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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第二章
课标要求 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法会出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；会用配方法把二次函数把转化成的形式，并由此得到二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴及最大值和最小值，并能确定相应的自变量和利用函数的知识解决实际问题；知道二次函数和一元二次方程的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；能够综合运用二次函数、二次方程、不等式的关系；二次函数的性质解决实际问题；能用二次函数的表是否刻画实际问题中变量之间的关系，解决实际问题；培养学生建立二次函数的模型的能力和和对现实问题进行定性分析的能力。
内容分析 本单元主要内容是二次函数的概念、二次函数的图像、二次函数的性质和二次函数的运用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的重要概念，函数不仅可以看着变量之间的依赖关系，同时函数思想方法贯穿整个数学学习过程。学生在学习正反比例函数和一元二次方程之后学习二次函数，这是对函数及其运用知识学习的深化和提高，是学习函数知识过程的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步函数学习奠定基础。本章内容在日常生活中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学数学的重要素材。
学情分析 学生在此之前学习了变量、自变量、因变量、函数等概念，对函数的知识有了一定的基础，相关应用较为常见。在相关知识的学习过程中经历了对实际问题的探究，积累了一定的经验，感受到函数是反映变量之间的变化过程，并通过列表、解析式、图像了解变化过。对各种函数的表达方式的特点有了一定的了解，获得了探究函数知识的基础，同时在以前的学习中经历了合作探究的过程，积累了一定的合作探究的经验，具备了合作交流的能力。
单元目标 教学目标能用表格、图像、表达式表示变量之间的二次函数的关系，发展有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选择适当的方法表示变量之间的二次函数的关系，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的函数关系。会画二次函数的图像，归纳二次函数的图像性质。根据二次函数的解析式确定函数图像的开口方向、对称轴和最值问题。理解二次函数和一元二次方程之间的而连续与区别，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。能用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测，提高学生的学习兴趣和信心。（二）教学重点、难点重点：根据所给的信息确定二次函数的表达式，会根据公式确定二次函数的开口方向、对称轴和最值问题，能根据二次函数的图像确定一元二次方程的近似值。难点：如何运用二次函数的图像结合二次函数的表达式去探究、理解二次函数的性质，并用它来解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1二次函数12二次函数的图像与性质1(可拆分4个课时)3确定二次函数的表达式1（拆分成2个课时）4二次函数的应用1（拆分成2个课时）5二次函数与一元二次方程1（拆分成2个课时）6回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；3．会用待定系数法求二次函数的解析式。4．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程；使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；发展概括及分析问题、解次问题的能力。5.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点1、学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用老师及时提醒注意的问题.合作交流，归纳概括出二次函数的定义，一般形式，以及特殊形式，掌握二次函数的亮点本质 ，并理解二次函数的满足条件。3、先独自探究自变量的取值范围，然后小组交流形成共识。环节一：情景引入环节二：新知讲授环节三：典例分析二次函数的图像 1．能够作出函数y=a(x-h) 2和y＝a(x-h) 2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响． 2．能够正确说出y=a(x-h) 2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 4．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力． 5．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点1、根据老师引导，用描点法画出函数y=x2的图象，y=-2x2的图象2、小组合作讨论，探索出函数y=ax2的图象的特征与性质，并在自己画的图象上验证自己 的结论是否正确。3、利用平移法作出函数的图像。4、讨论顶点坐标间的关系判断两函数间的位置关系，并在图象中验证．5归纳、抽象，说出二者间的关系，全班交流．6、总结归纳二次函数顶点坐标、对称轴，最值与k 和h之间的关系。7、完成习题环节一：探究的图像环节二：探究的图像环节三：探究的图像环节四；探究的图像确定二次函数的表达式1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。4．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。5．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。学生利用待定系数法求一次函数的表达式。学生思考讨论后，回答问题3、根据不同的条件确定二次函数的表达式的形式，利用待定系数法求二次函数的表达式。4、利用所学知识解决实际问题。环节一：回顾知识环节二：典例分析二次函数的应用1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。2、通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。