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九年级下册分课时教学设计
第一课时《1.3确定二次函数的表达式》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 “待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，初三学生已经学会用待定系数法求函数关系式；因此这节课的学习既是初中知识的延续和深化，又为后面的高中学习奠定基础，起着承前启后的作用．
学习者分析 对于初三学生来说，学生对于用待定系数法求函数关系式的方法已经有所认识，他们已经积累了一定的学习经验．同时，初三的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题能力和创新意识，这些对本节课的学习都很有帮助.在今后高中的数学学习中，学生还会继续运用待定系数法解决相关问题．新课标对学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有了更高的要求，在教学中还有待加强相应能力的培养．
教学目标 1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。 2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。 3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。 4．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。 5．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。
教学重点 根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.
教学难点 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾 教师活动1： 一次函数ykx+b 的图象过点 A(0,1),B(1,3) ，求该一次函数的表达式。 2、我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通需要（ ）个独立的条件.确定反比例函数 （k≠0)关系式时，通常需要（ ）个条件. 3、确立二次函数的表达式需要几个条件？学生活动1： 学生利用待定系数法求一次函数的表达式。 学生思考讨论后，回答问题 活动意图说明： 利用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式.环节二：典例分析教师活动2： 例1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？ 例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的 交点为（0，－5），求抛物线的解析式。 例3 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ 例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式． 总结提高 自我展示 根据下列条件，选择你认为最简洁的方法求二次函数的关系式。 (1)、图象经过(0，1)， (1，6) ， (-1，0) 三点； (2)、图象的顶点(2，2)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，(2，-4)。学生活动2： 根据不同的条件确定二次函数的表达式的形式，利用待定系数法求二次函数的表达式。 利用所学知识解决实际问题。活动意图说明： 求二次函数的表达式，让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，深刻理解二次函数的一般式、顶点式、交点式三种不同的表达式的应用条件，并能根据实际问题灵活选择合适的关系式应用待定系数法解决问题是本节课的关键。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ D ） A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x 2．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ B ） A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3 3．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ C ） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4 4.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.[] 5. 已知二次函数y=x +bx+c的图象经过点（1，1）与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.[] 6．已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是[y＝2x2﹣8x+6]． 7．已知y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝1，则当y＝9时，x＝[±6]． 选做题： 8.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式。 【综合拓展类作业】 9.已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？ 解：（1）由题意得，， 解得，， 则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3， ∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为[y＝x2+2x﹣2] 2．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（﹣2，﹣）．则该函数的解析式为 [ y＝﹣] 3．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为 [y＝2x2+4x﹣1] 4．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为[ y＝﹣2（x+2）2+1] 5. 二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为 A. B. C. D. 6. 将二次函数 化成 的形式是 A. B. C. D. 7. 将二次函数 用配方法化成 的形式，下列结果中正确的是 A. B. C. D. 选做题： 8.如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？ …… 【综合拓展类作业】 9.如图，已知在 中，，，点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上． （1）求经过 ， 两点的直线的表达式． （2）求图象经过 ，， 三点的二次函数的解析式． 解：（1） ，点 的坐标为 ，， ，则 ，， ，， ， ，， ，， ， 设直线 为：， 解得： 直线 为：． （2） 设过 ，， 的抛物线为：， ， 解得：， 抛物线为：．
教学反思
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第二章
