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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第二章
课标要求 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法会出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；会用配方法把二次函数把转化成的形式，并由此得到二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴及最大值和最小值，并能确定相应的自变量和利用函数的知识解决实际问题；知道二次函数和一元二次方程的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；能够综合运用二次函数、二次方程、不等式的关系；二次函数的性质解决实际问题；能用二次函数的表是否刻画实际问题中变量之间的关系，解决实际问题；培养学生建立二次函数的模型的能力和和对现实问题进行定性分析的能力。
内容分析 本单元主要内容是二次函数的概念、二次函数的图像、二次函数的性质和二次函数的运用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的重要概念，函数不仅可以看着变量之间的依赖关系，同时函数思想方法贯穿整个数学学习过程。学生在学习正反比例函数和一元二次方程之后学习二次函数，这是对函数及其运用知识学习的深化和提高，是学习函数知识过程的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步函数学习奠定基础。本章内容在日常生活中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学数学的重要素材。
学情分析 学生在此之前学习了变量、自变量、因变量、函数等概念，对函数的知识有了一定的基础，相关应用较为常见。在相关知识的学习过程中经历了对实际问题的探究，积累了一定的经验，感受到函数是反映变量之间的变化过程，并通过列表、解析式、图像了解变化过。对各种函数的表达方式的特点有了一定的了解，获得了探究函数知识的基础，同时在以前的学习中经历了合作探究的过程，积累了一定的合作探究的经验，具备了合作交流的能力。
单元目标 教学目标能用表格、图像、表达式表示变量之间的二次函数的关系，发展有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选择适当的方法表示变量之间的二次函数的关系，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的函数关系。会画二次函数的图像，归纳二次函数的图像性质。根据二次函数的解析式确定函数图像的开口方向、对称轴和最值问题。理解二次函数和一元二次方程之间的而连续与区别，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。能用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测，提高学生的学习兴趣和信心。（二）教学重点、难点重点：根据所给的信息确定二次函数的表达式，会根据公式确定二次函数的开口方向、对称轴和最值问题，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。难点：如何运用二次函数的图像结合二次函数的表达式去探究、理解二次函数的性质，并用它来解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1二次函数12二次函数的图像与性质1(可拆分4个课时)3确定二次函数的表达式1（拆分成2个课时）4二次函数的应用1（拆分成2个课时）5二次函数与一元二次方程1（拆分成2个课时）6回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；3．会用待定系数法求二次函数的解析式。4．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程；使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；发展概括及分析问题、解次问题的能力。5.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点1、学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用老师及时提醒注意的问题.合作交流，归纳概括出二次函数的定义，一般形式，以及特殊形式，掌握二次函数的亮点本质 ，并理解二次函数的满足条件。3、先独自探究自变量的取值范围，然后小组交流形成共识。环节一：情景引入环节二：新知讲授环节三：典例分析二次函数的图像 1．能够作出函数y=a(x-h) 2和y＝a(x-h) 2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 4．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． 5．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点1、根据老师引导，用描点法画出函数y=x2的图象，y=-2x2的图象2、小组合作讨论，探索出函数y=ax2的图象的特征与性质，并在自己画的图象上验证自己 的结论是否正确。3、利用平移法作出函数的图像。4、讨论顶点坐标间的关系判断两函数间的位置关系，并在图象中验证．5归纳、抽象，说出二者间的关系，全班交流．6、总结归纳二次函数顶点坐标、对称轴，最值与k 和h之间的关系。7、完成习题环节一：探究的图像环节二：探究的图像环节三：探究的图像环节四；探究的图像确定二次函数的表达式1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。4．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。5．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。学生利用待定系数法求一次函数的表达式。学生思考讨论后，回答问题3、根据不同的条件确定二次函数的表达式的形式，利用待定系数法求二次函数的表达式。4、利用所学知识解决实际问题。环节一：回顾知识环节二：典例分析二次函数的应用1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。2、通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。3、通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。4、．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。5、进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力1、学生回顾知识。2、学生讨论问题1、2的解法。形成共识。3、独立完成做一做1、2题对学困生适当点拨。4、学生大胆表达自己的想法。给于鼓励，并在学生回答的基础上加于补充，规范表达。通过探索，发展学生运用类比方法解决问题的能力。5、完成做一做。环节一：知识回顾环节二：探究面积最大值问题。环节三：探究利润最大值问题。