【期末能力提升——有理数专题复习】
专题08 实践操作问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、选择题
1．数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在射线上，且与之间的距离是，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】本题考查用数轴上的点表示数，设出点所表示的数，根据点、所表示的数，表示出的距离，在根据，表示出，由折叠得，，列方程即可求解．掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点、在数轴上表示的数分别为、，则．
解：设点所表示的数为，
∵点，分别表示数，，
∴，
∵与之间的距离是，点分别表示数，
∴表示的数为或，
∴或，
根据折叠得：，
∴或，
解得：或，
故选：D．
2．小明将画在纸上的数轴上对折，把表示点与表示1的点重合．此时与表示的点重合的数是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】C
【解析】先求出折痕处的点表示的数，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可．
解：∵将画在纸上的数轴上对折，表示点与表示1的点重合，
∴折痕处的点表示的数为，
∴与表示的点重合的数是，
故选：C．
3．如图，将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．想象一下，如果对折次，可以得到折痕的条数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】此题图形类规律探究，解题的关键是学会寻找规律，利用规律解决问题．探究规律，利用规律即可解决问题．
解：我们不难发现：
第一次对折：；
第二次对折：；
第三次对折：；
第四次对折：；
…；
依此类推，第n次对折，可以得到条．
故选：C．
4．一张纸的厚度为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．班级中课桌的高度
C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
【答案】D
【解析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据图形归纳类推出一般规律，从而可得第10次操作后的厚度，据此即可得．
解：第1次操作后的厚度为，
第2次操作后的厚度为，
第3次操作后的厚度为，
第4次操作后的厚度为，
归纳类推得：第次操作后的厚度为（其中为正整数），
则第10次操作后的厚度为，
观察四个选项可知，第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度，
故选：D．
二、填空题
5．将一张纸对折1次可裁2张，对折2次可裁4张，对折5次可裁 张．
【答案】
【解析】根据已知找到规律，即可列式求出答案．本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的意义和运算法则．
解：∵将一张纸对折1次可裁（张），
将一张纸对折2次可裁（张），
将一张纸对折3次可裁（张），
…，
∴将一张纸对折5次可裁（张），
故答案为：．
6．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ．
【答案】
【解析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解．
解：观察图形的变化可知：
，
，
，
，
第2027次对折后，剩下的部分面积为，
，
故答案为：．
7．如图1，一段绳子上一点满足，将这段绳子对折，使与重合（如图2），再沿点剪断，使原绳子分成三段．
（1）若，则剪断后最短的绳子长度为 ；
（2）若分成的三段绳子的长度之比为，则 ．
【答案】 2 16或1/1或16
【解析】本题考查线段中点的定义和线段的和差倍分关系：解题的关键是正确理解线段之间的关系，有时这类题型还涉及到分类讨论的思想．
（1）根据线段的中点的定义和线段的和差倍分关系即可得到结论；
（2）分类讨论：当时，当时，根据线段的和差倍分关系即可求解；
解：（1）由题意得：
，
剪断后最短的绳子长度为2，
故答案为：2
（2）设，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上所述，或1，
故答案为：16或1
8．在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ．
【答案】
【解析】本题考查数轴及有理数的运算，能根据题意求出折点所表示的数是解题的关键．先求出点P所表示的数，再求出点B所表示的数，进而可解决问题．
解：由题知，
∵点P与原点O的距离等于点P与点C的距离，
且点C表示的数是，
∴点P表示的数是，
又∵折叠后原点O与点P重合，
且，
∴点B表示的数是，
又∵折叠后点A恰好与点C重合，
且，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
9．在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（到8）的一条线段，如图，其中点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为1.5，小周先将纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合，经过两次折叠后数轴上与点重合的点所表示的数是 ．
【答案】或
【解析】本题考查了数轴的应用、线段中点的有关计算，先求出第一次对折的折痕点为3，再根据将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合可求出第二次的折痕点，由此即可得出答案，理解题意，灵活运用所学知识点是解此题的关键．
解：折痕点为对应点所连线段的中点，
第一次对折的折痕点为：，
再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合，
第二次对折的折痕点为：，
经过两次折叠后数轴上与点重合的点所表示的数是：或
故答案为：或．
10．一条数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是，2021，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点到B的距离为4，则点C表示的数是 ．
【答案】1或
【解析】设点C所表示的数为x，则，分两种情况：①点在点B左侧，②点在点B右侧，分别求出表示的数，根据，分别列出关于x的方程，解出方程即可．本题考查数轴上两点之间的距离问题，能正确地表示出两点间的距离是解题的关键．
解：设点C所表示的数为x，则，
，B点表示的数为2021，
①点在点B左侧时，
点表示的数为，
根据折叠得，，
，
解得，，
②点在点B右侧时，
点表示的数为，
根据折叠得，，
，
解得，，
故答案为：1或
三、解答题
11．如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题：
(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______；
(2)点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折．
①若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数；
②若对折后，A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时点P代表的数是______．
【答案】(1)，1，4；(2)①点P代表的数为1.5；②0.75或2或3.5
【解析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面．
