【期末能力提升——有理数专题复习】
专题11数轴上的动点问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且．
(1)求a，b的值；
(2)若动点P，Q分别以每秒4个单位长度和每秒2个单位长度的速度从点A，B同时出发沿数轴向负方向做匀速运动，当点P的运动时间为t秒时．
①写出点P，Q所表示的数；（用含t的式子表示）
②若数轴上的点M到点A，P的距离相等，求点Q，M之间的距离．
2．已知多项式的常数项是，次数是．
（1）则_______，_______；并将这两数在数轴上所对应的点、表示出来；
（2）数轴上有一点到、两点的距离之和为，求点在数轴上所对应的数；
（3）若点，点同时沿数轴向正方向运动．点的速度是点的倍，且秒后，，求点的速度．
3．已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且a、b、c满足．
(1)求a、b、c的值；
(2)若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒、3个单位/秒．运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“”表示）和点A和点B之间的距离（用“”表示）（用含t的式子表示）；
(3)若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）．存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，请直接写出时间t的值．
4．在数轴上，我们可以利用线段端点表示的两个数进行减法运算的方法，即大的数减去小的数，求线段的长度．
如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别是、0、3．线段；线段；线段．
(1)若点E、F表示的数分别是和2，则线段的长为 ．
(2)点M、N为数轴上的两个动点，点N在点M的左边，点M表示的数是，若线段的长为12，则点N表示的数是 ．
(3)点P、Q为数轴上的两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点A运动．设点P、Q的运动时间为秒．
①当点P沿运动时，求点P、Q相遇时t的值．
②当点B将线段分成的两部分的比为时，直接写出t的值．
5．阅读理解：
一般地，在数轴上点A，B表示的实数分别为a，，则A，B两点的距离．如图，在数轴上点A，B表示的实数分别为，4，则记，，因为，显然A，B两点的距离．若点C为线段的中点，则，所以，即．
解决问题：
(1)直接写出线段的中点C表示的实数 ；
(2)在点B右侧的数轴上有点P，且，求点P表示的实数；
(3)在（2）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，那么点B的速度为每秒多少个单位长度？
6．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a、b，已知，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向点B运动，当点P到达点B后，立即以原来的速度返回，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度向点A运动，当点Q到达点A后，也立即以原来的速度返回，当点Q返回至点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1) ， ，当时，点Q对应的数是 ．
(2)点P运动到6所对应的点时，点Q对应的数是多少？
(3)当点P、Q出发时，点M同时从原点出发，以每秒1个单位的速度向B运动，当点Q停止运动时，点M也停止运动．请问t取何值时，点M到点P和到点Q的距离相等（此时点P、Q不重合）？请直接写出答案．
7．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．
(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；
(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．
8．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．若点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，点B与点C之间的距离表示为BC＝|b﹣c|，点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝ ，最小值为 ．
（3）动点M从A点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒，当点M运动到B点时，点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．问：在点N开始运动后，M、N两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间t的值以及此时对应的M点所表示的数：如果不能，请说明理由．
9．已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．
(1)若、两点相遇，求的值；；
(2)若、两点相距18个单位长度，求的值；
(3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围．
10．已知数轴上的有理数，2，4，10所对应的点，分别用A，B，C，D四个点表示．动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，动点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，返回到点C后，点P和点Q停止运动．点P和点Q同时出发，设运动时间为t秒．
(1)当时，用含t的代数式表示：点P对应的数是________，点Q对应的数是________；
(2)当秒时，求P，Q两点之间的距离；
(3)在点P、点Q运动过程中，若点E始终是线段中点，当点E与点B重合时，求t的值．