3、通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。4、．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。5、进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力1、学生回顾知识。2、学生讨论问题1、2的解法。形成共识。3、独立完成做一做1、2题对学困生适当点拨。4、学生大胆表达自己的想法。给于鼓励，并在学生回答的基础上加于补充，规范表达。通过探索，发展学生运用类比方法解决问题的能力。5、完成做一做。环节一：知识回顾环节二：探究面积最大值问题。环节三：探究利润最大值问题。二次函数与一元二次方程1、理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系2、理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标.3、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想． 4、通过二次函数图象与一元二次方程之间关系的探究活动,体会二次函数与一元二次方程之间的联系;使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性1、学生回顾知识。2学生交流讨论小球经过多少秒落地。观察讨论二次函数与X轴的交点情况，形成共识。用二次函数图像求一元二次方程的近似值。环节一：知识回顾环节二：情景引入环节三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系环节四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根回顾与反思1.了解二次函数的定义，会判断一个函数是不是二次函数，并且能够将二次函数转化为一般形式。 2.会作二次函数的大致图象，并能够依据二次函数的图象说出其对称轴，顶点坐标及变化趋势。 3.理解二次函数图象间的位置关系，能够依据平移规律写出平移后的函数表达式或根据表达式说出平移规律。 4.能够利用待定系数法确定函数的表达式。 5.理解二次函数与一元二次方程间的关系，能够依据函数图象求出一元二次方程的近似根。1、学生思考完成知识架构图。2、过知识梳理，并进行观察、归纳、猜想、推理及应用的过程，抽象出数学模型。3、完成每个知识点的做一做。环节一：知识架构环节二：知识梳理（从7个方面进行）。
《二次函数》单元教学设计
活动一：情景引入
活动二：新知讲授
任务一：
二次函数
活动三：典例分析
活动一：探究的图像
活动二：探究的图像
二次函数
任务二：
二次函数的图像和性质
活动三：探究的图像
活动四：探究的图像
活动一：回顾知识
任务三：
确定二次函数的表达式
活动二：例题精析
活动一：回顾知识
任务四：
二次函数的应用
活动二：探究面积最大值
活动三：探究利润最大值
活动一：回顾知识
二次函数
活动二：情景引入
任务五：
二次函数与一元二次方程
活动三：二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根的关系
活动四：利用二次函数的图像估算一元二次方程的根
活动一：构建知识架构
任务六：
回顾与反思
活动二：知识梳理
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二次函数
回顾与反思
北师大版九年级下册
教材分析
函数是初中数学中最基本的概念之一，从八年级首次接触到函数的概念，就学习了正比例函数、一次函数，然后九年级上册学习了反比例函数九年级下册学习了二次函数，函数贯穿于整个初中数学体系之中，也是生活实际中构建数学模型的重要工具之一。二次函数在初中数学教学中占有极其重要的地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式等内容打下基础。在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。二次函的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起到了很好的推动作用。并且二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地对自己所学的知识融会贯通。
教学目标
1.了解二次函数的定义，会判断一个函数是不是二次函数，并且能够将二次函数转化为一般形式。
2.会作二次函数的大致图象，并能够依据二次函数的图象说出其对称轴，顶点坐标及变化趋势。
3.理解二次函数图象间的位置关系，能够依据平移规律写出平移后的函数表达式或根据表达式说出平移规律。
4.能够利用待定系数法确定函数的表达式。
5.理解二次函数与一元二次方程间的关系，能够依据函数图象求出一元二次方程的近似根。
知识架构
二次函数
概念
图像及性质
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性（单调性）
最大(小)值
抛物线的平移
确定解析式
二次函数与一元二次方程
二次函数应用
知识梳理
一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示成
a、b 、c是常数，a≠0)形式，则称y是x的二次函数。
y=ax2+bx+c
y=ax2(a≠0 、b=0 、c=0)
y=ax2 +c(a≠0 、b=0 、c≠0)
y=ax2 +bx(a≠0 、b≠0 、c=0)
y=ax2+bx+c(a≠0 、b≠0 、c≠0)
一、二次函数的概念
典例分析
1.二次函数y=3x-x 中a =___, b=___, c=___
2.函数y=(m-1)x +3x+1,当m=___时,它是二次函数
3.已知函数y= a x + bx+c(其中a,b,c是常数)
(1)当a____时是二次函数
(2)当a____, b____时是一次函数
m +1
-1
3
0
-1
≠0
≠0
=0
知识梳理
二、二次函数y=a(x-h)2+k的图像及性质：
函数 图像 开口方向
对称轴 顶点坐标 增减性 当x>h时，y随x的增大而_____；当xh时，y随x的增大而_____；当x最值 当x=h时，y有最小值k 当x=h时，y有最大值k
y=a(x-h)2+k
抛物线
a>0，开口向上
a<0，开口向下
直线x=h
(h，k)
增大
减小
减小
增大
典例分析
1、抛物线y=2（x-1/2）2+1的开口向 ， 对称轴 ，顶点坐标是 ；
2、若抛物线y=a（x+m）2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0，m 0，n 0。
3、已知函数y=-3(x-2) +4，则抛物线的顶点坐标为_______,当x=___时，函数取最大值为____.