二次函数与一元二次方程1、理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系2、理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标.3、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想． 4、通过二次函数图象与一元二次方程之间关系的探究活动,体会二次函数与一元二次方程之间的联系;使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性1、学生回顾知识。2学生交流讨论小球经过多少秒落地。观察讨论二次函数与X轴的交点情况，形成共识。用二次函数图像求一元二次方程的近似值。环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系环节四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根回顾与反思1.了解二次函数的定义，会判断一个函数是不是二次函数，并且能够将二次函数转化为一般形式。 2.会作二次函数的大致图象，并能够依据二次函数的图象说出其对称轴，顶点坐标及变化趋势。 3.理解二次函数图象间的位置关系，能够依据平移规律写出平移后的函数表达式或根据表达式说出平移规律。 4.能够利用待定系数法确定函数的表达式。 5.理解二次函数与一元二次方程间的关系，能够依据函数图象求出一元二次方程的近似根。1、学生思考完成知识架构图。2、过知识梳理，并进行观察、归纳、猜想、推理及应用的过程，抽象出数学模型。3、完成每个知识点的做一做。环节一：知识架构环节二：知识梳理（从7个方面进行）。
《二次函数》单元教学设计
活动一：情景引入
活动二：新知讲授
任务一：
二次函数
活动三：典例分析
活动一：探究的图像
活动二：探究的图像
二次函数
任务二：
二次函数的图像和性质
活动三：探究的图像
活动四：探究的图像
活动一：回顾知识
任务三：
确定二次函数的表达式
活动二：例题精析
活动一：回顾知识
任务四：
二次函数的应用
活动二：探究面积最大值
活动三：探究利润最大值
活动一：回顾知识
二次函数
活动二：情景引入
任务五：
二次函数与一元二次方程
活动三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系
活动四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根
活动一：构建知识架构
任务六：
回顾与反思
活动二：知识梳理
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九年级下册分课时教学设计
第一课时《1.2二次函数的图像和性质》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质。该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、先探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，b,c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
学习者分析 在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法作出函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 1．能够作出函数y=a(x-h) 2和y＝a(x-h) 2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 4．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． 5．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 6．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点 体会二次函数y＝ax2+bx+c的图象的形成过程；能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；能够正确说出y＝a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学难点 体验以点带线思想， 能够理解y＝a(x-h)2+k与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一： 探究y=ax 的图像性质 教师活动1： 1、回忆以前做一次函数与反比列函数图像的具体步骤（列表、描点、连线）
2、观察y=x的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表: 列表 描点,连线 观察图象,回答问题 （1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流。 (2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 (3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？ (5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流。 3、做一做 二次函数y=-x的图象是什么形状？ 先想一想，然后作出它的图象． 它与二次函数y=x的图象有什么关系？ 4、二次函数y=ax的性质 典例分析： 1.已知抛物线y=ax经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标. 解：（1）把（-2，-8）代入y=ax,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. 因为-4≠ -2(-1)所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上. 由-6=-2x,得x=3, x=± 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 巩固练习 1.填空:(1)抛物线y=2x的顶点坐标是【（0,0）】,对称轴是【y轴】 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在【对称轴的右】侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是【0】 ,抛物线y=2x2在x轴的【上】方(除顶点外). 2.抛物线 在x轴的【下】方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的【增大而增大】 ；在对称轴的右侧,y随着x的【增大而减小】当x=0时,函数y的值最大,最大值是【0】,当x【≠】 0时,y<0. 学生活动1： 1、根据老师引导，用描点法画出函数y=x2的图象，y=-2x2的图象 2、小组合作讨论，探索出函数y=ax2的图象的特征与性质，并在自己画的图象上验证自己 的结论是否正确。 3、完成练习题。活动意图说明： 通过学生自己动手画图，让学生感受抛物线的形状以及特征。使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维。环节二：探究y=ax+c 的图像性质教师活动2： 1.画函数y=2x+1的图象，你是怎样画的？ 