(4)在点P的运动过程中，若个单位长度，请直接写出t的值．【期末能力提升——有理数专题复习】
专题11数轴上的动点问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且．
(1)求a，b的值；
(2)若动点P，Q分别以每秒4个单位长度和每秒2个单位长度的速度从点A，B同时出发沿数轴向负方向做匀速运动，当点P的运动时间为t秒时．
①写出点P，Q所表示的数；（用含t的式子表示）
②若数轴上的点M到点A，P的距离相等，求点Q，M之间的距离．
【答案】(1)，；(2)①点P所表示的数为，点Q所表示的数为；②16
【解析】本题考查数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示数，绝对值的非负性，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
（1）利用绝对值的非负性进行计算即可解题；
（2）根据P，Q的运动表示出P，Q代表的数，然后求出中点M表示的数，然后利用距离公式求出点Q，M之间的距离．
解：（1）依题意得，，
解得，；
（2）①点P所表示的数为，点Q所表示的数为；
②依题意可知，点M表示的数为，
则点Q，M之间的距离为．
2．已知多项式的常数项是，次数是．
（1）则_______，_______；并将这两数在数轴上所对应的点、表示出来；
（2）数轴上有一点到、两点的距离之和为，求点在数轴上所对应的数；
（3）若点，点同时沿数轴向正方向运动．点的速度是点的倍，且秒后，，求点的速度．
【答案】（1）﹣4，3．点A、B在数轴上表示见解析；（2）5或﹣6；（3）为或．
【解析】（1）常数项是不含字母的项，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数；
（2）数轴上两点间的距离就是右边的点对应的数字减去左边的点所对应的数字；
（3）根据点B到原点的距离是点A到原点的距离的两倍列出方程，求出点B的速度．
解：（1）∵不含字母的项是﹣4，次数最高的项的次数是3，
所以多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项﹣4，次数是3．
即：a=﹣4，b=3，
点A、B在数轴上表示如图所示：
（2）解：①当点C在点A的左侧，对应的数字为m，
由于AC+BC=11，即（﹣4﹣m）+（3﹣m）=11，
解得m=﹣6；
②当点C在点B的右侧，对应的数字为n，
由于AC+BC=11，即（n+4）+（n﹣3）=11，
解得n=5；
所以点C在数轴上所对应的数为5或﹣6；
（3）解：设点B移动的速度为x，则点A移动的速度为2x，
①当移动后点A在原点右侧时，由题意得，解得，
②当移动后点A在原点左侧时，由题意，解得
∴点B的速度为或，
答：点B的速度为B的速度为或．
3．已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且a、b、c满足．
(1)求a、b、c的值；
(2)若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒、3个单位/秒．运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“”表示）和点A和点B之间的距离（用“”表示）（用含t的式子表示）；
(3)若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为t（秒）．存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，请直接写出时间t的值．
【答案】(1)；；；(2)；；(3)t的值为或
【解析】（1）根据绝对值和二次方的非负性求出a、b、c的值即可；
（2）先用t表示出t秒后点A、B、C表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离表示出结果即可；
（3）先用t表示出运动t秒时，点A、B、C表示的数，然后再表示出，，根据A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，列出关于t的方程，解绝对值方程即可．
解：（1）∵，
∴，，，
解得：，，．
（2）设t秒后点A、B、C表示的数分别为：，，，
∴点B和点C之间的距离；
点A和点B之间的距离为：．
（3）运动t秒时，点A、B、C表示的数分别为：，，，
∴，
，
∵A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的，
∴；
当时，，
解得：，
∵，
∴符合题意；
当时，，
解得：，
∵，
∴符合题意；
当时，，
解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
综上分析可知，t的值为或．
4．在数轴上，我们可以利用线段端点表示的两个数进行减法运算的方法，即大的数减去小的数，求线段的长度．
如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别是、0、3．线段；线段；线段．
(1)若点E、F表示的数分别是和2，则线段的长为 ．
(2)点M、N为数轴上的两个动点，点N在点M的左边，点M表示的数是，若线段的长为12，则点N表示的数是 ．
(3)点P、Q为数轴上的两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点A运动．设点P、Q的运动时间为秒．
①当点P沿运动时，求点P、Q相遇时t的值．
②当点B将线段分成的两部分的比为时，直接写出t的值．
【答案】(1)10；(2)；(3)①；②或或
【解析】（1）用大的数减去小的数即得线段的长；
（2）线段的长为12即是N表示的数比M表示的数小12，即可列式得到答案；
（3）①当点P沿运动时，P表示的数是，Q表示的数是，由相遇时P，Q表示同一个数列方程可解得答案；
②分两种情况列方程，可解得答案．
解：（1）∵点E、F表示的数分别是和2，
∴线段的长为，
故答案为：10；
（2）点N表示的数是，
故答案为：；
（3）①当点P沿运动时，P表示的数是，Q表示的数是，，
∴，
解得，
答：当点P沿运动时，点P、Q相遇时t的值是；
