所以锐角，直角，钝角均有可能．
故选 D．
【设计意图】 考查范围的求解，学生必须熟悉锐角、直角、钝角的范围，并能 够求差所对应的范围值，此为解题的关键．
【作业时间】 1 分钟
zy9004. (必做题)射线 OC 在∠AOB 内部，下列条件不能说明OC 是∠AOB 的平分 线的是( )
A ． ∠AOC = ∠AOB B ． ∠BOC = ∠AOB
C ． ∠AOC +∠BOC = ∠AOB D ． ∠AOC = ∠BOC
【答案】 C
【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.可知 B 不一定正确.
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解： A、当∠AOC＝ ∠AOB 时， OC 一定在∠AOB 的内部且 OC 是∠4OB 的
平分线，故本选项正确；
B、当∠BOC = ∠AOB 时， OC 一定在∠A0B 的内部且 OC 是∠A0B 的平分线，
故本选项正确；
C、当∠AOC +∠BOC = ∠AOB ，只能说明 OC 在∠AOB 的内部，但不能说明 OC 平分∠AOB，故本选项错误；
D、当∠AOC＝∠BOC 时， OC 一定在∠AOB 的内部且 OC 是∠AOB 的平分 线，故本选项正确．
故选 C．
【设计意图】 本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个 角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.
【作业时间】 1 分钟
zy9005. (必做题)钟表上 10 点整时，时针与分针所夹角的大小为__________．
【答案】 60°
【分析】根据钟面上一个大格为309求解即可．
解： ∵周角为360° ，钟表共 12 个大格，
∴ 1 个大格为360°÷ 12 = 30° ．
∵10 点整时，时针与分针的夹角为 2 个大格，
∴10 点整时，时针与分针的夹角为30°× 2 = 60° ．
故答案为： 60° ．
【设计意图】 培养了学生的数学运算的核心素养和数学应用意识， 考查钟面 角，熟练掌握该知识点是解题关键．
【作业时间】 3 分钟
zy9006. (必做题)如图， 在下面的横线上填上适当的角．
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(1) ∠AOC＝ ∠ ＋∠ ；
(2) ∠AOB＝ ∠ ﹣ ∠ ； 或∠AOB＝∠ ﹣ ∠ ；
(3)若∠AOC＝ ∠BOD，则∠AOB ∠COD (填“＞” 、“＜”或“＝”)；
(4)若∠AOB＝ ∠COD，则∠AOC ∠BOD (填“＞” 、“＜”或“＝”)．
【答案】 (1) AOB；BOC；(2) AOC；BOC；(3) AOD；BOD；(4)＝；＝ 【分析】结合图形，根据角的加减填空即可．
解：(1) ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；
故答案为： AOB；BOC；
(2) ∠AOB＝∠AOC ﹣ ∠BOC 或∠AOB＝∠AOD ﹣ ∠BOD； 故答案为： AOC；BOC； ∠AOD ， ∠BOD
(3) ∵∠AOC＝ ∠BOD，
∴∠AOB＝∠AOC ﹣ ∠BOC， ∠COD＝∠BOD ﹣ ∠BOC，
∴∠AOB＝∠COD；
故答案为： AOD；BOD；
(4) ∵∠AOB＝ ∠COD，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC， ∠BOD＝∠COD＋∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
故答案为：＝；＝．
【设计意图】 本题主要考查了角的加减，结合图形，熟练掌握角的加减是解答 此题的关键．
【作业时间】 2 分钟
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zy9007. (必做题)如图， ∠AOB = 120° ， ∠BOC = 30° ，OD 是∠AOC 的平分线，则 ∠BOD = ________．
【答案】 75°
【分析】依据 OD 是∠AOC 的角平分线，即可得到∠COD＝45°，再根据∠ BOC＝30°，即可得到∠BOD 的度数．
∵∠AOB＝120° ， ∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
又∵OD 是∠AOC 的角平分线，
∴∠COD＝45°，
∴∠BOD＝45°＋30°＝75°，
故答案为： 75°．
【设计意图】 本题主要考查了角的比较和运算以及角平分线的定义，从一个角 的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