函数y=2x+1与y=2x的图象形状、开口方向、对称轴都相同；但顶点不同，其图象顶点为（0,1）. 将函数y=2x的图象向上平移1个单位长度，就得到y=2x+1的图象. 2.函数y=ax+c的图象与性质 学以致用 分析下列每组函数图象的相同点和不同点： （1）y=3x与y=1/3x （2）y=-3x与y=-0.5x （3）y=-2x+2与y=-4x+2 2、下列每组函数中，后一个函数的图象经过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？ （1）y=-3x与y=3x （2）y=0.3x-2与y=0.3x （3）y=-2x+3/2与y=-2x-1/2 （4）y=-5x+6与y=5x-1 3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象在同一坐标系中可能是（ ） A B C D 4、如图，函数y = ax﹣a与y = 的图象在同一坐标系中可能是（ ） A B C D学生活动2： 1、学生动手列表，回答观察与猜测的结果 2、动手作图，验证猜想 3、完成习题 活动意图说明： 引导学生从简单形式的二次函数y=ax2开始研究，从特殊到一般的开始研究问题，渗透特殊与一般的思想方法。描点法画二次函数图象重点在于引导学生对函数图象进行分析推理，建立图象推理与解析式的解读之间的密切联系，归纳二次函数的性质。故列表分析猜测图象的过程应予以重视，不容忽略。同时，让学生由数想形，充分感受函数中体现的数形结合。环节三;探究二次函数的图象与性质.教师活动3： 比较函数与的图象 ⑴完成下表,并比较2x和2(x-1)的值,它们之间有什么关系 (2)在同一坐标系中做出二次函数y=2x和y=2(x-1)的图象。 二次函数y=2(x-1) 和y=2x 的图象的关系？ 1.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 2.当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当 x取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 结论:将 y=2x的图象向【右】平移【1】个单位就得到y=2(x-1) 的图象. 5.猜一猜： y=2(x+1) 的图象是怎么样的？它的图象与y=2x 的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！ 猜测：将y=2x 的图象向【左】平移【1】个单位就得到y=2(x+1) 的图象. 归纳小结 二次函数y=2x , y=2(x-1) , y=2(x+1) 的图象都是【抛物线】，并且形状【相同】 ，只是位置不同. 将y=2x 的图象向 【右】平移【1】单位,就得到 的y=2(x-1) 图象; 将y=2x 的图象向 【左】平移 【1】单位,就得到 的y=2(x+1) 图象.学生活动3： 列表、描点连线画和图像。并比较图像的异同点。 体会和图像的变化特征。活动意图说明： 通过作图比较和的图像特点，可培样学生倾听他人的意识,同时会发现这些函数式与一般式的联系，学生会对新的函数式产生亲切感，并且对下一节一般式与顶点式的互化打下了，良好的基础．“以点代线”的方式认识图象间的变换关系．形成特殊到一般的认知过程． 环节四：探究四:二次函数 的图象与性质教师活动4： 1、在同一坐标系中作出二次 函数y=2x , y=2(x+3)和 y=2(x+3)- 的图象. 由于二次函数解析式，可以直接知道抛物线的顶点坐标是（h，k）,所以二次函数解析式我们称之为二次函数的顶点式。抛物线的对称轴x=h,最值y=k。 注意：中括号内是“-”号 2、把二次函数配方成形式。 （学生完成配方过程） 所以的顶点坐标（）对称轴，最值 二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质 学生活动4： 利用平移法作出函数的图像。 讨论顶点坐标间的关系判断两函数间的位置关系，并在图象中验证． 归纳、抽象，说出二者间的关系，全班交流． 总结归纳二次函数顶点坐标、对称轴，最值与k 和h之间的关系。活动意图说明： 培养学生合情合理的推理意识与合作分享成果的精神．“以点代线”的方式认识图象间的变换关系．鼓励学生结合草图，一是加深对抛物线的形状的把握，二是培养数形结合思想．丰富学生归纳抽象对象，加深对函数中a、h、k对图象的影响的理解，利于学生对其本质特性的把握．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x﹣h)2（a≠0）的图象可能是（ D ） 2．对二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6的说法错误的是（ C ） A．开口向下 B．最大值为﹣6 C．顶点（2，﹣6） D．x＜﹣2时，y随x的增大而增大 3．比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，则（ D ） A．开口方向相同 B．开口大小相同 C．顶点坐标相同 D．对称轴相同 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 y＝x2﹣x﹣2． 5．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣2．． 6．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为.y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．． 7．把二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是：y＝﹣（x+2）2+1 选做题： 8.已知二次函数y=x2－6x+8.求： （1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x2－6x＋8=0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？ 解：（1）由题意，得x2－6x+8=0.则(x－2) (x－4)=0，x1=2，x2=4. 所以与x轴交点为（2，0）和（4，0），当x=0时，y=8. 所以抛物线与y轴交点为（0，8）， （2）抛物线的顶点坐标为（3，－1）， （3）①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4. ②当x＜2或x＞4时，函数值大于0； ③当2＜x＜4时，函数值小于0； 【综合拓展类作业】 9.如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点（2，3）． （1）求a的值和图象的顶点坐标． （2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上． ①当m＝﹣2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 解：（1）把点P（2，3）代入y＝x2+ax+3中， ∴a＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标为（1，2）； （2）①当m＝﹣2时，n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴﹣2＜m＜2， ∴2≤n＜11．