②当点P沿运动，即时，P表示的数是，Q表示的数是，
∵P到达C时，Q还未到达B，
∴点B将线段分成的两部分的比为时，P在B左侧且时，
∴，
解得，
当点P沿运动，即时，P表示的数是，Q表示的数是，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上所述，当点B将线段PQ分成的两部分的比为时，t的值为或或．
5．阅读理解：
一般地，在数轴上点A，B表示的实数分别为a，，则A，B两点的距离．如图，在数轴上点A，B表示的实数分别为，4，则记，，因为，显然A，B两点的距离．若点C为线段的中点，则，所以，即．
解决问题：
(1)直接写出线段的中点C表示的实数 ；
(2)在点B右侧的数轴上有点P，且，求点P表示的实数；
(3)在（2）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，那么点B的速度为每秒多少个单位长度？
【答案】(1)；(2)点P表示的实数；(3)B点速度为每秒1或个单位长度
【解析】（1）根据阅读材料可得线段的中点C表示的实数；
（2）在点B右侧的数轴上有点P，且，列出方程即可求点P表示的实数xP；
（3）在（2）的条件下，根据点M是的中点，点N是的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，即可求出点B的速度．
解：（1）∵，，点C为线段的中点，
∴．
故答案为；
（2）∵，
∴，
解得
答：点P表示的实数；
（3）如图，
∵点M是的中点，点N是的中点，
∴，
∴
∴
∵A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，
∴的中点M和的中点N也随之运动，3秒后，，则，
设点B的速度为每秒x个单位长度，则点A的速度为每秒个单位长度，
根据题意可知：3秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，
当点A在点B左侧时，，
解得；
当点A在点B右侧时，，
解得．
答：B点速度为每秒1或个单位长度．
6．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a、b，已知，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向点B运动，当点P到达点B后，立即以原来的速度返回，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度向点A运动，当点Q到达点A后，也立即以原来的速度返回，当点Q返回至点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1) ， ，当时，点Q对应的数是 ．
(2)点P运动到6所对应的点时，点Q对应的数是多少？
(3)当点P、Q出发时，点M同时从原点出发，以每秒1个单位的速度向B运动，当点Q停止运动时，点M也停止运动．请问t取何值时，点M到点P和到点Q的距离相等（此时点P、Q不重合）？请直接写出答案．
【答案】(1)，7，1；(2)1或4；(3)t的值为或或5
【解析】（1）根据绝对值及偶次方的非负性求出a、b的值，利用两点之间的距离求出点Q表示的数；
（2）先求出点P运动到6所对应的点时的t值，及点Q由点B运动到点A需要的时间，再列式求出点Q对应的数；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别列一元一次方程求解．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴点A表示的数是，点B表示的数是7，
当时，点Q对应的数，
故答案为：，7，1；
（2）当点P由点A向点B运动，点P运动到6所对应的点时，，
∵点Q由点B运动到点A需要秒，
∴此时点Q对应的数是；
当点P由点B向点A运动，点P运动到6所对应的点时，，
∴此时点Q对应的数是，
综上，点Q对应的数是1或4；
（3）点M表示的数是t，
点Q运动秒到点A，点P运动秒到点B，
①当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
当点P与点Q重合时，，∴；
∵，，
∴时，，
则或（舍去）；
②当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
∴，，
∴时，，
则或（舍去）；
③当点Q运动秒时，运动停止，
∴当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
当点Q与点P重合时，，解得
∴，，
∴时，，
则（舍去）或，
综上，t的值为或或5
7．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．
(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；
(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．
【答案】(1)4，3；(2)；(3)8或9
【解析】（1）分别求出当时，当点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可；
（2）先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，由此表示出运动t秒后点M和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可；
（3）分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到点B前，当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后，表示出点N和点M表示的数，再根据的长为7建立方程求解即可．
解：（1）当时，点M表示的数为，点N表示的数为，
∴；
当时，点N表示的数为，点N表示的数为，
∴；
故答案为：4，3；
（2）由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，
解得；
（3）当点N向点A运动的过程时，由题意得，
解得，不符合题意；
当点N在点A停留时，由题意得，，
