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二次函数
1.4二次函数的应用
北师大版九年级下册
教材分析
面积最大值问题、何时获得最大利润，是北师大版初中数学九年级下册第二章的内容，它是在学生学习二次函数的图像和性质，对将实际问题转化为“函数问题”有了初步认识的基础上进一步学习二次函数在销售中的最值问题。本节课可拆分为2个课时，第一课时，面积最大值问题；第二课时利润最大值问题。
教学目标
1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。
2、通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。
3、通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
4、能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。
5、进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力。
知识回顾
如何求二次函数的最大(小)值？
(1)配方法
用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式, 当自变量x= 时,函数y有最大(小)值为 .
(2)公式法
直接使用配方法得到的结论,二次函数 y=ax2+bx+c,
当自变量x= 时,函数y有最大(小)值为 .
h
k
情景导入
课外活动中，老师要求同学们用长40米的篱笆围成一个矩形的花园，并且要使这个矩形花园的面积最大，如果要你来当设计师，你是怎样设计的呢？
A
B
C
D
解：设矩形的一边长为X米 ，面积为y平方米，则
(0此时另一边长为20-10=10（米）
何时面积最大
问题探究
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
A
B
C
D
┐
M
N
40m
30m
bm
xm
问题探究
配方
当x=20时 ，y的最大值是300
在上面问题中，如果把矩形改为下图的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样解决这个问题的
(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
问题探究
问题探究
配方
当x=25时 ，y的最大值是300
课堂小结
用二次函数解决“最大面积”问题的思路：
（1）.阅读题目，理解问题.
（2）.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
（3）.用函数关系式表示出它们之间的关系.
（4）.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
（5）.检验结果的合理性.
做一做
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大 最大面积是多少
2m
问题探究
获得最大利润
【问题情境1】：父亲节前夕丹尼斯商场销售一批T恤衫。现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少
【问题情境2：】
“父亲节”前夕丹尼斯商场销售一批T恤衫。现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
探究对该商品采取涨价措施，则如何定价才能使利润最大？
分析问题：设每件涨价x元，每星期的利润为y元
则实际售价(60+x)元，每件利润为(20+x) 元，
每星期少卖 10x件，实际卖出 (300-10x)件，每星期的利润y=(20+x)(300-10x)
问题探究
(1)设涨价x元，每天销售利润为w元，
w=(20+ x )(300-10x)
=-10x2+100x+6000,
∵-10<0,∴当x=5时,w有最大值，w最大值为6225.
此时售价为60+x=60+5=65元答:销售单价定为65元时,每天销售利润最大,最大销售利润为6225元.
问题探究
问题探究
探究对该商品采取降价措施，如何定价才能使利润最大？
分析问题：设每件降价x元，每星期的利润为y元
则实际售价(60-x)元，每件利润为(20-x) 元，
每星期多卖 20x件，实际卖出 (300+20x)件，每星期的利润y=(20-x)(300+20x)
(2)设降价x元，每天销售利润为w元，
w=(20-x )(300+20x)
=-20x2+100x+6000,
∵-20<0,∴当x=2.5时,w有最大值，w最大值为6125.
此时售价为60-x=60-2.5=62.5元答:销售单价定为62.5元时,每天销售利润最大,最大销售利润为6125元.
