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北师大版八年级数学上册《二次函数》测试卷A
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．y=2x 向上平移3个单位后所得抛物线的解析式是（ ）
A. y =2x +3 B. y=2(x+3) C. y=2(x-3) D. y=2x -3
2.抛物线y= -（x＋2） -3 的顶点坐标是（ ）
A.（2，-3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3）
3.若二次函数y=x +m的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A.0或2 B. 0 C. 2 D.-2
4.在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x=-2的是（ ）
A. y=（x+2） B.y=2x -2 C. y= -2x -2 D.y=2（x-2)
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋ab的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第6题 第8题 第10题
6．把一个物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的上升高度h(m)与抛出时间t(s)之间满足h＝v0t－gt2(其中g是常数，取10 m/s2)．某时，某同学在距地面1.5 m的O点，以11 m/s的初速度向上抛出一个小球，抛出2 s时，该小球距地面的高度是( )
A．1.5 m B．3.5 m C．0.95 m D．－0.95 m
7．探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x＋2的图象，求一元二次方程2x2＝x＋2的近似根”．小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足－1＜x1＜0，1＜x2＜2.小华的上述方法体现的数学思想是( )
A．公理化 B．分类讨论 C．数形结合 D．由特殊到一般
8．已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1的图象上有三个点（0，y1）、（ 1，y2）、（ y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
9．已知二次函数其中a，b，c满足，，则二次函数图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④a＜ ；⑤b＞1， 其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题（每小题4分共28分）
11．抛物线y=3x-6 的顶点坐标为 ．
12．二次函数 y=x+x+1 与y轴交点的坐标为 。
13．若点P（m，n）在抛物线 y=x+x-2021 上，则 m+m+n 的值为 .
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，－2)，且经过点(0，－1)，当m≤x≤m＋2时，－2≤y≤2，则m的取值范围是____________．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中：
①abc＜0； ②9a﹣3b+c＜0； ③b2﹣4ac＞0； ④a＞b，正确的结论是 （只填序号）．
第15题 第16题 第17题
二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣6x+17上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
解答题（6×3=18分）
18.已知抛物线y=x +bx+c过点A（0，1），B（2，-1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点（1，4）是否在此抛物线上
19．一个二次函数的图象经过(－1，0)，(0，6)，(3，0)三点，求这个二次函数的表达式．
20．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
解答题（8×3=24分）
21．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
22．如图，以P为顶点的抛物线y＝(x－m)2＋k交y轴于点A，经过点P的直线y＝－2x＋3交y轴于点B.
(1)用关于m的代数式表示k；
(2)若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线对应的函数表达式．
23．漪汾桥是太原首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型．如图，单个桥拱在桥面上的跨度为OA＝60米，在水面的跨度为BC＝80米，桥面距水面的垂直距离为OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求单个桥拱所在抛物线的表达式；
(2)求桥拱最高点到水面的距离．
解答题 （10×2=20分）
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c，如图所示，直线x＝﹣1是其对称轴，
（1）确定a，b，c，Δ＝b2﹣4ac的符号；
（2）求证：a﹣b+c＞0；
（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．
25．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）。点P是直线BC上方的抛物线上一动点
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POPC.若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A B B C C D B
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 （0，-6 ） （0,1） 2021 -3≤m≤－1 ②③④ 一 8
解答题
18.解（1）将A(0,1)，B(2,-1)代入y=x2+bx+c中得
∴
∴y=x2-3x+1
（2）当x=1时，y=1-3+1≠14，
∴点(1,4)不在此抛物线上
19.解：由题可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将(0，6)代入，得－3a＝6，解得a＝－2，
所以这个二次函数的表达式为y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.
20.解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
解答题
21．解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 代入（3，0）求得：a＝ ． 将a值代入得到抛物线的解析式为： y＝ （x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x＝0，则y＝ ＝2.25． 故水管长为2.25m．
22．解：(1)由题可知P(m，k)，
∵点P在直线y＝－2x＋3上，
∴k＝－2m＋3.
(2)对于y＝－2x＋3，
令x＝0，则y＝3，∴B(0，3)，
∵AB＝2，∴易得A(0，1)，
把A(0，1)的坐标代入y＝(x－m)2＋k，得
1＝m2＋k，
由(1)知k＝－2m＋3，
∴1＝m2－2m＋3，
∴m＝2，
∴k＝－2×2＋3＝－1，
∴该抛物线对应的函数表达式为y＝(x－2)2－1.
