北京市海淀区师达中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2022·河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
2．（2022·金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
3．（2023八上·海淀开学考）如图，已知，点在线段上不与点，点重合，连接若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七下·宽城期末）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
5．（2023八上·海淀开学考）如图，≌，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·上思期中）有下列四种说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④在 ABC中的∠BAC的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023八上·海淀开学考）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断≌的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，将沿直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A．无法确定 B． C． D．
9．（2023八上·海淀开学考）如图，平分，，分别是，上的点，，则与的数量关系一定满足的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（2023八上·海淀开学考）等腰三角形的两条边长分别是，，那么这个等腰三角形的周长是 ．
12．（2023八上·海淀开学考）在中，若：：，，则 ．
13．（2023八上·海淀开学考）是内一点，且到三边的距离相等，若，则
14．（2023八上·海淀开学考）若、、满足，则以、、为边 填“能”或“否”构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长 ．
15．（2023七下·滨海期中）如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF ⊥ BC 于点 F.若，BD = 4 ，则 EF 长为 .
16．（2023八上·海淀开学考）如图，的度数是 ．
17．（2023八上·海淀开学考）如图，有一个，，，，一条线段，，分别在和过点且垂直于的射线上运动， 时，才能使与全等．
18．（2023八上·海淀开学考）如图，中，，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2021八上·隆安期中）已知是的三边长．
（1）若满足，，试判断的形状；
（2）化简：
20．（2023八上·朝阳月考）如图，在中，，，的平分线交于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法
（2）求的度数．
21．（2023八上·海淀开学考）观察下面图形，解答下列问题：
（1）观察规律，把下表填写完整：
边数 三 四 五 六 七
对角线条数
（2）若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数．
22．（2023八上·海淀开学考）已知：如图，点、、、共线，、相交于点，，，求证：．
23．（2023八上·海淀开学考）如图，点在上，，，且，，，，交于点求
（1）CE的长度；
（2）∠BFC的度数．
24．（2023八上·海淀开学考）在中，平分交于点，点是射线上的动点不与点重合，过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．
（1）如图，点在线段上运动．
若，，则 ；
若，则 °；
（2）探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点在射线上运动时，与之间的数量关系与中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．
25．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，为的两条高．
（1）求证：；
（2）若过点作，交于点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵由折叠的性质可知 ，
∴AD是 的角平分线，
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质可得，从而得到答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴8-5＜第三边长＜8+5，
即3＜第三边长＜13.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边的取值范围，即可得出正确答案.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
故答案为：C
【分析】根据三角形外角性质可得，则，再根据两直线平行，内错角相等，则，即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】正多边形的边数=360°÷60°=6.
故答案为：D.
【分析】利用“正多边形的边数=360°÷一个外角的度数”列出算式求解即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵≌
∴
∵
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：角平分线的任意一点到角的两边的距离相等，故①错误；
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误；
角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等，根据角平分线的性质定理知，③正确；
在 ABC中三个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，故④错误.
所以正确的只有一个.
故答案为：A.
【分析】直接根据角平分线的性质进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵
∴∠A=∠D
A：∠A=∠D，，，则≌（SAS），不符合题意；
B：∠A=∠D，，，则≌（ASA），不符合题意；
C：∠A=∠D，，，不能判定≌，符合题意；
D：∠A=∠D，，，则≌（ASA），不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：
∠D=∠C=46°
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得∠D=∠C，再根据三角形外角性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N
∵平分
∴EM=EN
∵EF=EG
∴△EMF≌△BGE
∴
∴
故答案为：B
【分析】分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N，根据角平分线性质，全等三角形判定定理可得△EMF≌△BGE，则，即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
11．【答案】19cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
当3为腰长时，3+3<8，不满足三角形三边关系
当8为腰长时，8+8>3，满足三角形三边关系
则周长为：3+8+8=19cm
故答案为：19cm
【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边关系即可求出答案.
12．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵：：
∴设∠A=5x，∠B=7x
∴∠C=180°-5x-7x=180°-12x
∵
∴180°-12x-5x=10°
解得：x=10°
∴∠C=180°-12x=60°
故答案为：60°
【分析】设∠A=5x，∠B=7x，根据三角形内角和定理可得∠C=180°-12x，再根据列出方程，解方程可得x=10°，再代入代数式即可求出答案.