【作业时间】 2 分钟
zy9008. (选做题)如图， 将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
(1)猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系，并说明理由；
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(2)求∠AOD +∠BOC 的度数；
(3)若∠BOD :∠AOD = 2 : 5 ，求∠BOC 的度数．
【答案】 (1) ∠AOC = ∠BOD ，理由见解析；(2) 180° ；(3) 309．
【分析】
(1)由∠AOB = ∠COD = 90° ，可得∠AOB ∠COB = ∠COD ∠COB ，再利用角的和差 关系可得答案；
(2)由 ∠AOB = ∠COD = 90° ， ∠AOD +∠BOC = ∠AOC + ∠BOC + ∠BOD + ∠BOC ，再利 用角的和差关系可得答案；
(3)由∠BOD :∠AOD = 2 : 5 ，设∠BOD = 2x° ，则∠AOD = 5x° 表示：
∠AOD = (90 + 2x)° ，可得5x = 90 + 2x ，再解方程求解x ，再利用角的和差关系可
得答案．
解：(1) ∠AOC = ∠BOD ，
理由是： ∵ ∠AOB = ∠COD = 90° ，
∴ ∠AOB ∠COB = ∠COD ∠COB ，
∴ ∠AOC = ∠BOD ；
(2) ∵ ∠AOB = ∠COD = 90° ， ∴ ∠AOD +∠BOC
= ∠AOC + ∠BOC + ∠BOD + ∠BOC
= ∠AOB +∠COD
= 90°+ 90°
= 180° ；
(3) ∵ ∠BOD :∠AOD = 2 : 5 ， ∴设∠BOD = 2x° ，则∠AOD = 5x° ∵ ∠AOB = 90° ，
∴ ∠AOD = (90 + 2x)°
∴ 5x = 90 + 2x
∴ x = 30
∴ ∠BOD = 60°
∴ ∠BOC = 90 60° = 30° ．
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【设计意图】 培养了学生数学运算和数学建模的核心素养， 考查的是余角的含 义，角的和差关系，一元一次方程的应用，掌握利用角的和差关系进行几何问 题中的角的计算是解题的关键．
【作业时间】 3 分钟
zy9009. (选做题)如图所示， OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC，
(1)若∠AOB＝90° ， ∠AOC＝30°，求∠MON 的度数；
(2)若(1)中改成∠AOB＝60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
(3)若(1)中改成∠AOC＝60°，其他条件不变，求∠MON的度数；
(4)从上面结果中看出有什么规律？
【答案】 (1) 45° (2) 30° (3) 45° (4) ∠MON 的大小是∠AOB 的一半，
与∠AOC 无关．
【分析】
(1)由∠AOB＝90° ， ∠AOC＝30°，易得∠BOC，可得∠MOC，由角平分线的 定义可得∠CON，可得结果；(2)同理(1)可得结果；(3)同理(1)可得结 果；
(4)根据结果与∠AOB ， ∠AOC 的度数归纳规律．
(1) ∵∠AOB＝90° ， ∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠MOC＝60°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠CON＝15°，
∴∠MON＝ ∠MOC ﹣ ∠NOC＝60° ﹣ 15°＝45°；
(2) ∵∠AOB＝60° ， ∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠MOC＝45°，
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∵∠AOC＝30°，
∴∠CON＝15°，
∴∠MON＝ ∠MOC ﹣ ∠NOC＝45° ﹣ 15°＝30°；
(3) ∵∠AOB＝90° ， ∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠MOC＝75°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠CON＝30°，
∴∠MON＝ ∠MOC ﹣ ∠NOC＝75° ﹣ 30°＝45°；
(4)从上面结果中看出∠MON的大小是∠AOB 的一半，与∠AOC 无关．
【设计意图】 培养了学生从特殊到一般的数学思想， 考查了角平分线的定义