（1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4，据此解答即可．
（2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可．②分类讨论解决．
解：（1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4．
故答案为：，1，4．
（2）①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合，
点表示的数为：．
②折后，不动，在之间到，距离相等．
折后对应的数：．
点表示的数为：．
折后，动，不动，在之间到，距离相等，
折后对应的数：，
点表示的数为：．
折后，动，不动，点在之间到，距离相等，
折后对应的数：，
点表示的数为：．
故答案为：0.75或2或3.5．
12．如图所示，将一张长方形纸片对折，记折痕为，，将之置于数轴上，初始状态为点与原点重合，点与数3所对应的点重合（即纸片正好覆盖住数，，，）；点在数轴上，对应的数为5．在此基础上，纸片左右滑动．
(1)若将纸片向左滑动个单位长度，则点所对应的数为__________，纸片覆盖住的负整数为__________；
(2)若纸片能覆盖住数，则需要将其向__________（填写“左”或“右”）滑动，且至少滑动__________个单位长度，至多滑动__________个单位长度；
(3)在初始状态的基础上，点与纸片同时开始滑动．纸片向右滑动，速度为每秒3个单位长度；点滑动的速度为每秒1个单位长度；二者滑动的时间为秒．
①若点向左滑动，请求出纸片覆盖住点的最初时刻、最后时刻及覆盖时长为多少；
②若点向右滑动，当纸片能覆盖住点时，请直接写出的取值范围，不用说明理由．
【答案】(1)；，；(2)左，4，7；(3)①，，，②
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点之间的距离，
（1）根据数轴上两点之间的距离求解方法即可作答；
（2）初始时，点与原点重合，点与数3所对应，当点与数对应时，刚好可以开始覆盖，当点与数所对应时，刚好可以覆盖，纸片继续向左移动，则无法再覆盖，据此计算即可；
（3）①初始时，，，当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P，当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；②初始时，，，当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P，当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P，当纸片能覆盖住点时， 同理列出一元一次方程，解方程即可求解．
解：（1）初始时，点与原点重合，点与数3所对应，
∵将纸片向左滑动个单位长度，
∴，，
∴点与数对应，点与数所对应，
即纸片覆盖住的负整数为，，
故答案为：；，；
（2）初始时，点与原点重合，点与数3所对应，
纸片向左移动后，则有可能覆盖，
当点与数对应时，刚好可以覆盖，
此时，移动的距离为：；
纸片继续向左移动，
当点与数所对应时，刚好可以覆盖，
此时，移动的距离为：；
纸片继续向左移动，则无法再覆盖，
故答案为：左，4，7；
（3）①初始时，，，
当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P，
则有：，
解得：，
当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P，
则有：，
解得：，
覆盖的时长为：；
②初始时，，，
当点B与点P重合时，即是纸片开始覆盖点P，
则有：，
解得：，
当点A与点P重合时，即是纸片最后覆盖点P，
则有：，
解得：，
当纸片能覆盖住点时， 的取值范围：．
13．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．
(1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合．
①对折后表示5的点与表示________的点重合；
②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示）
(2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合．
①对折后表示7的点与表示________的点重合；
②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________．
(3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①，②；(2)①；②；5；(3)；
【解析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程，
（1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得；
②根据对折点，利用数轴的定义即可得；
（2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；
②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数；
（3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为10，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键．
解：（1）由题意得对折点为，
①对折后与表示5的点重合的点表示的数为；
②对折后与表示的点重合的点表示的数位，
故答案为：①，②；
（2）由题意得对折点为，
①对折后与表示7的点重合的点表示的数为；
②点与点之间的距离为8，
点与点到对折点的距离为，
点在点的左侧，
点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：①；②；5；
（3）使表示的点与表示的点重合，
对折点为，
数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，
点与点到对折点的距离为，
点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：；．
14．【操作感知】
如图1，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为4的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点落在数轴上的点处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处，
（1）此时点点分别表示的数为______，______，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为_______．
（2）【建立模型】
折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，此时数轴上折痕表示的数为_______________．（用含的代数式表示）．
（3）【问题解决】
①若为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为2，如果三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数；
②如图2，若是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点落在数轴上的点处．将此长方形透明纸沿剪开，将点之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，那么数轴上最右端折痕在数轴上表示的数为________．