13．【答案】118
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵O到三角形三边距离相等
∴O是△ABC的内心
∴AO、BO、CO都是角平分线
∴
故答案为：118
【分析】根据题意可得：AO、BO、CO都是角平分线，再根据角平分线性质及三角形内角和性质即可求出答案.
14．【答案】能；
【知识点】三角形三边关系；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
∵a-c
则以、、为边能构成三角形
周长为：
故答案为：能，
【分析】根据偶次幂的性质，二次根式的性质，绝对值的性质可求出a，b，c的长，再根据三角形三边关系可得以、、为边能构成三角形，再根据三角形周长公式即可求出答案.
15．【答案】3
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，
∴S△ABD=S△ABC=12，
同理，BE是△ABD的中线，，
∵S△BDE=BD EF，
∴BD EF=6，
即
∴EF=3.
故答案为：3.
【分析】由同高三角形面积之间的关系就是底之间的关系可得S△ABD=S△ABC=12，S△BDE=S△ABD=6，进而根据三角形的面积计算公式建立方程，求解即可求出EF的长.
16．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：
∠4是三角形的外角
∴∠4=∠A+∠2
同理 ∠2也是三角形的外角
∴∠2=∠E+∠C
在△BDG中，∠B+∠D+∠4=180°
∴∠B+∠D+∠A+∠E+∠C=180°
故答案为：180°
【分析】根据三角形外角性质可得∠4=∠A+∠2，∠2=∠E+∠C，再三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】8或16
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵∠C=90°，AN⊥AC
∴∠C=∠MAN=90°
①当AM=8=BC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
②当AM=16=AC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
故答案为：8或16
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
18．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N
∵BD平分∠ABC
∴ME=MN
∴CM+MN=CM+ME=CE
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB
∴
∴10·CE=6×8
∴CE=4.8
故答案为：4.8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，根据角平分线性质可得ME=MN，则CM+MN=CM+ME=CE，再根据三角形面积公式即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵
∴且
∴
∴是等边三角形．
（2）解：∵是的三边长
∴b-c-a<0，a-b+c>0，a-b-c<0
原式=
=
=
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定；偶次方的非负性；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据偶次幂以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a=b=c，据此可得三角形的形状；
（2）根据三角形的三边关系可得b-c-a<0，a-b+c>0，a-b-c<0，然后根据绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，
，
平分，平分，
，，
．
【知识点】角的运算；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法及步骤作出图象即可；
（2）利用角平分线的定义可得 ，，再利用角的运算求出即可.
21．【答案】（1）9；14；
（2）设多边形的边数为．
则，
解得．
对角线的条数为：条．
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）三角形对角线为：
四边形对角线为：
五边形对角线为：
六边形对角线为：
七边形对角线为：
......
n边形对角线为：
故答案为：9，14，
【分析】（1）根据三，四，五，六边形的对对角线条数发现规律即可求出答案.
（2）根据多边形内角和公式及（1）中规律即可求出答案.
22．【答案】证明：，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再进行边之间的转换即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2）解：≌，
，
，
．
．
在中，．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
24．【答案】（1）50；55
（2），理由如下：
因为，，
所以，
所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
（3）关系不同
当点在线段上，，
如图，若交于点，
由知：，，
因为，
所以，
所以，
因为，，且，
所以，，
即
；
当点在的延长线上，
如图，若交于点，
因为，
所以，
因为，
所以
；
综上，点在射线上运动时，或．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC
∴∠CBD=20°
∵EF∥BC，∠C=60°
∴
∵EG平分∠CEF
∴
∴
②∵∠A=70°
∴
∵EF∥BC
∴
∴
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF
∴
∵EF∥BC
∴
∴
∴
故答案为：50，55
【分析】（1）①根据角平分线性质可得∠CBD=20°，再根据直线平行性质可得，由EG平分∠CEF可得，即可求出答案；
②根据三角形内角定理，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，再由EF∥BC，可得，即可求出答案；
（2）根据三角形内角和定理，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）根据三角形内角和定理，直线平行性质，角平分线性质进行角之间的转换分情况讨论即可求出答案.
25．【答案】（1）证明：、是高，
，
，，，
，
，，
，
，
在和中
≌，
．
（2），
，
，
，
≌，
，
在和中
≌，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再进行边之间的转换即可求出答案.