课标要求 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法会出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；会用配方法把二次函数把转化成的形式，并由此得到二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴及最大值和最小值，并能确定相应的自变量和利用函数的知识解决实际问题；知道二次函数和一元二次方程的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；能够综合运用二次函数、二次方程、不等式的关系；二次函数的性质解决实际问题；能用二次函数的表是否刻画实际问题中变量之间的关系，解决实际问题；培养学生建立二次函数的模型的能力和和对现实问题进行定性分析的能力。
内容分析 本单元主要内容是二次函数的概念、二次函数的图像、二次函数的性质和二次函数的运用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的重要概念，函数不仅可以看着变量之间的依赖关系，同时函数思想方法贯穿整个数学学习过程。学生在学习正反比例函数和一元二次方程之后学习二次函数，这是对函数及其运用知识学习的深化和提高，是学习函数知识过程的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步函数学习奠定基础。本章内容在日常生活中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学数学的重要素材。
学情分析 学生在此之前学习了变量、自变量、因变量、函数等概念，对函数的知识有了一定的基础，相关应用较为常见。在相关知识的学习过程中经历了对实际问题的探究，积累了一定的经验，感受到函数是反映变量之间的变化过程，并通过列表、解析式、图像了解变化过。对各种函数的表达方式的特点有了一定的了解，获得了探究函数知识的基础，同时在以前的学习中经历了合作探究的过程，积累了一定的合作探究的经验，具备了合作交流的能力。
单元目标 教学目标能用表格、图像、表达式表示变量之间的二次函数的关系，发展有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选择适当的方法表示变量之间的二次函数的关系，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的函数关系。会画二次函数的图像，归纳二次函数的图像性质。根据二次函数的解析式确定函数图像的开口方向、对称轴和最值问题。理解二次函数和一元二次方程之间的而连续与区别，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。能用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测，提高学生的学习兴趣和信心。（二）教学重点、难点重点：根据所给的信息确定二次函数的表达式，会根据公式确定二次函数的开口方向、对称轴和最值问题，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。难点：如何运用二次函数的图像结合二次函数的表达式去探究、理解二次函数的性质，并用它来解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1二次函数12二次函数的图像与性质1(可拆分4个课时)3确定二次函数的表达式1（拆分成2个课时）4二次函数的应用1（拆分成2个课时）5二次函数与一元二次方程1（拆分成2个课时）6回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；3．会用待定系数法求二次函数的解析式。4．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程；使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；发展概括及分析问题、解次问题的能力。5.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点1、学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用老师及时提醒注意的问题.合作交流，归纳概括出二次函数的定义，一般形式，以及特殊形式，掌握二次函数的亮点本质 ，并理解二次函数的满足条件。3、先独自探究自变量的取值范围，然后小组交流形成共识。环节一：情景引入环节二：新知讲授环节三：典例分析二次函数的图像 1．能够作出函数y=a(x-h) 2和y＝a(x-h) 2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 4．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． 5．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点1、根据老师引导，用描点法画出函数y=x2的图象，y=-2x2的图象2、小组合作讨论，探索出函数y=ax2的图象的特征与性质，并在自己画的图象上验证自己 的结论是否正确。3、利用平移法作出函数的图像。4、讨论顶点坐标间的关系判断两函数间的位置关系，并在图象中验证．5归纳、抽象，说出二者间的关系，全班交流．6、总结归纳二次函数顶点坐标、对称轴，最值与k 和h之间的关系。7、完成习题环节一：探究的图像环节二：探究的图像环节三：探究的图像环节四；探究的图像确定二次函数的表达式1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。4．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。5．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。学生利用待定系数法求一次函数的表达式。学生思考讨论后，回答问题3、根据不同的条件确定二次函数的表达式的形式，利用待定系数法求二次函数的表达式。4、利用所学知识解决实际问题。环节一：回顾知识环节二：典例分析二次函数的应用1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。2、通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。3、通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。4、．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。5、进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力1、学生回顾知识。2、学生讨论问题1、2的解法。形成共识。3、独立完成做一做1、2题对学困生适当点拨。4、学生大胆表达自己的想法。给于鼓励，并在学生回答的基础上加于补充，规范表达。通过探索，发展学生运用类比方法解决问题的能力。5、完成做一做。环节一：知识回顾环节二：探究面积最大值问题。环节三：探究利润最大值问题。二次函数与一元二次方程1、理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系2、理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标.3、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想． 4、通过二次函数图象与一元二次方程之间关系的探究活动,体会二次函数与一元二次方程之间的联系;使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性1、学生回顾知识。2学生交流讨论小球经过多少秒落地。观察讨论二次函数与X轴的交点情况，形成共识。用二次函数图像求一元二次方程的近似值。环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系环节四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根回顾与反思1.了解二次函数的定义，会判断一个函数是不是二次函数，并且能够将二次函数转化为一般形式。 2.会作二次函数的大致图象，并能够依据二次函数的图象说出其对称轴，顶点坐标及变化趋势。 3.理解二次函数图象间的位置关系，能够依据平移规律写出平移后的函数表达式或根据表达式说出平移规律。 4.能够利用待定系数法确定函数的表达式。 5.理解二次函数与一元二次方程间的关系，能够依据函数图象求出一元二次方程的近似根。1、学生思考完成知识架构图。2、过知识梳理，并进行观察、归纳、猜想、推理及应用的过程，抽象出数学模型。3、完成每个知识点的做一做。环节一：知识架构环节二：知识梳理（从7个方面进行）。