解得，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，，
解得，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，，
解得；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，，
解得；
综上所述，或．
8．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．若点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，点B与点C之间的距离表示为BC＝|b﹣c|，点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝ ，最小值为 ．
（3）动点M从A点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒，当点M运动到B点时，点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．问：在点N开始运动后，M、N两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间t的值以及此时对应的M点所表示的数：如果不能，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；1；9；（2）1；12；（3）当t的值为6，10或时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为3，7或
【解析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性可求出a，c的值，结合BC＝2AB可求出b值；
（2）当﹣3≤x≤9时，|x﹣a|+|x﹣c|取得最小值，结合当x＝1时|x﹣b|＝0，即可得出结论；
（3）用含t的代数式表示出点M，N表示的数，结合MN＝2，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）∵a、c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣3，c＝9．
又∵点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB，
∴9﹣b＝2[b﹣（﹣3）]，
∴b＝1．
故答案为：﹣3；1；9．
（2）当﹣3≤x≤9时，|x﹣a|+|x﹣c|取得最小值，最小值为9﹣（﹣3）＝12．
∵|x﹣b|≥0，b＝1，
∴当x＝b＝1时，|x﹣b|取得最小值，最小值为0，
∴当x＝1时，|x﹣a|+|x﹣c|+|x﹣b|取得最小值，最小值为12．
故答案为：1；12．
（3）12÷2＝6（秒），4+6＝10（秒）．
当0≤t≤12时，点M表示的数为t﹣3；
当t＞12时，点M表示的数为9；
当4≤t≤10时，点N表示的数为2（t﹣4）﹣3＝2t﹣11；
当10＜t≤16时，点N表示的数为9﹣2（t﹣10）＝29﹣2t．
①当4≤t≤10时，MN＝|t﹣3﹣（2t﹣11）|＝2，
解得：t＝6或t＝10，
∴点M表示的数为3或7；
②当10＜t≤12时，MN＝|t﹣3﹣（29﹣2t）|＝2，
解得：t＝10（舍去）或t＝，
∴点M表示的数为；
③当12＜t≤16时，MN＝|9﹣（29﹣2t）|＝2，
解得：t＝9（舍去）或者t＝11（舍去）．
综上所述：当t的值为6，10或时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为3，7或．
9．已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．
(1)若、两点相遇，求的值；；
(2)若、两点相距18个单位长度，求的值；
(3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围．
【答案】(1)秒；(2)秒或秒；(3)
【解析】（1）由两点的路程之和等于90，再列方程求解即可；
（2）由两点的路程之和等于或，再列方程求解即可；
（3）设这10个整数为、、、、、，则可得，解得，由①、②有公共部分，可得，解得：，再确定k的整数值，从而可得答案．
解：（1）解：设经过后，点A、B相遇．
依题意，得，
解得：．
答：经过秒钟后，点A、B相遇；
（2）设经过（），A、B两点相距，依题意，
得：或，
解得，或．
综上所述，或．
答：经过秒或秒后，A、B两点相距；
（3）设这10个整数为、、、、、，则
解得：
有解
①、②有公共部分
解得：
为整数
将代入①、②，得：
．
10．已知数轴上的有理数，2，4，10所对应的点，分别用A，B，C，D四个点表示．动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，动点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，返回到点C后，点P和点Q停止运动．点P和点Q同时出发，设运动时间为t秒．
(1)当时，用含t的代数式表示：点P对应的数是________，点Q对应的数是________；
(2)当秒时，求P，Q两点之间的距离；
(3)在点P、点Q运动过程中，若点E始终是线段中点，当点E与点B重合时，求t的值．
(4)在点P的运动过程中，若个单位长度，请直接写出t的值．
【答案】(1)，；(2)10；(3)；(4)或或
【解析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据左减右加的规律解答即可；
（2）先求出点P和点Q表示的数，然后根据两点间的距离求解即可；
（3）根据列式求解即可；
（4）分，和三种情况求解即可．
解：（1）由题意得：点P对应的数是，点Q对应的数是，
故答案为：，；
（2）当时，
，
，
．
故答案为：10；
（3）由题意，得
，
∴；
（4）由数轴可知，当点P在线段上运动时，，
∵，
∴此时点P在线段或线段上运动．
当时，
，，，，
∴，
∴；
当时，
，，，，
∴，
∴；
当时，
点P表示的数是，
，，，，
∴，
∴；
综上可知，t的值为或或．