1 / 1北京市海淀区师达中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2022·河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵由折叠的性质可知 ，
∴AD是 的角平分线，
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质可得，从而得到答案。
2．（2022·金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，
∴8-5＜第三边长＜8+5，
即3＜第三边长＜13.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边的取值范围，即可得出正确答案.
3．（2023八上·海淀开学考）如图，已知，点在线段上不与点，点重合，连接若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
故答案为：C
【分析】根据三角形外角性质可得，则，再根据两直线平行，内错角相等，则，即可求出答案.
4．（2022七下·宽城期末）若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】正多边形的边数=360°÷60°=6.
故答案为：D.
【分析】利用“正多边形的边数=360°÷一个外角的度数”列出算式求解即可。
5．（2023八上·海淀开学考）如图，≌，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵≌
∴
∵
故答案为：A
【分析】根据全等三角形的性质可得，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．（2021八上·上思期中）有下列四种说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④在 ABC中的∠BAC的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：角平分线的任意一点到角的两边的距离相等，故①错误；
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误；
角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等，根据角平分线的性质定理知，③正确；
在 ABC中三个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，故④错误.
所以正确的只有一个.
故答案为：A.
【分析】直接根据角平分线的性质进行判断即可.
7．（2023八上·海淀开学考）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断≌的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵
∴∠A=∠D
A：∠A=∠D，，，则≌（SAS），不符合题意；
B：∠A=∠D，，，则≌（ASA），不符合题意；
C：∠A=∠D，，，不能判定≌，符合题意；
D：∠A=∠D，，，则≌（ASA），不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
8．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，将沿直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A．无法确定 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：
∠D=∠C=46°
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得∠D=∠C，再根据三角形外角性质即可求出答案.
9．（2023八上·海淀开学考）如图，平分，，分别是，上的点，，则与的数量关系一定满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N
∵平分
∴EM=EN
∵EF=EG
∴△EMF≌△BGE
∴
∴
故答案为：B
【分析】分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N，根据角平分线性质，全等三角形判定定理可得△EMF≌△BGE，则，即可求出答案.
10．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（2023八上·海淀开学考）等腰三角形的两条边长分别是，，那么这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】19cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
当3为腰长时，3+3<8，不满足三角形三边关系
当8为腰长时，8+8>3，满足三角形三边关系
则周长为：3+8+8=19cm
故答案为：19cm
【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边关系即可求出答案.
12．（2023八上·海淀开学考）在中，若：：，，则 ．
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵：：
∴设∠A=5x，∠B=7x
∴∠C=180°-5x-7x=180°-12x
∵
∴180°-12x-5x=10°
解得：x=10°
∴∠C=180°-12x=60°
故答案为：60°
【分析】设∠A=5x，∠B=7x，根据三角形内角和定理可得∠C=180°-12x，再根据列出方程，解方程可得x=10°，再代入代数式即可求出答案.
13．（2023八上·海淀开学考）是内一点，且到三边的距离相等，若，则
【答案】118
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵O到三角形三边距离相等
∴O是△ABC的内心
∴AO、BO、CO都是角平分线
∴
故答案为：118
【分析】根据题意可得：AO、BO、CO都是角平分线，再根据角平分线性质及三角形内角和性质即可求出答案.
14．（2023八上·海淀开学考）若、、满足，则以、、为边 填“能”或“否”构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长 ．
【答案】能；
【知识点】三角形三边关系；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
∵a-c则以、、为边能构成三角形
周长为：
故答案为：能，
【分析】根据偶次幂的性质，二次根式的性质，绝对值的性质可求出a，b，c的长，再根据三角形三边关系可得以、、为边能构成三角形，再根据三角形周长公式即可求出答案.
15．（2023七下·滨海期中）如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF ⊥ BC 于点 F.若，BD = 4 ，则 EF 长为 .
【答案】3
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，
∴S△ABD=S△ABC=12，
同理，BE是△ABD的中线，，
∵S△BDE=BD EF，
∴BD EF=6，
即
∴EF=3.
故答案为：3.
【分析】由同高三角形面积之间的关系就是底之间的关系可得S△ABD=S△ABC=12，S△BDE=S△ABD=6，进而根据三角形的面积计算公式建立方程，求解即可求出EF的长.