23．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，
由题易得B(－10，－7)，抛物线的对称轴为直线x＝30，
∴解得
故单个桥拱所在抛物线的表达式是y＝－0.01x2＋0.6x.
(2)∵y＝－0.01x2＋0.6x＝－0.01(x－30)2＋9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
9＋7＝16(米)，
故桥拱最高点到水面的距离是16米．
解答题
24．解：（1）∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0；
（2）证明：∵抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；
（3）根据图象可知，
当﹣3＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣3或x＞1时，y＜0．
25．（1）解：将点B和点C的坐标代入y=a2+2x+c，得
解得
∴该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3
（2）解：若四边形POPC是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP，则PELCO，垂足为E，
∵C（0，3）， ∴E（0， ），
∴.点P的纵坐标等于 。
∴-x2+2x+3=
解得x1= ，x1= （不合题意，舍去），
∴点P的坐标为（ ， ）
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点2，与OB交于点F，
设P（m，-m2+2m+3），设直线BC的表达式为y=kx+3，
则3k+3=0，解得k=-1.
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
∴Q点的坐标为（m，-m+3），
∴QP=-m2+3m.
当-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3， ∴AO=1，AB=4，
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=- AB·OC+ QP·OF+ QP·FB
= ×4×3+ （-m2+3m）×3.
当m= 时，四边形ABPC的面积最大。
此时P点的坐标为（ ， ），四边形ABPC的面积的最大值为 。
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北师大版八年级数学上册《二次函数》测试卷B
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．下列函数是关于x的二次函数的有（ ）
①y＝x（2x﹣1）；②；③；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；
⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y＝．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝kx2 D．y＝k2x
3．若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（ ）
A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0
4．将抛物线y＝x2－3向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2－5 C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x－2)2－3
5．已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－2x B．y＝－x2＋2x C．y＝x2－2x D．y＝x2＋2x
6.抛物线y=2x +3x+4与y轴的交点为（ ）
A.（0，4） B.（0，2） C.（0，3） D. （0，0）
7.二次函数y=（x+2） -1的图象大致为 .
8.函数y=3x +1的最小值为（ ）
A .0. B.1 C.2 D.3
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＞0；④a+b＞am2+bm（m为一切实数）；⑤b2＞4ac；正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
填空题（每小题4分共28分）
11．已知函数y＝（m﹣3）x2﹣x+5是二次函数，则常数m的取值范围是 ．
12．下列函数中：①y＝﹣x2；②y＝2x；③y＝22+x2﹣x3；④m＝3﹣t﹣t2是二次函数的是 （其中x、t为自变量）
13．如果抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是____________．
14．请写出一个与y轴交点为(0，3)，对称轴为直线x＝－2的抛物线的表达式：____________________．
15．若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．
16．如图，是二次函数y=ax +bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为（3，0），则由图象可知，不等式ax ＋bx ＋c<0的解集是___________________________________.
第16题 第17题
17．如图，已知抛物线y=x +bx+c的对称轴为直线x=2，点A，B均在抛物线上，且 AB与x轴平行，其中点 A的坐标为（0， 3），则点 B 的坐标为______________________.
解答题（6×3=18分）
18．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），与y轴的交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式.
已知二次函数，求其顶点坐标及它与y轴的交点坐标．
20．已知二次函数y＝x2＋2x－3.
(1)用配方法把这个二次函数化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)当－3≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．
解答题（8×3=24分）
21．如图，球的飞行路线是一条抛物线，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t.
（1）球经过多少秒飞行高度达到15 m
（2）球从飞出到落地所需要的时间.
（3）球经过____ 秒飞行高度达到最高.
22．某公司为了宣传销售一种新产品，在某地先后举办了30场产品促销会．已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y(台)．在销售过程中获得以下信息：
信息1：销售量y与销售场次x之间满足关系式y＝－x＋50；
信息2：每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，浮动价与销售场次x成正比．经统计后得到如下数据：
x(场) 3 10
p(万元) 10.6 12
(1)求每场的基本价及p与x之间的函数关系式．
(2)在这30场产品促销会上，哪一场获得的利润最大？并求出最大利润．
23.如图，抛物线y=x +bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
（1）求b，c的值；
（2）P为抛物线上的点，且满足 S△PAB=8，求 P点的坐标；
（3）设抛物线交y轴于点C，求直线 BC 的解析式.
解答题 （10×2=20分）
24．如图，D，E，F是 Rt△ABC三边上的点，且四边形 CDEF为矩形，BC=6，∠A =30°.
（1）求AB 的长；
（2）设AE=x，则DE=_________，EF=______________（用含x的表达式表示）；
（3）求矩形 CDEF 面积的最大值.
