【期末能力提升——有理数专题复习】
专题06 规律探究问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、选择题
1．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（ ）
A． B． C． D．
2．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（ ）
A． B． C． D．
3．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（ ）
A．赚了99元 B．赚了100元 C．亏了99元 D．亏了100元
二、填空题
4．观察下列各数：，，根据它们的排列规律写出第个数为 ．
5．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第99次落下时，落点处离O点的距离是 个单位长度．
6．我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
乘方运算 … …
新运算 … …
根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①，②，③．其中正确的是 ．
三、解答题
7．观察下面三行数：
第一行数：；
第二行数：；
第三行数：．
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行、第三行数与第一行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和．
8．观察下列算式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
(1)按以上规律写出第10个等式________=________；
(2)第个等式________=________；
(3)试利用以上规律求的值．
9．问题：你能比较和的大小吗
为了解决这个问题，我们可以先作简化处理，从简单情况入手，试图从中发现规律，再经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列各组数字大小：
①______；②______；③______；④______；⑤______
(2)根据上面的结果，猜想和的大小．（无需说明理由）
(3)若为正整数，根据以上结论，试比较和的大小．
10．探索规律，观察下面算式，解答问题．
；
；
；
；
…
(1)请猜想： ；
(2)请猜想： ；
(3)试计算：【期末能力提升——有理数专题复习】
专题06 规律探究问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、选择题
1．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现的末位数字按照，，，循环，用即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键．
解：∵，，，，，，，，…，
∴，
∴的末位数字是，
故选：．
2．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数轴上点的移动规律是“左加右减”，依据规律计算即可．
解：由题可得：
=
=，
故答案选：B．
3．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（ ）
A．赚了99元 B．赚了100元 C．亏了99元 D．亏了100元
【答案】B
【解析】根据一个回合小明赚1元，算出小明给小红发了199元之前赚的钱减去199元求出小明的收支情况，即可得出小红的收支情况．
解：由题意，可得，一个回合小明赚1元，小明给小红发了199元之前赚了元，
元，
∴小明亏了元，
∴小红赚了元；
故选B．
二、填空题
4．观察下列各数：，，根据它们的排列规律写出第个数为 ．
【答案】
【解析】根据目中所给分数的特征，总结规律即可得解．
解：∵，，，，，…，
∴每一项的符号是奇数位置为负，偶数位置为正，分子是所在位置的序号，分母比分子大1，故第个数为，
故答案为：
5．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它跳第99次落下时，落点处离O点的距离是 个单位长度．
【答案】50
【解析】本题考查有理数加法的应用，根据题意，可以写出前几次落点可以用哪些数字表示，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到当它跳第99次落下时，落点处离点O的距离是多少个单位长度，是解决问题的关键．
解：设向右为正，向左为负，由题意得，
，
故当它跳第99次落下时，落点处在点O的距离是50个单位长度，
故答案为：50．
6．我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例：
乘方运算 … …
新运算 … …
根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①，②，③．其中正确的是 ．
【答案】/③①
【解析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，根据题中的新定义法则判断即可，解题的关键是理解题中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则．
解：，
，故①计算正确，符合题意；
，
，故②计算错误，不符合题意；
，
，故③计算正确，符合题意；
综上所述，正确的有，
故答案为：．
三、解答题
7．观察下面三行数：
第一行数：；
第二行数：；
第三行数：．
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行、第三行数与第一行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和．
【答案】(1)第一行数是，
(2)第二行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数减2得到的，第三行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数除以2得到的
(3)
【解析】（1）根据第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，即可解答；
（2）根据两行数之间对比即可得到关系；
（3）利用（1）（2）的规律列式计算即可．
解：（1）第一行数是，．
（2）第二行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数减2得到的，第三行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数除以2得到的．
（3）第一行的第8个数是，故每行数的第8个数的和为．
8．观察下列算式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
(1)按以上规律写出第10个等式________=________；
(2)第个等式________=________；
(3)试利用以上规律求的值．
【答案】(1)，；(2)，；(3)
【解析】本题主要考查有理数的加减乘运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；
（1）根据题中所给规律可进行求解；
（2）由（1）及题中所给等式可进行求解；
（3）利用（2）中结论可进行求解．
解：（1）由题意得第10个等式；
故答案为，；
（2）第个等式；
故答案为，；
（3）原式
．
9．问题：你能比较和的大小吗
为了解决这个问题，我们可以先作简化处理，从简单情况入手，试图从中发现规律，再经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列各组数字大小：
①______；②______；③______；④______；⑤______
(2)根据上面的结果，猜想和的大小．（无需说明理由）
(3)若为正整数，根据以上结论，试比较和的大小．
【答案】(1) ；(2)；(3)见解析
【解析】（1）根据有理数的乘方计算比较即可．
（2）根据（1）的计算结果作答即可．
（3）根据（1）的计算结果，分类讨论：当时；当时．
解：（1）①；②；③；④；⑤．
故答案为：
（2）根据（1）的计算结果可知．
（3）当时，．
当时，．
10．探索规律，观察下面算式，解答问题．
；
；
；
；
…
(1)请猜想： ；
(2)请猜想： ；
(3)试计算：
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解；
（2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解；
（3）用从1开始到79的和减去从1开始到39的和，列式计算即可得解．
解：（1）；
故答案为：100；
（2）；
故答案为：；
（3）
．