【答案】（1）4，，1；（2）；（3）①或或8；②
【解析】（1）根据圆的周长即可得出、表示的数，再求出中点即可得答案；
（2）求出的中点表示的数即可得到答案；
（3）①设点表示的数是，分三种情况：当到、距离相等，即是中点时，当到、距离相等，即是中点时，当是、距离相等，即是中点时，分别列出方程，即可得答案；
②先求出的长度，再根据每两条相邻折痕间的距离为，即可得最右端的折痕与数轴的交点表示的数．
解：（1）由已知得表示的数是4，表示的数是，
∵折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，
∴与点关于折痕对称，即中点为折痕与数轴的交点，
而中点表示的数为，
故答案为：4，，1；
（2）∵关于折痕对称，
∴的中点即是折痕与数轴交点，
而的中点表示的数是，
∴折痕与数轴交点表示的数为，
故答案为：；
（3）①设点表示的数是，
当到、距离相等，即是中点时，，
当到、距离相等，即是中点时，，解得，
当是、距离相等，即是中点时，，解得，
综上所述，点表示的数为或或8；
②由已知得表示的数是，表示的是，
∴,
而对折次后，每两条相邻折痕间的距离相等，这个距离是，
∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为．
故答案为：．【期末能力提升——有理数专题复习】
专题08 实践操作问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、选择题
1．数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在射线上，且与之间的距离是，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．或
2．小明将画在纸上的数轴上对折，把表示点与表示1的点重合．此时与表示的点重合的数是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
3．如图，将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕．想象一下，如果对折次，可以得到折痕的条数是（ ）
A． B． C． D．
4．一张纸的厚度为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．班级中课桌的高度
C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
二、填空题
5．将一张纸对折1次可裁2张，对折2次可裁4张，对折5次可裁 张．
6．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ．
7．如图1，一段绳子上一点满足，将这段绳子对折，使与重合（如图2），再沿点剪断，使原绳子分成三段．
（1）若，则剪断后最短的绳子长度为 ；
（2）若分成的三段绳子的长度之比为，则 ．
8．在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ．
9．在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（到8）的一条线段，如图，其中点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为1.5，小周先将纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点与点重合，经过两次折叠后数轴上与点重合的点所表示的数是 ．
10．一条数轴上有A，B，C三点，其中点A，B表示的数分别是，2021，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点到B的距离为4，则点C表示的数是 ．
三、解答题
11．如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题：
(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______；
(2)点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折．
①若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数；
②若对折后，A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时点P代表的数是______．
12．如图所示，将一张长方形纸片对折，记折痕为，，将之置于数轴上，初始状态为点与原点重合，点与数3所对应的点重合（即纸片正好覆盖住数，，，）；点在数轴上，对应的数为5．在此基础上，纸片左右滑动．
(1)若将纸片向左滑动个单位长度，则点所对应的数为__________，纸片覆盖住的负整数为__________；
(2)若纸片能覆盖住数，则需要将其向__________（填写“左”或“右”）滑动，且至少滑动__________个单位长度，至多滑动__________个单位长度；
(3)在初始状态的基础上，点与纸片同时开始滑动．纸片向右滑动，速度为每秒3个单位长度；点滑动的速度为每秒1个单位长度；二者滑动的时间为秒．
①若点向左滑动，请求出纸片覆盖住点的最初时刻、最后时刻及覆盖时长为多少；
②若点向右滑动，当纸片能覆盖住点时，请直接写出的取值范围，不用说明理由．
13．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．
(1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合．
①对折后表示5的点与表示________的点重合；
②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示）
(2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合．
①对折后表示7的点与表示________的点重合；
②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________．
(3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示）
14．【操作感知】
如图1，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为4的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点落在数轴上的点处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处，
（1）此时点点分别表示的数为______，______，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为_______．
（2）【建立模型】
折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，此时数轴上折痕表示的数为_______________．（用含的代数式表示）．
（3）【问题解决】
①若为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为2，如果三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数；
②如图2，若是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动2周，点落在数轴上的点处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点落在数轴上的点处．将此长方形透明纸沿剪开，将点之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，那么数轴上最右端折痕在数轴上表示的数为________．