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣，y3）在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ C ） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 2．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3大小关系是（ A ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 3．抛物线y＝x2+（k﹣1）x+3的对称轴在y轴右侧，则k的取值范围是（ B ） A．k＞1 B．k＜1 C．k＞3 D．k＜3 4.如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x=【3】． 5.请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件： (1)开口向下； (2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小. 这样的二次函数的解析式可以是____________________. 答案不唯一，只要满足b=－4a，a＜0即可，如y=－x2＋4x＋3，y=－2x2＋8x－3等. 6.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横、纵坐标的对应值如下表： x…﹣101234…y…144﹣2﹣4﹣24…
则该抛物线的顶点坐标为【（2，﹣4）】 7.一次函数y=kx﹣2(k≠0)的图象与函数y=|x2﹣4|的图象有公共点，则k的取值范围是【﹣1≤k＜0或0＜k≤1．】 选做题： 8、如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结OC，求出△AOC的面积． （3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围． 解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上， ∴1＝a， ∴抛物线的解析式为y＝x2； （2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2． 联立两函数解析式成方程组，， 解得：或， ∴点C的坐标为（﹣2，4）． ∴S△AOC＝×2×4＝4； （3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1． 【综合拓展类作业】 9.已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）． （1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值； （2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围； （3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式． 解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2）， ∴﹣＝1，＝2， 解得m＝﹣2，n＝3； （2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3， ∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2， ∴﹣2≤xQ≤2， 由图象可知，2≤yQ≤11 即2≤b≤11． （3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n； 由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m， ∴若C1与C2的交点坐标为（1，3）， ∴﹣m＝1，解得m＝﹣2， 把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n， ∴n＝0， ∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．
教学反思
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二次函数
1.2 二次函数的图像和性质
北师大版九年级下册
教材分析
二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质。该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、先探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+bx+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，b,c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
教学目标
1．能够作出函数y=a(x-h) 2和y＝a(x-h) 2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响．
2．能够正确说出y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
4．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力．
5．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
6．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
温故知新
1、回忆以前做一次函数与反比列函数图像的具体步骤（列表、描点、连线）
2、观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
列表
一、 探究y=ax 的图像性质
活动探究
描点,连线
活动探究
观察图象,回答问题
（1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流。
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
(5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流。
活动探究
做一做
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
活动探究
二次函数y=ax2的性质
典例分析
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为-4≠ -2(-1) 所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x=± 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
巩固练习
1.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
2.抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
活动探究
二、 探究y=ax +c 的图像性质
1.画函数y=2x2+1的图象，你是怎样画的？
函数y=2x2+1与y=2x2的图象形状、开口方向、对称轴都相同；但顶点不同，其图象顶点为（0,1）.