问题探究
课堂小结
思考:由探究一、二的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价，才能使利润最大吗？
交流归纳：通过以上探究，你认为利用二次函数解决利润问题的一般步骤是什么
做一做
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
B
c
课堂练习
B
课堂练习
[3]
课堂练习
【知识技能类作业 选做题 】
课堂练习
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂练习
课堂总结
通过前面活动，这节课你学到了什么？
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最值问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
D
C
C
作业布置
C
10
3.75
作业布置
10
8
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
作业布置
板书设计
二次函数的应用
建立模型 数形结合
最大（小）值问题。
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第二章
课标要求 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法会出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；会用配方法把二次函数把转化成的形式，并由此得到二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴及最大值和最小值，并能确定相应的自变量和利用函数的知识解决实际问题；知道二次函数和一元二次方程的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；能够综合运用二次函数、二次方程、不等式的关系；二次函数的性质解决实际问题；能用二次函数的表是否刻画实际问题中变量之间的关系，解决实际问题；培养学生建立二次函数的模型的能力和和对现实问题进行定性分析的能力。
内容分析 本单元主要内容是二次函数的概念、二次函数的图像、二次函数的性质和二次函数的运用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的重要概念，函数不仅可以看着变量之间的依赖关系，同时函数思想方法贯穿整个数学学习过程。学生在学习正反比例函数和一元二次方程之后学习二次函数，这是对函数及其运用知识学习的深化和提高，是学习函数知识过程的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步函数学习奠定基础。本章内容在日常生活中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学数学的重要素材。
学情分析 学生在此之前学习了变量、自变量、因变量、函数等概念，对函数的知识有了一定的基础，相关应用较为常见。在相关知识的学习过程中经历了对实际问题的探究，积累了一定的经验，感受到函数是反映变量之间的变化过程，并通过列表、解析式、图像了解变化过。对各种函数的表达方式的特点有了一定的了解，获得了探究函数知识的基础，同时在以前的学习中经历了合作探究的过程，积累了一定的合作探究的经验，具备了合作交流的能力。
单元目标 教学目标能用表格、图像、表达式表示变量之间的二次函数的关系，发展有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选择适当的方法表示变量之间的二次函数的关系，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的函数关系。会画二次函数的图像，归纳二次函数的图像性质。根据二次函数的解析式确定函数图像的开口方向、对称轴和最值问题。理解二次函数和一元二次方程之间的而连续与区别，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。能用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测，提高学生的学习兴趣和信心。（二）教学重点、难点重点：根据所给的信息确定二次函数的表达式，会根据公式确定二次函数的开口方向、对称轴和最值问题，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。难点：如何运用二次函数的图像结合二次函数的表达式去探究、理解二次函数的性质，并用它来解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1二次函数12二次函数的图像与性质1(可拆分4个课时)3确定二次函数的表达式1（拆分成2个课时）4二次函数的应用1（拆分成2个课时）5二次函数与一元二次方程1（拆分成2个课时）6回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；3．会用待定系数法求二次函数的解析式。4．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程；使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；发展概括及分析问题、解次问题的能力。5.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点1、学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用老师及时提醒注意的问题.合作交流，归纳概括出二次函数的定义，一般形式，以及特殊形式，掌握二次函数的亮点本质 ，并理解二次函数的满足条件。3、先独自探究自变量的取值范围，然后小组交流形成共识。环节一：情景引入环节二：新知讲授环节三：典例分析二次函数的图像 1．能够作出函数y=a(x-h) 2和y＝a(x-h) 2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 4．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． 5．