25．(已知抛物线y＝x2＋4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点B关于直线AC的对称点为点D，点E的坐标为(0，5)．
(1)求A，B，C三点的坐标．
(2)如图①，连接BC，在直线DE上是否存在点M，使得△CMA≌△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，点G在x轴下方的抛物线上，过点G作GF⊥x轴交直线DE于点F，过点F作FH⊥AC于点H，连接DG交AC于点N，当FG＋FH最大时，求DN∶NG.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C D A D B A C
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 m≠3 ①④ a＞3 y＝x2＋4x＋3(答案不唯一) 1 -1三、解答题
18．解：由抛物线顶点坐标为（1，-3）可设其解析式为y=a（x-1）2-3，
将（0，-2）代入，得：a-3=-2，
解得：a=1，
则抛物线解析式为y=（x-1）2-3
19．解：∵＝（x+2）2﹣4.5（3分）
∴顶点坐标为（﹣2，﹣4.5）（4分）
令x＝0，则y＝（5分）
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，）（6分）
20．解：(1)y＝x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－4.
(2)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
描点、连线可得图象如图．
由图象可得当－3≤x≤0时，－4≤y≤0.
解答题
21.解：（1）15=20t-5t2
-3=t2-4t
0= t2-4t+3
0=(t-1)(t-3)
∵t1=1，t2=3
∴当经过1 s或3 s时高度达到15 m
（2）令h=0则0=20t-5t2
t1=0，t2=4
∵需要4秒
（3）2
22．解：(1)设每场的基本价为b万元，p与x之间的函数关系式为p＝ax＋b，
则解得
∴每场的基本价为10万元，p与x之间的函数关系式为p＝0.2x＋10(1≤x≤30的整数)．
(2)设每场获得的利润为w万元，
根据题意，得w＝(0.2x＋10－10)(－x＋50)＝－0.2x2＋10x＝－0.2(x－25)2＋125，
∵－0.2＜0，
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为125，
23.解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(-1,0)，B(3,0)
∴，解得
∴所求抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）设点P的坐标为(x,y)，由题意，得
，
∴|y|=4，
∵y=±4，
当y=4时，x2-2x-3=4，
∴，
当y=-4时x2-2x-3=-4
∵x=1，
∴当P点的坐标分别为或或(1,-4)时，S△PAB=8；
（3）当x=0时，y=-3，
∵点C的坐标为(0,-3)
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(3,0)，C(0,-3)代入得
解得
∴直线BC的解析式为y=x-3．
解答题
24.解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°
∴AB=2BC=12；
（2）∵四边形CDEF是矩形，
∴ DE//BC
∴∠ADE=∠C=90°
∴
∴
∴
∴
故答案为：，
（3）S矩形CDEF=DE·EF
∴当时，
S最大为
25．解：(1)对于y＝x2＋4x＋3，令y＝0，则x2＋4x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝－3，
∵点A在点B的左侧，
∴A(－3，0)，B(－1，0)．
令x＝0，则y＝3，
∴C(0，3)．
(2)存在．如图，过点C作CM∥AB交DE于点M，连接AM，则∠MCA＝∠BAC.
∵A(－3，0)，C(0，3)，
∴OA＝OC＝3，
∴AC＝3 ，∠CAO＝45°.
∵点B关于直线AC的对称点为D，
∴易得D(－3，2)．
设直线DE的表达式为y＝kx＋b，
则
∴
∴直线DE的表达式为y＝x＋5，
∵CM∥AB，
∴点M的纵坐标为3，
当y＝3时，x＋5＝3，∴x＝－2，
∴M(－2，3)，∴MC＝2＝AB，
在△ABC和△CMA中，
∴△ABC≌△CMA，
∴存在点M，使得△CMA≌△ABC，此时M(－2，3)．
(3)易得直线AC的表达式为y＝x＋3.
设FG交AC于点I，点G的坐标为(m，m2＋4m＋3)，
则I(m，m＋3)，F(m，m＋5)，
∴FG＝m＋5－(m2＋4m＋3)＝－m2－3m＋2，
FI＝m＋5－(m＋3)＝2，
易知∠FIH＝∠AIG＝45°，
∵FH⊥AC，∴FH＝，
∴FG＋FH最大时，只要FG最大即可，
∵FG＝－m2－3m＋2＝－＋，
∴当m＝－时， FG取最大值，为，
∴GI＝－2＝，
易得AC∥DE， ∴＝＝＝，
∴DN∶NG＝8∶9.
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