4、已知抛物线y=-(x+1) -3，当x_______时，
y随x的增大而减小.
上
X=0.5
（1/2，1）
＜
＜
＜
(2,4)
2
4
＞-1
-1
三、二次函数的平移关系
知识梳理
典例分析
1.把二次函数y=(x-2)2的图像，沿y轴向上平移3个单位，得到_____________的图像；
2.把二次函数y=(x-1)2的图像，沿x轴向左平移3个单位，得到_____________的图像；
3.把二次函数___________的图像，先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到y= x2+1的图像.
y=(x-2)2+3
y=(x+2)2
y=(x+1)2+3
知识梳理
y=ax +bx+c=
四、二次函数顶点公式
a(x+ )
b
2a
+
4ac-b
4a
因此，抛物线y=ax +bx+c的
顶点坐标是：
b
2a
-
(
,
4ac-b
4a
)
对称轴是：直线
x=-
b
2a
知识梳理
a决定了抛物线的开口方向和对称轴由形状决定；
对称轴由a和b决定；
c决定了图象与y轴的交点位置；
当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立。
当a＞0时,开口向___
知识梳理
在对称轴左侧,y的值随x值的增大而_____;
在对称轴右侧,y的值随x值的增大而___
x=-
b
2a
时，函数y有最___值
4ac-b
4a
上
减小
增大
小
知识梳理
当a ＜ 0时,开口向___,
在对称轴左侧,y的值随x值的增大而_____;
在对称轴右侧,y的值随x值的增大而___
增大
减小
时，函数y有最___值
x=-
b
2a
大
4ac-b
4a
典例分析
如图所示的抛物线：
当x=_______时，y=0；
当x＜－2或x＞0时， y_____0；
当x在____________ 范围内时，y＞0；
当x=_____时，y有最大值_____.
-1
-2
y
x
O
3
0或-2
＜
－2＜x＜0
-1
3
知识梳理
五.确定二次函数表达式的方法：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式
1.设抛物线y=x +8x-k的顶点在x轴上,则k的值为( )
A.-16 B.16 C.-8 D.8
2.将抛物线y=3x +1绕原点O旋转180°则旋转后的抛物线的解析式为( )
A. y=- x +1 B. y=- x -1C. y=-3x -1 D. y=-3x +1
3.已知二次函数y=ax +x+a(a-2)的图象经过原点,则a的值为( )
A.0或2 B.0 C.2 D.无法确定
A
C
C
典例分析
六.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系：
知识梳理
典例分析
1抛物线y=3x -x+4与坐标轴的交点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.已知抛物线y=x -x-1与x轴的一个交点坐标为(m,0)则代数式m -m+5=
3.若关于x的一元二次方程x -x-n=0没有实数根则抛物线y=x -x-n的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
D
6
A
知识梳理
七、二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
典例分析
如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，
求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？
并求出这个最大值．
典例分析
解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30.
∴BF=2x-30.
（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.
所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2=
x2+60x-450.
3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150.