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点1、根据老师引导，用描点法画出函数y=x2的图象，y=-2x2的图象2、小组合作讨论，探索出函数y=ax2的图象的特征与性质，并在自己画的图象上验证自己 的结论是否正确。3、利用平移法作出函数的图像。4、讨论顶点坐标间的关系判断两函数间的位置关系，并在图象中验证．5归纳、抽象，说出二者间的关系，全班交流．6、总结归纳二次函数顶点坐标、对称轴，最值与k 和h之间的关系。7、完成习题环节一：探究的图像环节二：探究的图像环节三：探究的图像环节四；探究的图像确定二次函数的表达式1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。4．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。5．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。学生利用待定系数法求一次函数的表达式。学生思考讨论后，回答问题3、根据不同的条件确定二次函数的表达式的形式，利用待定系数法求二次函数的表达式。4、利用所学知识解决实际问题。环节一：回顾知识环节二：典例分析二次函数的应用1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。2、通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。3、通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。4、．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。5、进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力1、学生回顾知识。2、学生讨论问题1、2的解法。形成共识。3、独立完成做一做1、2题对学困生适当点拨。4、学生大胆表达自己的想法。给于鼓励，并在学生回答的基础上加于补充，规范表达。通过探索，发展学生运用类比方法解决问题的能力。5、完成做一做。环节一：知识回顾环节二：探究面积最大值问题。环节三：探究利润最大值问题。二次函数与一元二次方程1、理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系2、理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标.3、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想． 4、通过二次函数图象与一元二次方程之间关系的探究活动,体会二次函数与一元二次方程之间的联系;使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性1、学生回顾知识。2学生交流讨论小球经过多少秒落地。观察讨论二次函数与X轴的交点情况，形成共识。用二次函数图像求一元二次方程的近似值。环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系环节四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根回顾与反思1.了解二次函数的定义，会判断一个函数是不是二次函数，并且能够将二次函数转化为一般形式。 2.会作二次函数的大致图象，并能够依据二次函数的图象说出其对称轴，顶点坐标及变化趋势。 3.理解二次函数图象间的位置关系，能够依据平移规律写出平移后的函数表达式或根据表达式说出平移规律。 4.能够利用待定系数法确定函数的表达式。 5.理解二次函数与一元二次方程间的关系，能够依据函数图象求出一元二次方程的近似根。1、学生思考完成知识架构图。2、过知识梳理，并进行观察、归纳、猜想、推理及应用的过程，抽象出数学模型。3、完成每个知识点的做一做。环节一：知识架构环节二：知识梳理（从7个方面进行）。
《二次函数》单元教学设计
活动一：情景引入
活动二：新知讲授
任务一：
二次函数
活动三：典例分析
活动一：探究的图像
活动二：探究的图像
二次函数
任务二：
二次函数的图像和性质
活动三：探究的图像
活动四：探究的图像
活动一：回顾知识
任务三：
确定二次函数的表达式
活动二：例题精析
活动一：回顾知识
任务四：
二次函数的应用
活动二：探究面积最大值
活动三：探究利润最大值
活动一：回顾知识
二次函数
活动二：情景引入
任务五：
二次函数与一元二次方程
活动三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系
活动四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根
活动一：构建知识架构
任务六：
回顾与反思
活动二：知识梳理
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九年级下册分课时教学设计
第一课时《1.4二次函数的应用》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 面积最大值问题、何时获得最大利润，是北师大版初中数学九年级下册第二章的内容，它是在学生学习二次函数的图像和性质，对将实际问题转化为“函数问题”有了初步认识的基础上进一步学习二次函数在销售中的最值问题。本节课可拆分为2个课时，第一课时，面积最大值问题；第二课时利润最大值问题
学习者分析 1、学生已经学习了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数解析式、平移的性质，能够解决一些简单的二次函数相关问题。 2、二次函数是研究现实世界最优化问题的的一个重要数学模型，学生在前一课时中，学习了二次函数的图像和性质，初步了解利用二次函数求最值的过程，为学习探索二次函数在几何中求最值问题、销售中求最大利润问题积累了一定的活动经验和方法感悟，学生可以通过类比探索二次函数在几何图形中的探索最大面积的方法—将实际问题转化为“函数”模型，探索二次函数在销售中求最大利润。同时在前面的学习中学习了模型：单利润x 数量 = 总利润，这为学生的探索二次函数在销售中求最大利润问题奠定了基础，但是学生对于类似每降价xx钱就多卖xx件的问题，在思维的转化过程中，部分学生还存在一点的困难。