16．（2023八上·海淀开学考）如图，的度数是 ．
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：
∠4是三角形的外角
∴∠4=∠A+∠2
同理 ∠2也是三角形的外角
∴∠2=∠E+∠C
在△BDG中，∠B+∠D+∠4=180°
∴∠B+∠D+∠A+∠E+∠C=180°
故答案为：180°
【分析】根据三角形外角性质可得∠4=∠A+∠2，∠2=∠E+∠C，再三角形内角和定理即可求出答案.
17．（2023八上·海淀开学考）如图，有一个，，，，一条线段，，分别在和过点且垂直于的射线上运动， 时，才能使与全等．
【答案】8或16
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵∠C=90°，AN⊥AC
∴∠C=∠MAN=90°
①当AM=8=BC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
②当AM=16=AC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
故答案为：8或16
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
18．（2023八上·海淀开学考）如图，中，，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是 ．
【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N
∵BD平分∠ABC
∴ME=MN
∴CM+MN=CM+ME=CE
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB
∴
∴10·CE=6×8
∴CE=4.8
故答案为：4.8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，根据角平分线性质可得ME=MN，则CM+MN=CM+ME=CE，再根据三角形面积公式即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2021八上·隆安期中）已知是的三边长．
（1）若满足，，试判断的形状；
（2）化简：
【答案】（1）解：∵
∴且
∴
∴是等边三角形．
（2）解：∵是的三边长
∴b-c-a<0，a-b+c>0，a-b-c<0
原式=
=
=
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定；偶次方的非负性；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据偶次幂以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a=b=c，据此可得三角形的形状；
（2）根据三角形的三边关系可得b-c-a<0，a-b+c>0，a-b-c<0，然后根据绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可.
20．（2023八上·朝阳月考）如图，在中，，，的平分线交于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法
（2）求的度数．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：，，
，
平分，平分，
，，
．
【知识点】角的运算；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法及步骤作出图象即可；
（2）利用角平分线的定义可得 ，，再利用角的运算求出即可.
21．（2023八上·海淀开学考）观察下面图形，解答下列问题：
（1）观察规律，把下表填写完整：
边数 三 四 五 六 七
对角线条数
（2）若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数．
【答案】（1）9；14；
（2）设多边形的边数为．
则，
解得．
对角线的条数为：条．
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）三角形对角线为：
四边形对角线为：
五边形对角线为：
六边形对角线为：
七边形对角线为：
......
n边形对角线为：
故答案为：9，14，
【分析】（1）根据三，四，五，六边形的对对角线条数发现规律即可求出答案.
（2）根据多边形内角和公式及（1）中规律即可求出答案.
22．（2023八上·海淀开学考）已知：如图，点、、、共线，、相交于点，，，求证：．
【答案】证明：，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再进行边之间的转换即可求出答案.
23．（2023八上·海淀开学考）如图，点在上，，，且，，，，交于点求
（1）CE的长度；
（2）∠BFC的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2）解：≌，
，
，
．
．
在中，．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
24．（2023八上·海淀开学考）在中，平分交于点，点是射线上的动点不与点重合，过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．
（1）如图，点在线段上运动．
若，，则 ；
若，则 °；
（2）探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点在射线上运动时，与之间的数量关系与中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）50；55
（2），理由如下：
因为，，
所以，
所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
（3）关系不同
当点在线段上，，
如图，若交于点，
由知：，，
因为，
所以，
所以，
因为，，且，
所以，，
即
；
当点在的延长线上，
如图，若交于点，
因为，
所以，
因为，
所以
；
综上，点在射线上运动时，或．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC
∴∠CBD=20°
∵EF∥BC，∠C=60°
∴
∵EG平分∠CEF
∴
∴
②∵∠A=70°
∴
∵EF∥BC
∴
∴
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF
∴
∵EF∥BC
∴
∴
∴
故答案为：50，55
【分析】（1）①根据角平分线性质可得∠CBD=20°，再根据直线平行性质可得，由EG平分∠CEF可得，即可求出答案；
②根据三角形内角定理，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，再由EF∥BC，可得，即可求出答案；
（2）根据三角形内角和定理，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）根据三角形内角和定理，直线平行性质，角平分线性质进行角之间的转换分情况讨论即可求出答案.
25．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，为的两条高．
（1）求证：；
（2）若过点作，交于点，求证：．
【答案】（1）证明：、是高，
，
，，，
，
，，
，
，
在和中
≌，
．
（2），
，
，
，
≌，
，
在和中
≌，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再进行边之间的转换即可求出答案.
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