∵a= ＜0，15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值， 最大值为150.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
D
1．下列函数中是二次函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝(x－2)2－x2 D．y＝x(x－1)
2．抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是直线( )
A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－4 D．x＝4
3．对于二次函数y＝－(x－1)2的图象的特征，下列描述正确的是( )
A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
4．将抛物线y＝x2－3向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2－5 C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x－2)2－3
B
D
C
课堂练习
a＞3
5．如果抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是．
6．请写出一个与y轴交点为(0，3)，对称轴为直线x＝－2的抛物线的表达式;
7．若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝．
8．用长20 m的篱笆围成一个长方形，则长方形的面积y(m2)与它的一边长x(m)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，－2)，且经过点(0，－1)，当m≤x≤m＋2时，－2≤y≤2，则m的取值范围是 ．
y＝x2＋4x＋3(答案不唯一)
1
y＝－x2＋10x
0＜x＜10
－3≤m≤－1
课堂练习
10.漪汾桥是太原首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型．如图，单个桥拱在桥面上的跨度为OA＝60米，在水面的跨度为BC＝80米，桥面距水面的垂直距离为OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求单个桥拱所在抛物线的表达式；
(2)求桥拱最高点到水面的距离．
【知识技能类作业】
选做题：
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，
由题易得B(－10，－7)，抛物线的对称轴为直线x＝30，
∴＝30，(b)解得b＝0.6.(a＝－0.01，)
故单个桥拱所在抛物线的表达式是y＝－0.01x2＋0.6x.
(2)∵y＝－0.01x2＋0.6x＝－0.01(x－30)2＋9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
9＋7＝16(米)，
故桥拱最高点到水面的距离是16米．
课堂练习
【综合实践类作业】
11．某公司为了宣传销售一种新产品，在某地先后举办了30场产品促销会．已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y(台)．在销售过程中获得以下信息：
信息1：销售量y与销售场次x之间满足关系式y＝－x＋50；
信息2：每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，浮动价与销售场次x成正比．经统计后得到如下数据：
x(场) 3 10
p(万元) 10.6 12
(1)求每场的基本价及p与x之间的函数关系式．
(2)在这30场产品促销会上，哪一场获得的利润最大？并求出最大利润．
课堂作业
解：(1)设每场的基本价为b万元，p与x之间的函数关系式为p＝ax＋b，
∴每场的基本价为10万元，p与x之间的函数关系式为p＝0.2x＋10(1≤x≤30的整数)．
(2)设每场获得的利润为w万元，
根据题意，得w＝(0.2x＋10－10)(－x＋50)＝－0.2x2＋10x
＝－0.2(x－25)2＋125，
∵－0.2＜0，
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为125，
故第25场的利润最大，最大利润为125万元．
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
C
D
B
C
作业布置
（0，-6 ）
（0,1）
202
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
11.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为W 元．求每件商品的售价定为多少利润最大，最大月利润是多少？
作业布置
板书设计
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九年级下册分课时教学设计
第一课时《回顾与反思》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 函数是初中数学中最基本的概念之一，从八年级首次接触到函数的概念，就学习了正比例函数、一次函数，然后九年级上册学习了反比例函数九年级下册学习了二次函数，函数贯穿于整个初中数学体系之中，也是生活实际中构建数学模型的重要工具之一。二次函数在初中数学教学中占有极其重要的地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式等内容打下基础。在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。二次函的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起到了很好的推动作用。并且二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地对自己所学的知识融会贯通。
学习者分析 1.学生的已有基础，初三学生在新课的学习中已通过经历探索的过程，总结出二次函数的定义、图象与性质及多种方法确定二次函数表达式等基本知识. 2.已有的活动经验，具备一定的学习能力，包括自学和合作交流，知道多向别人请教来解决问题.学习具有一定的主动性，具备分析问题和一定的表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象的材料来理解相关知识和概念。 3.学生面临的问题 （1）在研究函数图象时，用数形结合的方法来判断a＋b＋c，4a+2b＋c， 4a－2b＋c等的取值范围有困难. （2）对于不在同一区间内，如何比较其函数值大小有困难.