《二次函数》单元教学设计
活动一：情景引入
活动二：新知讲授
任务一：
二次函数
活动三：典例分析
活动一：探究的图像
活动二：探究的图像
二次函数
任务二：
二次函数的图像和性质
活动三：探究的图像
活动四：探究的图像
活动一：回顾知识
任务三：
确定二次函数的表达式
活动二：例题精析
活动一：回顾知识
任务四：
二次函数的应用
活动二：探究面积最大值
活动三：探究利润最大值
活动一：回顾知识
二次函数
活动二：情景引入
任务五：
二次函数与一元二次方程
活动三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系
活动四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根
活动一：构建知识架构
任务六：
回顾与反思
活动二：知识梳理
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二次函数
1.3确定函数的表达式
北师大版九年级下册
教材分析
“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，初三学生已经学会用待定系数法求函数关系式；因此这节课的学习既是初中知识的延续和深化，又为后面的高中学习奠定基础，起着承前启后的作用．
教学目标
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。
4．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
5．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。
1、一次函数 的图象过点 ，
求该一次函数的表达式。
知识回顾
解：将点 的坐标分别代入一次函数 中，得
解这个方程组，得
所求一次函数表达式为： .
2、我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通需要 个独立的条件.确定反比例函数 （k≠0)关系式时，通常需要 个条件.
知识回顾
2
1
3、确立二次函数的表达式需要几个条件？几
典例分析
例1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
解：设二次函数解析式为
y=ax2+bx+c (a≠0)
将点（0,-3），（4，5），（－1, 0）代入，得
典例分析
例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的
交点为（0，－5），求抛物线的解析式。
解 ∵ 抛物线的顶点为（-1，-3），
∴ 设所求二次函数的解析式为 y=a(x＋1)2-3 (a≠0)
又点（0，-5 ）在这个抛物线上，
∴ a-3= -5， 解得a= -2
即 所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
或 y=－2x2 - 4x-5 。
典例分析
例3 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
解：∵ 抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0) ，
∴ 设所求的二次函数解析式为 y=a(x＋1)(x－1) （a≠0)
又∵ 点M( 0,1 )在抛物线上
∴ a(0+1)(0-1)=1
解得： a=-1
即：所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
或 y=－x2+1
典例分析
例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，(a≠0)
根据题意可知，抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式时
总结提高
(1)关键是求出待定系数____________的值．
a，b，c
(2)设解析式的三种形式：
①一般式：________________________，当已知抛物线上三个点时，用一般式比较简便；
②顶点式：__________________________，当已知抛物线的顶点时，用顶点式较方便；
③交点式(两根式)：___________________ __ ，当已知
抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．
y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
y＝a(x－h)2＋k (a≠0)
y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)
自我展示
根据下列条件，选择你认为最简洁的
方法求二次函数的关系式。
(1)、图象经过(0，1)， (1，6) ， (-1，0) 三点；
(2)、图象的顶点(2，2)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，(2，-4)。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
D
B
C
课堂练习
4.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.
5. 已知二次函数y=x +bx+c的图象经过点（1，1）与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.
6．已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是．
7．已知y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝1，则当y＝9时，x＝ ．
[y＝2x2﹣8x+6]
[±6]
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
8.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过
点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式。
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂总结
确定二次函数表达式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式
已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标
通常选择顶点式
已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标
通常选择交点式
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
【知识技能类作业 必做题】
作业布置
B
A
C
8.如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与
水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
【综合实践类作业】
作业布置
板书设计
(1)合理地设二次函数的表达式；
(2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)；
(3)解方程（或方程组）,求出待定系数；
(4)答：写出二次函数的表达式.
确定二次函数表达式的一般步骤
谢谢
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