教学目标 1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。 2、通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。 3、通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。 4、．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。 5、进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力
教学重点 重点：能够审清题意，能找出题目中的等量关系，能根据具体情况，由已知条件，利用二次函数解决实际问题。
教学难点 难点：能够审清题意，能找出题目中的等量关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾；教师活动1： 一、如何求二次函数的最大(小)值？ 学生活动1： 学生回顾知识活动意图说明： 回顾知识为后续教学服务环节二：何时面积最大教师活动2： 1、情景引入;课外活动中，老师要求同学们用长40米的篱笆围成一个矩形的花园，并且要使这个矩形花园的面积最大，如果要你来当设计师，你是怎样设计的呢？ 解：设矩形的一边长为X米 ，面积为y平方米，则 问题探究;如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少？ 3、在上面问题中，如果把矩形改为下图的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样解决这个问题的 (1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少 4、用二次函数解决“最大面积”问题的思路： （1）.阅读题目，理解问题. （2）.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系. （3）.用函数关系式表示出它们之间的关系. （4）.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. （5）.检验结果的合理性. 5、做一做 （1）、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少 （2）、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大 最大面积是多少 学生活动2： 学生讨论问题1、2的解法。形成共识。 独立完成做一做1、2题对学困生适当点拨活动意图说明： 为了锻炼学生的自主探究能力，把知识的探究过程交给学生，让学生在合作交流和讨论中，探究问题的解决方法。这样，使学生既养成了独立思考问题的良好习惯，又培养了学生的合作交流能力。经过观察、思考、类比等数学活动，培养学生解决问题的能力，让学生在问题的解决中体会知识的应用方法，使学生获得成功的体验。环节三：获得最大利润教师活动3： 问题情境1： 父亲节前夕丹尼斯商场销售一批T恤衫。现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少 问题情境2： “父亲节”前夕丹尼斯商场销售一批T恤衫。现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 一、探究对该商品采取涨价措施，则如何定价才能使利润最大？ 分析问题：设每件涨价x元，每星期的利润为y元 则实际售价(60+x)元，每件利润为(20+x) 元， 每星期少卖 10x件，实际卖出 (300-10x)件，每星期的利润y=(20+x)(300-10x) 设涨价x元，每天销售利润为w元， w=(20+ x )(300-10x) =-10x2+100x+6000, ∵-10<0,∴当x=5时,w有最大值，w最大值为6225. 此时售价为60+x=60+5=65元答:销售单价定为65元时,每天销售利润最大,最大销售利润为6225元. 二、探究对该商品采取降价措施，如何定价才能使利润最大？ 分析问题：设每件降价x元，每星期的利润为y元 则实际售价(60-x)元，每件利润为(20-x) 元， 每星期多卖 20x件，实际卖出 (300+20x)件，每星期的利润y=(20-x)(300+20x) 设降价x元，每天销售利润为w元， w=(20-x )(300+20x) =-20x2+100x+6000, ∵-20<0,∴当x=2.5时,w有最大值，w最大值为6125. 此时售价为60-x=60-2.5=62.5元答:销售单价定为62.5元时,每天销售利润最大,最大销售利润为6125元. 课堂小结 思考:由探究一、二的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价，才能使利润最大吗？ 交流归纳：通过以上探究，你认为利用二次函数解决利润问题的一般步骤是什么 做一做 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。 （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？学生活动3： 学生大胆表达自己的想法。给于鼓励，并在学生回答的基础上加于补充，规范表达。通过探索，发展学生运用类比方法解决问题的能力。 完成做一做。 活动意图说明： 为了让学生更加积极、主动投入到课堂中，在本节课中采用一线串通，引导变式，底层进阶的方法展开教学，从基础知识开始引导，增强他们的学习信心，学生能做的让学生做，学生能说的让学生来说，关注了学生主体作用的发挥，教师只是一个主导的作用，在学生探索的过程中进行适时的引领和点拨，教学过程中用鼓励性的语言，激发学生探究的热情，点燃学生学习的激情，增强学习数学的信心。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： `1. 某商店经营皮鞋，已知所获利润 （元）与销售的单价 （元）之间的关系为 ，则获利最多为 A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 竖直上抛物体离地面的高度 与运动时间 之间的关系可以近似地用公式 表示，其中 是物体抛出时离地面的高度， 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 的高处以 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为 A. B. C. D. 3. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面 宽为 米，拱桥的最高点 到水面 的距离为 米．如果此时水位上升 米就达到警戒水位 ，那么 宽为 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为 亿元，若每月平均增长率为 ，第一季度的总产值为 （亿元），则 关于 的函数解析式为[]． 5. 在一个边长为 的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为 ，若剩下阴影部分的面积为 ，那么 关于 的函数解析式是 [] 6. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为 （米）关于水平距离 （米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 [3] ． 7. 据了解，某蔬菜种植基地 年的蔬菜产量为 万吨， 年的蔬菜产量为 万吨，如果 年至 年蔬菜产量的年平均增长率为 ，那么 关于 的函数解析式为[]． 选做题：[3] 8.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度 ，一同学站在门内，在离门脚 点 远的 处，垂直地面立起一根 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上 处．根据这些条件，请你求出该大门的高 ． 解：如图，建立平面直角坐标系． 设抛物线解析式为 ． 由题意知 ， 两点坐标分别为 ，， 把 ， 两点坐标代入抛物线解析式得 解得 所以抛物线的解析式为 ． 所以该大门的高 为 ． 【综合拓展类作业】 9.一位运动员在距篮下 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为 ． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高 ，在这次跳投中，球在头顶上方 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 解：（1） 当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的表达式为 ． 由题图知图象过点 ，解得 ， 抛物线的表达式为 ． （2） 设球出手时，他跳离地面的高度为 ， 由（）得 ， 则球出手时，球的高度为 ， ， ． 答：球出手时，他跳离地面的高度为 ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 在一定的条件下，若物体运动的路程 （米）与时间 （秒）的关系式为 ，则当 秒时，该物体所经过的路程为 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 用长 的金属条制成“日”字形窗户，使窗户的透光面积最大，如图，那么这个窗户的最大透光面积是 A. B. C. D. 3. 某车的刹车距离 与开始刹车时的速度 之间满足二次函数 ，若该车某次的刹车距离为 ，则开始刹车时的速度为 A. B. C. D. 4. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位：分钟）满足的函数关系 （，， 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 5. 一名男生推铅球，铅球行进高度 （单位：）与水平距离 （单位：）之间的关系是 ．则他将铅球推出的距离是[10] ． 6. 加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位：）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为[3.75] ． 7. 校运会上，一名男生推铅球，出手点 距地面 ，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是 时，达到最大高度 ，那么该名男生推铅球的成绩是[10] ． 8. 一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度 （）关于运动时间 （）的函数表达式为 ，其图象如图所示．若小球在发射后第 与第 时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间[8] ． 选做题： 9.连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋 可以视为某抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为 米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度 为 米，距离拱肋右端 米处的系杆 的长度为 米．以 所在的直线为 轴，抛物线的对称轴为 轴，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式． （2）正中间系杆 的长度是多少米 是否存在一根系杆的长度恰好是 长度的一半 请说明理由． 解：（1） 设抛物线的解析式为 ， ，， 得 ，， ． （2） 当 时，， （米）． 设存在一根系杆的长度是 的一半，即这根系杆的长度是 米，则 ，得 ， 相邻系杆之间的间距均为 米，最中间系杆 在 轴上， 每根系杆上的点的横坐标均为整数， 与实际不符， 不存在一根系杆的长度恰好是 长度的一半． 【综合拓展类作业】 10.如图，一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为 ，设花园的面积为 ，平行于墙的边为 ．若 不小于 ， （1）求出 关于 的函数关系式； （2）求 的最大值与最小值． 解 （1） 平行于墙的边为 ，矩形菜园的面积为 ．则垂直于墙的一面长为 ．根据题意得：． （2） ， ，． 当 时， 取得最大值，此时 ， ， 时， 取得最小值，此时 ， 答： 的最大值是 ，最小值是 ．
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