教学目标 1.了解二次函数的定义，会判断一个函数是不是二次函数，并且能够将二次函数转化为一般形式。 2.会作二次函数的大致图象，并能够依据二次函数的图象说出其对称轴，顶点坐标及变化趋势。 3.理解二次函数图象间的位置关系，能够依据平移规律写出平移后的函数表达式或根据表达式说出平移规律。 4.能够利用待定系数法确定函数的表达式。 5.理解二次函数与一元二次方程间的关系，能够依据函数图象求出一元二次方程的近似根。
教学重点 函数图象与性质的综合运用
教学难点 数形结合思想的运用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识架构； 教师活动1： 学生活动1： 学生思考完成知识架构图 活动意图说明： 梳理本章知识结构，构建知识整体。 环节二：知识梳理教师活动2： 一、二次函数的概念：一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示成 a、b 、c是常数，a≠0)形式，则称y是x的二次函数。 y=ax(a≠0 、b=0 、c=0) y=ax2+c(a≠0 、b=0 、c≠0) y=ax +bx(a≠0 、b≠0 、c=0) y=ax+bx+c(a≠0 、b≠0 、c≠0) 做一做： 二次函数y=3x-x 中a =（-1）, b=（3）, c=（0） 2.函数y=(m-1)x +3x+1,当m=（-1）时,它是二次函数 3.已知函数y= a x + bx+c(其中a,b,c是常数) (1)当a（≠0）时是二次函数 (2)当a（=0）, b（≠0）时是一次函数 二、二次函数y=a(x-h)+k的图像及性质： 做一做 1、抛物线y=2（x-1/2）+1的开口（上）， 对称轴x=1/2，顶点坐标是（0.5,1）； 2、若抛物线y=a（x+m）+n开口向下，顶点在第四象限，则a <0，m <0，n <0。 3、已知函数y=-3(x-2)+4，则抛物线的顶点坐标为（2,4）,当x=2时，函数取最大值为4. 4、已知抛物线y=-(x+1)-3，当x>-1时， y随x的增大而减小. 三、二次函数的平移关系 做一做 1.把二次函数y=(x-2)2的图像，沿y轴向上平移3个单位，得到_____________的图像； 2.把二次函数y=(x-1)2的图像，沿x轴向左平移3个单位，得到_____________的图像； 3.把二次函数___________的图像，先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到y= x2+1的图像. 四、二次函数顶点公式 a决定了抛物线的开口方向和对称轴由形状决定； 对称轴由a和b决定； c决定了图象与y轴的交点位置； 当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立。 做一做 如图所示的抛物线： 当x= 0或2 时，y=0； 当x＜－2或x＞0时， y<0； 当x在－2＜x＜0范围内时，y＞0； 当x=-1时，y有最大值3. 五.确定二次函数表达式的方法： 1．一般式：y＝ax＋bx＋c (a≠ 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值 2．顶点式：y＝a(x－h)＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式． 3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式 做一做 1.设抛物线y=x +8x-k的顶点在x轴上,则k的值为( A ) A.-16 B.16 C.-8 D.8 2.将抛物线y=3x +1绕原点O旋转180°则旋转后的抛物线的解析式为( C ) A. y=- x +1 B. y=- x -1C. y=-3x -1 D. y=-3x +1 3.已知二次函数y=ax +x+a(a-2)的图象经过原点,则a的值为( C ) A.0或2 B.0 C.2 D.无法确定 二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系： 做一做 1抛物线y=3x -x+4与坐标轴的交点个数是( D ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知抛物线y=x -x-1与x轴的一个交点坐标为(m,0)则代数式m -m+5=6 3.若关于x的一元二次方程x -x-n=0没有实数根则抛物线y=x -x-n的顶点在( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 七、二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集． 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 做一做 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S， 求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？ 并求出这个最大值． 解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30. ∴BF=2x-30. （2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30. 所以S△DEF-S△GBF=DE- BF=x- (2x-30)= x+60x-450. 3）S= x+60x-450= (x-20)+150. ∵a=＜0，15＜20＜30， ∴当x=20时，S有最大值， 最大值为150.学生活动2： 通过知识梳理，并进行观察、归纳、猜想、推理及应用的过程，抽象出数学模型。 完成每个知识点的做一做。活动意图说明： 让学生亲历梳理知识发现知识间内在联系的过程，通过相应练习。学生们进一步感受二次函数的图像和性质、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数在日常生活中的应用，并让学生感受数形结合思想在解决问题时的重要意义。通过学生对一节课的学习进行梳理，有利于明晰考点，在知识，技能，数学思想方面获得提升，同时有利于培养学生的表达能力.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数中是二次函数的是( D ) A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝(x－2)2－x2 D．y＝x(x－1) 2．抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是直线( B ) A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－4 D．x＝4 3．对于二次函数y＝－(x－1)2的图象的特征，下列描述正确的是( D ) A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 4．将抛物线y＝x2－3向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式是( C ) A．y＝x2－1 B．y＝x2－5 C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x－2)2－3 5．如果抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是[a＞3]． 6．请写出一个与y轴交点为(0，3)，对称轴为直线x＝－2的抛物线的表达式; [y＝x2＋4x＋3(答案不唯一)]． 7．若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝[1]． 8．用长20 m的篱笆围成一个长方形，则长方形的面积y(m2)与它的一边长x(m)之间的函数关系式是[y＝－x2＋10x]，自变量x的取值范围是[0＜x＜10]． 9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，－2)，且经过点(0，－1)，当m≤x≤m＋2时，－2≤y≤2，则m的取值范围是[－3≤m≤－1]． 选做题： 10.漪汾桥是太原首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型．如图，单个桥拱在桥面上的跨度为OA＝60米，在水面的跨度为BC＝80米，桥面距水面的垂直距离为OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求单个桥拱所在抛物线的表达式； (2)求桥拱最高点到水面的距离． 解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx， 由题易得B(－10，－7)，抛物线的对称轴为直线x＝30， ∴解得 故单个桥拱所在抛物线的表达式是y＝－0.01x2＋0.6x. (2)∵y＝－0.01x2＋0.6x＝－0.01(x－30)2＋9， ∴当x＝30时，y取得最大值9， 9＋7＝16(米)， 故桥拱最高点到水面的距离是16米． 【综合拓展类作业】 11．某公司为了宣传销售一种新产品，在某地先后举办了30场产品促销会．已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y(台)．在销售过程中获得以下信息： 信息1：销售量y与销售场次x之间满足关系式y＝－x＋50； 信息2：每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，浮动价与销售场次x成正比．经统计后得到如下数据： x(场)310p(万元)10.612
(1)求每场的基本价及p与x之间的函数关系式． (2)在这30场产品促销会上，哪一场获得的利润最大？并求出最大利润． 解：(1)设每场的基本价为b万元，p与x之间的函数关系式为p＝ax＋b， 则解：(1)设每场的基本价为b万元，p与x之间的函数关系式为p＝ax＋b， 则解得 ∴每场的基本价为10万元，p与x之间的函数关系式为p＝0.2x＋10(1≤x≤30的整数)． (2)设每场获得的利润为w万元， 根据题意，得w＝(0.2x＋10－10)(－x＋50)＝－0.2x2＋10x＝－0.2(x－25)2＋125， ∵－0.2＜0， ∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为125， 故第25场的利润最大，最大利润为125万元．解得 ∴每场的基本价为10万元，p与x之间的函数关系式为p＝0.2x＋10(1≤x≤30的整数)． (2)设每场获得的利润为w万元， 根据题意，得w＝(0.2x＋10－10)(－x＋50)＝－0.2x2＋10x＝－0.2(x－25)2＋125， ∵－0.2＜0， ∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为125， 故第25场的利润最大，最大利润为125万元．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数中，属于二次函数的是（ C ） A． B． C． D． 2．抛物线 的顶点坐标是 D A． B． C． D． 3．将抛物线y=5(x 1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ B ） A． B． C． D． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（ C ） x﹣1013y﹣1353
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝1.5 D．x＝2 5．抛物线 的顶点坐标为[（0， ）]． 6．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为或] 7．二次函数 与y轴交点的坐标为[（0,1）]。 8．若点P（m，n）在抛物线 上，则 的值为 [202] 9．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3），则二次函数的图象的顶点坐标是[（2，-1）]． 选做题： 10．如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求 的面积． 解：延长DC交x轴于E， 依题意，可得y＝ x2＋2x＋3＝ （x 1）2＋4， ∴顶点D（1，4）， 令y＝0，可得x＝3或x＝ 1，∴B（3，0）， 令x＝0，可得y＝3， ∴C（0，3），∴OC＝3， ∴直线DC的解析式为y＝x＋3， 令y＝0，可得x＝-3，∴E（-3，0），BE＝6， ∴S△BCD＝S△BED S△BCE＝ =12-9=3． ∴△BCD的面积为3． 【综合拓展类作业】 11.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为W 元．求每件商品的售价定为多少利润最大，最大月利润是多少？ 解：由题意得： ， 且 为整数 ， ， 当 时， 有最大值 ， ，且 为整数， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
教学反思
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