将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，就得到y=2x2+1的图象.
函数y=ax2+c的图象与性质
活动探究
函数 y=ax2+c 图象
开口
对称轴
顶点
a>0
a<0
向上
向下
y轴
y轴
（0,c）
（0, c）
学以致用
1、分析下列每组函数图象的相同点和不同点：
（1）y=3x2与y=x2
（2）y=-3x2与y=-0.5x2
（3）y=-2x2+2与y=-4x2+2
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2
（2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（3）y=-2x2+与y=-2x2-
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
学以致用
学以致用
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
学以致用
4、如图，函数y = ax2﹣a与y = 的图象在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
活动探究
三、探究二次函数 的图象与性质.
比较函数 与 的图象
⑴完成下表,并比较2x2和2(x-1)2的值,它们之间有什么关系
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
18 8 2 0 2 8 18 32
32 18 8 2 0 2 8 18
活动探究
(2)在同一坐标系中做出二次函数y=2x2和y=2(x-1)2的图象。
议一议
二次函数y=2(x-1) 和y=2x 的图象的关系？
1.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
2.当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当 x取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？
结论:将 y=2x2的图象向 平移 _个单位就得到y=2(x-1) 的图象.
5.猜一猜： y=2(x+1) 的图象是怎么样的？它的图象与y=2x2 的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
猜测：将y=2x2 的图象向 平移 个单位就得到y=2(x+1) 的图象.
右
1
左
1
议一议
归纳小结
归纳小结
二次函数y=2x , y=2(x-1) , y=2(x+1) 的图象都是 ，并且形状 ，只是位置不同.
将y=2x 的图象向 平移 单位,就得到 的y=2(x-1) 图象;
将y=2x 的图象向 平移 单位,就得到 的y=2(x+1) 图象.
抛物线
相同
右
1
左
1
活动探究
探究四:二次函数 的图象与性质
在同一坐标系中作出二次
函数y=2x , y=2(x+3)2和
y=2(x+3)2- 的图象.
二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质
活动探究
活动探究
把二次函数
配方成
形式。
（学生完成配方过程）
的顶点坐标（
对称轴x=
最值y=
活动探究
所以 ）
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
D
C
D
课堂练习
y＝x2﹣x﹣2．
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
8、已知二次函数y=x2－6x+8.求：
（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2－6x＋8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
（1）由题意，得x2－6x+8=0.则(x－2) (x－4)=0，x1=2，x2=4.
所以与x轴交点为（2，0）和（4，0），当x=0时，y=8.
所以抛物线与y轴交点为（0，8），
（2）抛物线的顶点坐标为（3，－1），
（3）①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4.
②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；
③当2＜x＜4时，函数值小于0；
课堂练习
【综合实践类作业】
解：（1）把点P（2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2）；
（2）①当m＝﹣2时，n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11．
9、如图，已知二次函数y＝x +ax+3的图象经过P点（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上．
①当m＝﹣2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
课堂总结
作业布置
【知识技能类作业】
C
A
B
作业布置
4.如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x=________．
5.请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：(1)开口向下；
(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小.
这样的二次函数的解析式可以是____________________.
答案不唯一，只要满足b=－4a，a＜0即可，如y=－x2＋4x＋3，y=－2x2＋8x－3等.
6.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横、纵坐标的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 14 4 ﹣2 ﹣4 ﹣2 4 …
则该抛物线的顶点坐标为 ．
7.一次函数y=kx﹣2(k≠0)的图象与函数y=|x2﹣4|的图象有公共点，则k的取值范围是 ．
【3】
【（2，﹣4）】
【﹣1≤k＜0或0＜k≤1．】
布置作业
【知识技能类作业 选做题】
8、如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
作业布置
【综合实践类作业】
9.已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．
板书设计
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